Considerações. Planejamento. Planejamento. 3.3 Análise de Variância ANOVA. 3.3 Análise de Variância ANOVA. Estatística II

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA CAMPUS DE JI-PARAN PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AMBIENTAL Estatística II Aula 8 Profa. Renata G. Aguiar Considerações Coleta de dados no dia Aula extra de laboratório no dia , às 8h. 1 2 Planejamento Planejamento Os método estatísticos são essenciais para um bom experimento. Todos os experimentos são planejados; infelizmente, alguns deles são pobremente planejados. Fontes valiosas são usadas ineficientemente. 3 Experimentos estatisticamente planejados permitem eficiência e economia no processo experimental e o uso de métodos estatísticos no exame de dados resulta na objetividade científica quando da retirada de conclusões. 4 A análise da variância (ou ANOVA, de ANalysis Of VAriance) é uma poderosa técnica estatística desenvolvida por R. A. Fisher. 5 A ANOVA é uma extensão do testetde Student que compara duas e só duas médias. A análise de variância permite que o pesquisador compare qualquer número de médias e visa identificar a existência de ao menos uma diferença grupos, se alguma existir. 6

2 Além de o cálculo de uma série de razõest envolver trabalho considerável, há também uma limitação estatística, porque aumenta a probabilidade de cometermos um erro tipo I. Pearson (1942) mostrou que a probabilidade (P) de se cometer um erro do tipo I aumenta com o número de médias que estão sendo comparadas (α = 0,05). H o : µ 1 = µ 2 H o : µ 1 = µ 2 = µ 3 P = 0,05 P = 0,14 7 H o : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 P = 0,26 8 Para superar esse problema necessitamos de um teste estatístico que mantenha o erro do tipo I constante tomando uma única decisão global sobre a existência de uma diferença significativa três ou mais médias amostrais que procuramos comparar. 9 Para fazer uma análise de variância, tratamos a variação total de um conjunto de valores como divisível em dois componentes: a distância ou desvio dos valores brutos em relação a sua média grupal, conhecida como variação de grupos, e a distância ou desvio das médias de cada grupo em relação às médias dos grupos, chamada variação grupos. 10 Nota Experimentos inteiramente ao acaso, fator único. Esse modelo que estudaremos é o mais simples de ANOVA e é sempre unilateral. No caso particular de um experimento com dois tratamentos, tanto se pode aplicar um teste t como a ANOVA

3 Procedimentos para a ANOVA Construindo um problema A ANOVA só deve ser realizada se forem satisfeitas algumas pressuposições que serão discutidas posteriormente. 13 O dano ecológico devido ao despejo de substâncias produzidas por certa fábrica foi medido em quatro pontos de um curso d água: antes da saída do efluente da fábrica (ponto A), na saída do efluente (B) e em dois outros pontos situados após o local B (C e D). 14 Com os dados da Tabela 3 teste a hipótese de que há diferentes índices de dano ecológico nos locais examinados (α = 0,05). Valores maiores indicam danos ecológicos maiores. Tabela 3 Índices de dano ecológico. Ponto A Ponto B Ponto C Ponto D Procedimentos para a ANOVA Antes de proceder às etapas da ANOVA, é importante analisar graficamente os dados de um experimento planejado. Por quê? Etapa 1: Formular a hipótese nula e a hipótese alternativa. H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 17 H 1 : nem todas as médias das populações são iguais. 18

4 Procedimentos para a ANOVA Etapa 2: Especificar o nível de significância a ser utilizado. α = 0,05 Etapa 3: Determinar o valor crítico do teste. Encontrar os graus de liberdade, gl N = gl Entre: (k 1) gl D = gl Dentro: (Σn i ) k 19 k representa o número de tratamentos. 20 O valor crítico de F depende do nível de significância (α) e dos graus de liberdade do numerador e denominador, sendo indicado por F α ; gl N ; gl D gl N significa graus de liberdade da variância do numerador e gl D, o mesmo para o denominador. 21 Etapa 4: Determinar o valor calculado do teste. As fórmulas apresentadas a seguir são válidas tanto para delineamentos em que as amostras têm tamanhos iguais quanto nos casos nos quais os tamanhos variam Termo de correção C: 4.2 A soma de quadrados total: C= ( x) n i 2 total = x 2 C 23 24

5 4.3 A soma de quadrados tratamentos: 4.4 A soma de quadrados (resíduo): Ti ni = 2 C = total T representa o total de cada tratamento O quadrado médio tratamentos: 4.6 O quadrado médio de resíduos: = k 1 = ( n ) k i O valor de F: F = Tabela 4 Análise de variância de um experimento inteiramente ao acaso. Causas de Variação GL F cal F α;gln;gld Entre tratamentos (k 1) Dentro (resíduo) (Σn i ) k Total total (Σn i )

6 Importante Etapa 5 : Tomar a decisão. Rejeita-se H 0 se o valor calculado de F for maior que o valor crítico, ao nível de significância estabelecido e com os mesmos graus de liberdade. Etapa 6 : Concluir. 31 É extremamente importante que o pesquisador entenda o que o teste de hipóteses pode fazer por ele. O teste não comprova nenhuma das hipóteses. Se o resultado do teste for significante, existe evidência contra a hipótese da nulidade (de que as médias são iguais). Então se rejeita essa hipótese. 32 Muito Importante Importantíssimo O experimento precisa ser bem delineado. No caso de experimentos inteiramente ao acaso, é essencial que as unidades experimentais utilizadas no experimento sejam, de início, similares e que a designação dos tratamentos às unidades Se isso não for feito não se deve concluir que os tratamentos são diferentes, mesmo diante de um teste F significante. tenha sido ao acaso Considerações Considerações Os dados variam em torno da média geral, mas boa parte dessa variação é explicada pelo fato de os tratamentos darem respostas muito diferentes. Geralmente é o que queremos ver comprovado. 35 Se as médias de tratamentos fossem iguais, toda a variação seria aleatória (casual) porque os tratamentos não seriam uma causa (ou fator) de variação. 36

7 Coeficiente de Determinação Coeficiente de Determinação Para ANOVA, coeficiente de determinação, que se indica por R 2, é a razão a soma de quadrados tratamentos e a soma de quadrados total, 2 R = total 37 Portanto, R 2 é uma medida da proporção da variação total explicada pela variação devida aos tratamentos. Como o valor de R 2 varia 0 e 1, pode ser interpretado como uma porcentagem. 38 Rememorando Encontre o R 2 para a situação-problema 22 e explique. 39 Para ter ideia da dispersão (ou inversamente, da precisão) dos dados em relação à grandeza da média, o pesquisador deve dividir o desvio padrão pela média. 40 Dados muito dispersos são pouco precisos, ou seja, quanto maior é a variância dos dados, menor é a precisão. Por definição, coeficiente de variação, que se indica por CV, é a razão o desvio padrão (que, na ANOVA é dado pela raiz quadrada do quadrado médio do resíduo) e a média geral (de todos os dados), 41 CV = x

8 O conhecimento da precisão relativa ajuda na avaliação dos resultados de um experimento. Experimentos feitos em laboratório Experimentos de campo O importante é comparar o valor de CV obtido em determinado experimento com o resultado de outros autores. Se os dados foram obtidos de maneira idêntica, diferenças muito grandes do padrão comum exigem explicações. CV não exceder 10% CV não exceder 30% Situação-problema 23 Encontre o CV para a situação-problema 22 e explique. Em um estudo sobre a resitência do concreto à compressão foram investigadas quatro técnicas diferentes de mistura, os resultados encontram-se na Tabela Situação-problema 23 Situação-problema 23 Tabela 5 Resistência à compressão (psi) do concreto de acordo com a técnica de mistura. Técnica 1 Técnica 2 Técnica 3 Técnica a. Construa um gráfico. b. Teste a hipótese de que as técnicas de mistura afetam a resistência do concreto. Use α = 0,05. Explique o resultado. 47 c. Calcule R 2 e CV e explique. 48

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