Teste de hipótese de variância e Análise de Variância (ANOVA)

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1 Teste de hipótese de variância e Análise de Variância (ANOVA) Prof. Marcos Vinicius Pó Métodos Quantitativos para Ciências Sociais

2 Testes sobre variâncias Problema: queremos saber se há diferenças estatisticamente significativas entre os desvios-padrão de duas amostras, ou seja, se elas são ou não homocedásticas Em termos de teste de hipótese isso significa: H 0: 1 HA: 1

3 Teste para variância usando Qui-quadrado (χ) Pode-se testar uma variância nos mesmos moldes de teste de médias, utilizando-se a distribuição χ A medição de χ Obs é determinada por: n S ref Obs 1 obs A região crítica é bicaudal, determinada pelo γ, de acordo com os graus de liberdade (ν) determinados pela amostra. α/ γ α/ a b 3

4 Teste para variância usando F (Fisher-Snedecor) Sejam S 1 e S as variâncias de duas amostras, definimos F como: Para um determinado coeficiente de confiança γ, temos o seguinte intervalo de confiança para a razão entre duas variâncias: S S F 1 s s f s s f IC ; 4

5 Propriedades da distribuição F Família de curvas determinada pelos graus de liberdade no numerador e no denominador (ν 1 e ν ); São representadas graficamente de forma positiva; A área total sob cada curva de uma distribuição F é 1; Para todas as distribuições F, o valor médio de F é aproximadamente 1. 5

6 Exemplo de curvas da distribuição F Fonte: Wikipédia F f 1; 6

7 Região Crítica na curva F para teste de variâncias Dica prática: se o maior valor ficar no numerador, ou seja, F 1, os testes unicaudais serão à direita e para os testes bicaudais basta encontrar o valor crítico à direita. α/ F 1, f 1 1,, / F f : F 1,, / Como as tabelas são limitadas, lembrar que: F,, 1 F 1, 1, 7

8 Exemplo de tabela F: p=,5% 8

9 Exemplo: teste de variância 1.Estabeleça um intervalo de confiança de 95% para S 1 /S considerando duas amostras idênticas e independentes com os seguintes tamanhos: 30, 60 e 10. 9

10 Modelos explicativos estatísticos Modelos estatísticos visam descrever sinteticamente o comportamento de variáveis. Eles podem ser definidos como: Observação = Previsível + Aleatório; ou Observação = Previsível x Aleatório Um modelo estatístico para uma observação pode ser definido basicamente por uma equação do tipo: yi ei Onde: y i : efeito verificado na i-ésima observação θ : efeito fixo, comum a todos e i : erro, devido à fatores não explícitos no modelo, com distribuição e i ~N(0;σ ) 10

11 Questões sobre o modelo explicativo Será que eu consigo entender melhor a realidade ou fazer previsões melhores se eu tiver determinadas informações de antemão? Será que consigo diminuir as incertezas e o erro do meu modelo explicativo? Será que vale a pena tornar o modelo explicativo mais complexo, acrescentando variáveis? 11

12 ANOVA e modelos estatísticos O objetivo dos nossos modelos explicativos estatísticos é diminuir aquilo que não é explicado, ou seja, o erro. Até agora os nossos modelos restringiam-se a apenas uma estimativa: yi ei ou yi p ei onde ei f ( ) Será que podemos diminuir o erro se incluirmos outras variáveis explicativas não tratadas no modelo simples? A ANOVA permite testar e mensurar isso. 1

13 ANOVA (ANalisys Of VAriance) A ANOVA permite fazer uma comparação global de amostras ou subamostras, minimizando a probabilidade de erro amostral, pois, conforme aumenta o número de amostras, o total de comparações entre pares cresce exponencialmente Pressupostos da ANOVA Amostras aleatórias simples Amostras independentes Populações normais As populações são homocedásticas Amostras/ subamostras Total de comparações

14 Fonte: https://xkcd.com/88/ 14

15 ANOVA de 1 fator (unidirecional) Objetivo: avaliar se várias médias de subpopulações são iguais ou se pelo menos uma é diferente. H 0 : μ 1 = μ =... = μ n H A : pelo menos um μ é diferente Para isso, verificamos como se comporta a variação entre as várias subpopulações e a variação dentro dessas subpopulações, medindo o ganho explicativo usando a estatística F (razão F). Essa estatística indica o tamanho da diferença entre as amostras, em função do tamanho da variação dentro de cada amostra. F MQe MQd Onde: MQe = Variância entre amostras MQd = Variância dentro das amostras 15

16 Tabela da ANOVA Para facilitar o manuseio dos dados, eles são organizados em uma tabela: n: número de amostras k: número de subpopulações SQe k k 1n( xx ) SQd 1( 1) i ni si SQt 1 n x i n n x 1 ( 1) Variação Soma dos Quadrados (SQ) Graus de Liberdade Média dos Quadrados (MQ) F Entre populações/ grupos SQ e gl e = k-1 MQe SQe gln MQe MQd Dentro das populações/ grupos SQ d gl d = n-k MQd SQd gld Total SQ t gl t = n-1 16

17 17

18 Apresentação de grupos: dia 19/04 (terça) Definir e explicar sucintamente o funcionamento das seguintes pesquisas do IBGE: PNAD e PNAD contínua. Pesquisa mensal de emprego (atenção às mudanças em 001 e 014!). Explicar também os critérios de cada pesquisa no que se refere ao emprego e população economicamente ativa. Referências úteis: ftp://ftp.ibge.gov.br/trabalho_e_rendimento/pesquisa_mensal_de_emprego/metodologia_da_pesquisa/srmpme_ed.pdf ftp://ftp.ibge.gov.br/trabalho_e_rendimento/pesquisa_nacional_por_amostra_de_domicilios_continua/notas_metodologicas/no tas_metodologicas.pdf 18

19 Exemplo: modelo explicativo e uso da ANOVA Deseja-se avaliar explicações para o tempo de reação das pessoas a um estímulo visual. Para isso mede-se o tempo de reação (y) de 0 pessoas e compila-se variáveis que, com base nas teorias, podem afetar y. Objetivo: achar um modelo explicativo para o tempo de reação que seja simples e abrangente (satisfatório). Indivíduo Tempo de Gênero Idade Acuidade reação (ms) (M/F) (anos) Visual (%) i y w x z 1 96 M F M F F M M F F M M F F F M M F F M M Dados tirados de Bussab, Wilton. Análise de Variância e Regressão. a. Ed. Editora Atual: São Paulo

20 Modelo I: média e desvio-padrão Modelo explicativo básico: (o mais simples K.I.S.S.): o tempo de reação dos indivíduos varia aleatoriamente, podendo ser explicado apenas pela média e a variância. Obtenha média e desvio-padrão do tempo de reação. Calcule a soma dos erros quadráticos [Σ(ȳ-y i ) ]. O que vocês acham? O modelo explica bem o fenômeno? Por que? É possível melhorar? Será que vale a pena deixar o modelo mais complexo para melhorá-lo? 0

21 Modelo II: separando por Gênero (duas populações) Adicionamos uma discriminação nos nossos dados: j = Gênero (M/F; M=1,F=...) y ij i e ij Temos agora duas populações, Masculina e Feminina Calcular média e desvio-padrão para ambas. Calcule a soma dos erros quadráticos de ambas São estatisticamente diferentes? Será que o modelo fica melhor adicionando essa variável? ȳ M = 110,1; σ M = 74,54; SEQ M = 566,9 ȳ F = 104,9; σ F = 6,99; SEQ F = 670,9 1

22 Fazendo a tabela de ANOVA Precisamos calcular: Variância dentro das populações (SQ d ) o Soma da soma de erros quadráticos de cada uma das populações Variância entre as populações (SQ e ) o SQ t = SQ e + SQ d = SQ e = SQ t - SQ d Determinar os graus de liberdade Variação Entre populações/ grupos Dentro das populações/ grupos Soma dos Quadrados (SQ) ,8 =135, Graus de Liberdade SQ e = 1 566, ,9 =137,8 SQ d = n- = 18 Total 1373,0 n-1 = 19 Média dos Quadrados (MQ) SSe g ln SSd gld 135, 68,77 MSe MSd F 1,97

23 Medidas que a ANOVA permite R : coeficiente de explicação = a quantidade de informação que é explicada pelo modelo adotado R SQe SQt p-valor de F: indica a possibilidade de generalização do modelo para a população Igual ao p-valor de um teste de hipótese, ou seja, o nível em que podemos afirmar que o modelo é significativo 3

24 Exemplo Separar as populações por idade Calcular para cada uma Média e desvio-padrão (colocar em um quadro comparativo) Soma dos quadrados dos erros Colocar na tabela de ANOVA O que parece? Esse modelo melhora a nossa previsão? Quanto? 4

25 Modelo III: Múltiplas populações (separação por idade) Resultado Total média 107,5 98,5 103,3 107,8 110,8 117,3 dpad 8,50 5,97 5,1 6,65 5,6 6,85 SQDesvios 1373,0 107,0 78,8 13,8 94,8 140,8 554,0 5

26 ANOVA do Modelo III n: número de amostras k: número de populações Fc (5%;4;15) = 3,06 p-valor (5,54;4;15) = 0,61% R = 0,587 Variação Entre populações/ grupos Dentro das populações/ grupos Soma dos Quadrados (SQ) Graus de Liberdade Quadrados das Médias (SQM) SS e = 819 k-1 = 4 04,75 5,54 SS d = 554,0 n-k = 15 36,93 Total 1373,0 n-1 = 19 7,6 SSe g ln SSd gld MSe MSd F 6

27 Conclusões do Modelo III É estatisticamente significativo (ao nível de menos de 1%) Possui um bom valor explicativo (58,7%) Portanto, o modelo III tem qualidades para ser adotado. Isso significa que a idade é um fator explicativo relevante para o fenômeno observado (tempo de reação). 7

28 Exercícios 1. Em um curso de extensão universitária pesquisaram-se os salários mensais (em unidades de referência) e a área de formação acadêmica dos estudantes, com base em uma amostra aleatória. Após eliminar-se os dados excessivamente destoantes, obteve-se o resultado abaixo. Podemos considerar que os salários de cada área são iguais? n Média Desvio-padrão Sociais 1 30,9 19, Engenharia 15 34, 8, Biológicas 7 38,1,3 8

29 Exercícios. Um analista quer determinar se há diferença na média de vendas mensais de quatro regiões diferentes. É feita uma seleção aleatória de vendedores de cada região e cada um fornece os resultados (em R$ mil) do mês anterior. Com α = 5% podemos concluir que há diferença na média de vendas de pelo menos uma das regiões? Variância total = 68,10 Norte Leste Sul Oeste Média Variância 45, ,67 4,5 9

30 Tabela da ANOVA Para facilitar o manuseio dos dados, eles são organizados em uma tabela: n: número de amostras k: número de subpopulações SQe k k 1n( xx ) SQd 1( 1) i ni si SQt 1 n x i n n x 1 ( 1) Variação Soma dos Quadrados (SQ) Graus de Liberdade Médias dos Quadrados (MQ) F Entre populações/ grupos SQ e gl e = k-1 MQe SQe gln MQe MQd Dentro das populações/ grupos SQ d gl d = n-k MQd SQd gld Total SQ t gl t = n-1 30

31 Tabela F: p=5% 31

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