Medidas de associação entre duas variáveis qualitativas
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- Marco Antônio Ribeiro Câmara
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1 Medidas de associação entre duas variáveis qualitativas Hoje vamos analisar duas variáveis qualitativas (categóricas) conjuntamente com o objetivo de verificar se existe alguma relação entre elas. Vamos definir uma medida de associação entre duas variáveis qualitativas chamada Quiquadrado, denotada por χ 2. Vamos também apresentar testes de hipóteses para verificar as hipóteses formuladas quanto às variáveis sob investigação. 1
2 A análise de relacionamento entre variáveis qualitativas (categóricas) inclui os seguintes tópicos: - contagens das frequências observadas para cada categoria de resposta, que são registradas em tabelas de frequência; - testes estatísticos de aderência, de independência e de homogeneidade para verficar nossas hipóteses de relacionamento entre as variáveis. Para definir a medida de Qui-quadrado vamos começar com a análise de apenas uma variável categórica. 2
3 Exemplo 1: Preferência por chocolate Uma amostra de 110 pessoas foi solicitada a manifestar suas preferências com respeito a 4 marcas de chocolate. A distribuição de frequências das respostas obtidas no levantamento está na tabela a seguir. chocolate A chocolate B chocolate C chocolate D total Queremos verificar se algumas marcas (ou uma marca) são preferidas em detrimento de outras. Observe que se não há preferência por marcas, devemos esperar que o número de pessoas por cada resposta seja o mesmo. É claro que numa amostra, mesmo que a hipótese seja verdadeira, será muito improvável observar o mesmo número de pessoas em cada resposta, mas se a hipótese for verdadeira, esses números deverão ser próximos uns dos outros. 3
4 Se a hipótese de que não há preferência por marcas for verdadeira, como são 110 pessoas, devemos esperar 110 = 27, 5 pessoas em cada 4 cela. frequências choc. A choc. B choc. C choc. D observadas esperadas sob H 0 27,5 27,5 27,5 27,5 A medida de Qui-quadrado χ 2 que vamos definir, compara as frequências observadas, que denotaremos por O i - frequência observada da i-ésima categoria de resposta - e as frequências esperadas sob H 0, que denotaremos por E i - frequência esperada da i-ésima categoria de resposta sob a hipótese nula. No exemplo 1, observe que há 4 tipos de resposta tal que i = 1, 2, 3, 4. 4
5 Definição de χ 2 : Suponha que existam c categorias de resposta e que O 1, O 2,..., O c são as frequências observadas, enquando que E 1, E 2,..., E c são as frequências esperadas sob a hipótese nula. Então a medida de Qui-quadrado é definida por χ 2 = c i=1 (O i E i ) 2 E i No exemplo 1, temos χ 2 = (20 27,5)2 27,5 + (60 27,5)2 27,5 + (10 27,5)2 27,5 + (20 27,5)2 27,5 2, , , , 05 = 53, 65 5
6 Como avaliar a magnitude do valor amostral de χ 2? Se a hipótese nula for verdadeira e a frequência esperada em todas as celas é maior ou igual a 5, a estatística χ 2 tem uma distribuição aproximada de Qui-quadrado com c 1 graus de liberdade. Assim, a um nível de signifcância α rejeitaremos H 0 se o valor amostral cair na cauda superior de área α dessa distribuição como mostra a figura a seguir. 6
7 No caso do exemplo 1, temos uma distribuição aproximada de qui-quadrado com 4 1 = 3 graus de liberdade sob a hipótese nula. Consultando o Excel, vemos que o valor crítico, a um nível de 5% de significância é, aproximadamente, 7,815 (usando a função INVCHI do Excel). Logo, vemos que o valor amostral de 53,65 é muito maior do que o valor crítico, indicando que devemos rejeitar a hipótese nula de que as frequências são iguais em todas as categorias de resposta. Usando o EXCEL também é fácil avaliar o p- valor desse teste (função CHIDIST) que resulta ser muito inferior a , indicando fortíssima evidência contra a hipótese nula. 7
8 Como usar o Bioestat para esse problema? Entre na coluna 1 com as frequências observadas de cada cela. Depois escolha Estatísticas, seguida de Quiquadrado, seguida de Uma amostra:aderência. Haverá duas opções, a saber, proporções esperadas iguais e proporções esperadas desiguais. Observe que no exemplo 1, nossa hipótese é de que as proporções esperadas são iguais. Logo deverá ser essa a nossa escolha. 8
9 A seguir, temos a saída do Bioestat 9
10 O Bioestat também apresenta o seguinte gráfico, útil, para avaliarmos de onde vêm as maiores discrepâncias. 10
11 Nem sempre a hipótese nula será de proporções esperadas iguais. Suponha que queremos verificar a hipótese de que as proporções esperadas na distribuição de gênero dos filhos de famílias com dois filhos seja 1/4 para ambos do gênero feminino(ff), 1/4 para ambos do gênero masculino (MM) e 1/2 para filhos de gêneros diferentes(d). Suponha também que uma amostra de 100 famílias com dois filhos tenha resultado na seguinte distribuição FF D MM observada esperada
12 Usando o Bioestat nesse caso: Pela saída vemos que a um nível de significância de 5%, não rejeitamos a hipótese nula. O p- valor é aproximdadamete 7%. Observe que nesse caso devemos digitar, numa coluna, as frequências esperadas. 12
13 O gráfico desses dados pelo Bioestat é apresentado a seguir. 13
14 O χ 2 permite que se descubra se existe um relacionamento ou associação entre duas variáveis categóricas, por exemplo, a associação entre fumar (fumante/não fumante) e hábito de beber (bebedor/não bebedor). Essas informações são consideradas qualitativas, pois não está se perguntando quantos cigarros a pessoa fuma por dia ou quanta bebida alcoólica ela toma por dia. Simplesmente pergunta-se se a pessoa fuma ou não e se a pessoa bebe ou não bebida alcoólica. Os dados nesse caso, costumam ser representados em tabelas de dupla entrada, também conhecidas como tabelas de contingência, da seguinte forma: fuma? bebe não bebe sim O 11 O 12 não O 21 O 22 14
15 Na tabela anterior, O ij é a frequência observada na i-ésima linha e j-ésima coluna. Nesse exemplo i = 1, 2 e j = 1, 2. Ou seja cada variável tem apenas duas categorias de resposta. Por essa razão esta tabela de contingência é chamada uma tabela 2 2, pois existem duas linhas e duas colunas. Adiante estudaremos o caso mais geral de uma tabela de contingência l c com l linhas e c colunas. 15
16 Exemplo 2: Associação entre fumar e beber Existe um relacionamento entre os hábitos de fumar e de beber na população de estudantes universitários? Se não existe uma associação significativa, nós concluíremos que as variáveis (ser fumante ou não e ser bebedor ou não) são independentes. Suponha que numa amostra aleatória de 110 estudantes universitários tenha se obtido os seguintes resultados. fuma? bebe não bebe sim não
17 Perfis-linha Observe que podemos olhar a tabela de dados de maneiras diferentes. Os perfis-linha referem-se a uma distribuição condicional das respostas em relação a cada linha da tabela. Observe na tabela a seguir os perfis-linha. Incluímos também uma linha com os totais. fuma? bebe não bebe total sim 71,4% 28,6% 100% não 37,5% 62,5% 100% total 59,1% 40,9% 100% Você diria que o perfil dos fumantes em relação à bebida é semelhante ao perfil dos não-fumantes em relação à bebida? A resposta parece ser não. Percebemos da tabela que entre os fumantes, a maioria bebe e, entre os não fumantes, a maioria não bebe! 17
18 Perfis-coluna Observe que também poderíamos olhar os perfiscoluna: distribuição condicional das respostas em relação a cada coluna da tabela. Observe na tabela a seguir os perfis-coluna. Incluímos também uma coluna de totais. fuma? bebe não bebe total sim 76,9% 44,4% 63,6% não 23,1% 55,6% 36,4% total 100% 100% 100% Você diria que o perfil dos bebedores em relação ao hábito de fumar é semelhante ao perfil dos não-bebedores em relação ao hábito de fumar? Claramente não! Percebemos da tabela que entre os bebedores, a maioria fuma e, entre os não bebedores, a maioria não fuma! 18
19 Frequências esperadas sob a hipótese de Independência Vimos, na aula de probabilidade, que dois eventos A e B são independentes se P (A B) = P (A) P (B), isto é, se a probabilidade de ocorrência simultânea dos dois for igual ao produto das probabilidades individuais. Para calcular as frequências esperadas sob a hipótese de que as as variáveis hábito de fumar e hábito de beber são independentes, usaremos esse mesmo princípio. 19
20 Observe da tabela de frequências observadas (escritas em forma de frequências relativas em relação ao número total de observações) que fuma? bebe não bebe total 70 sim não total }{{} pr. estimada de beber }{{} pr. estimada de não beber 110 }{{} pr. estimada de fumar }{{} pr. estimada de não fumar 1 20
21 Logo, se as variáveis são independentes espera-se que o percentual de fumantes e bebedores seja = , 6% Assim, o número esperado de fumantes e bebedores sob a hipótese de independência é 37, 6% de , 4. A tabela a seguir indica as proporções esperadas sob H 0 entre parênteses. Observe que os totais das linhas e colunas são fixos e, dada um valor esperado, os outros são facilmente obtidos por diferenças. fuma? bebe não bebe sim 50 (41,4) 20 (28,6) não 15 (23,6) 25 (16,4) χ 2 = (50 41,4) 2 41,4 + (20 28,6)2 28,6 + (15 23,6)2 23,6 + (25 16,4)2 16,4 1, , , , 51 = 12, 02 21
22 Não há necessidade de se preocupar com esses cálculos, pois o Bioestat tem uma função que faz isso para você. Mas, antes de ver como fazer esses cálculos pelo Bioestat temos que responder a seguinte questão: Como avaliar a magnitude do valor amostral obtido de χ 2? Distribuição de χ 2 sob H 0 : Sob a hipótese nula de que as variáveis são independentes, a distribuição de χ 2 em tabelas 2 2 é aproximadamente uma qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Portanto, podemos obter uma região crítica a um nível de significância fixado ou calcular o p-valor. No caso específico deste exemplo, usando o Excel obtemos um p-valor muito pequeno indicando fortíssima evidência contra H 0, como já tínhamos percebido pela análise dos perfislinha ou perfis-coluna. 22
23 Vejamos agora como usar o Bioestat para obter os resultados do teste desse exemplo. Estatísticas seguida de Qui-quadrado seguida de Tabelas de Contingência L C e indicando as duas colunas que contêm os dados. 23
24 Da saída do Bioestat vemos que χ 2 = 12, 121 e que o p-valor=0,0005 é muito pequeno e, portanto, rejeitamos a hipótese nula. As diferenças do valor de χ 2 nas casas decimais devem-se a erros de arredondamento. Portanto, concluímos que as variáveis hábito de beber e de fumar são relacionadas. Pela tabela dos perfis-linha, também podemos dizer que a relação é do tipo: a maioria dos fumantes tem o hábito de beber, enquanto que entre os não fumantes, a maioria tende a não beber. 24
25 Teste de independência em tabelas l c No exemplo 2, as variáveis categóricas analisadas tinham apenas duas categorias de resposta. No entanto, é possível estudar a relação entre duas variáveis categóricas que admitem mais de duas categorias de resposta. Se uma das variáveis tiver l respostas e, a outra, c respostas, a tabela de contingência será de dimensão l por c. Nesse caso o procedimento para verificar se as variáveis são independentes é exatamente o mesmo que o anterior. O número de graus de liberdade da distribuição aproximada de quiquadrado sob H 0 é nesse caso, (l 1) (c 1). O caminho no Bioestat para realizar o teste de independência é o mesmo. 25
26 Exemplo 3: Recusas a pesquisa e faixa etária Um estudo de pessoas que se recusaram a responder perguntas de pesquisa forneceu os dados amostrais selecionados aleatoriamente e apresentados na tabela a seguir. Ao nível de significância de 1%, teste a afirmativa de que a cooperação do sujeito (responde ou recusa) é independente da faixa etária. Algum grupo etário particular parece ser não cooperativo? 26
27 ou mais responderam recusaram Observe que a tabela de dados é uma tabela de contingência 2 6. Vamos rodar o teste no Bioestat. Estatísticas, Qui-quadrado, Tabelas de Contingência LxC. Como o p-valor é pequeno, rejeitamos H 0, ou seja, existe relação entre a cooperação na pesquisa e a faixa de idade. 27
28 O grágico a seguir mostra as distribuições das frequências relativas por idade sob as classes respondeu/recusou. Olhando o gráfico é possível responder que a faixa 60 ou mais parece a mais não cooperativa. 28
29 Testes de Homogeneidade Em um teste de homogeneidade, testamos a afirmativa de que populações diferentes têm a mesma proporção de alguma característica. Para realizar um teste de homogeneidade, podemos usar os mesmos procedimentos já apresentados na aula de hoje, conforme ilustraremos no seguinte exemplo. 29
30 Exemplo 4: Influência de gênero O gênero do entrevistador tem alguma influência nas pesquisas de respostas dadas por homens? Um artigo na revista U. S. News & World Report sobre pesquisas afirmou: Em assuntos sensíveis, as pessoas tendem a dar respostas aceitáveis mais do que respostas honestas; suas respostas podem depender do gênero ou raça do entrevistador. Para apoiar essa afirmativa, forneceram-se dados de uma pesquisa do Eagleton Institute, na qual pediu-se a opinião de homens sobre a seguinte afirmação: O aborto é um assunto particular que deve ser deixado para ser decidido pela mulher sem intervenção do estado.. 30
31 Analisaremos o efeito de gênero apenas sobre o universo masculino. A tabela a seguir fornece os resultados obtidos. entrev. homem entrev. mulher homens que concordaram homens que discordaram Vejamos como ficam os perfis-coluna entrev. homem entrev. mulher total homens que concordaram 70% (560/800) 77% (308/400) 72,3% homens que discordaram 30% (240/800) 23% (92/400) 27,7% total 100% 100% 100,0% Pelos perfis-coluna, parece haver uma tendência dos homens concordarem com maior chance, caso o entrevistador seja mulher. Para validar essa conclusão, podemos realizar um teste de quiquadrado para tabelas de contingência. 31
32 Saída do Bioestat para o exemplo 3: Logo, a um nível de significância de 5% rejeitamos a hipótese nula de que as proporções de homens que concordam com a frase são iguais para entrevistadores homens e para entrevistadores mulheres, pois o p-valor é 1,06%. 32
33 Quando devemos usar a correção de Yates? A correção de Yates é uma correção de continuidade por aproximar uma distribuição de variável discreta para uma distribuição de quiquadrado de variável contínua. Ela costuma ser recomendada quando há celas com frequências esperadas menores do que 10 ou, quando a tabela é 2 2. No entanto, só usaremos a correção de Yates em tabelas 2 2, quando o tamanho da amostra for reduzido e pelo menos uma das celas apresentar frequência esperada menor do que 10. É importante lembrar que a aproximação da distribuição de qui-quadrado é boa, desde que não existam celas com frequências esperadas menores do que 5. 33
34 Uma medida de associação entre duas variáveis categóricas: coeficiente de contingência C. C = χ2 χ 2 + n em que n representa o número total de observações no problema. C é um número entre 0 e 1: quanto maior é o valor de C, maior é a associação entre as variáveis. Um valor de C igual a zero indica que não existe relação entre as variáveis. No exemplo 2, o coeficiente de contingência resultante é 12, , ,
35 No exemplo 3, o coeficiente de contingência resultante é 20,271 20, , 13. No exemplo 4, o coeficiente de contingência resultante é 6, ,529 0, 07. Todos podem ser considerados significativamente diferentes de zero a um nível de significância de 5%, pois nos testes realizados, rejeitamos a hipótese de ausência de relação. 35
36 Referências bibliográficas: (1) Dancey e Reidy - Estatística sem Matemática para Psicologia. Penso. (2) Triola. Introdução à Estatística. LTC. (3) Busssab e Morettin - Estatística Básica. Editora Saraiva. 36
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