ESTATÍSTICA E. Prof Paulo Renato A. Firmino. Aulas

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1 ESTATÍSTICA E Prof Paulo Renato A. Firmino Aulas 05-06

2 Descritiva Medidas de Posição Mediana: É o valor que se localiza no centro de uma amostra ordenada Se o número de observações (n) for impar, a mediana será o valor que se localiza na posição (n+1)/2 da amostra ordenada Se não, a de se ponderar os valores localizados nas posições n/2 e n/2+1 É o valor cuja percentagem de valores menores ou iguais equivale a 50% quantile(x, prob=0.5) Dados não ordenados x 1 x 2 x 3... x j... x n Ordenação sort(x) Dados posição ordenados 1 x 32 2 x n 3 x j (n+1)/2 x n x 4 stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 2

3 Descritiva Medidas de Posição Mediana: Não deve ser usada sobre variáveis nominais, pois requer a ordenação das categorias Ex. 1: Degradação = {0, 2, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 0} Mediana =1 Ex. 3: tempo de atendimento = {5, 10, 2.3, 4, 4.1, 3, 7, 2, 4.5, 0.3} Mediana = (4+4.1)/2 = 4.05 stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 3

4 Descritiva Medidas de Posição Exercício 1: Obtenha a mediana nos seguintes casos 1. Tempos de aposentadoria em dada comunidade (em anos): 5, 10, 2.3, 4, 4.1, 3, 7, 2, 4.5, Considera-se que o seguinte modelo se ajusta bem à distribuição de renda (x) de dado local: f(x) = e 1 2 ( x 630) 2 3. Considere as variáveis de BSI01. 6

5 Descritiva Medidas de Posição Quantil: Uma generalização da mediana é a função Quantil A mediana é o quantil 50% da amostra ordenada (Q 50% ) De maneira geral, tem-se Q 100 p% (o quantil 100 p%) como sendo o valor que se encontra na posição p n da amostra ordenada Toda a abordagem apresentada para a mediana pode ser aplicada para o cálculo de um quantil qualquer quantile(x, prob=p) stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 7

6 Descritiva Medidas de Posição Média aritmética: É a razão entre a soma dos valores observados e o número de valores observados x = n i= 1 n x i É a medida de posição que representa o centro de gravidade da amostra Sofre influência de todos os valores da amostra Isto não ocorre com a moda ou a mediana, por exemplo Não deve ser apliaca a variáveis qualitativas Realiza operações matemáticas de soma e divisão Ex. 1: tempo de vida: 5, 10, 2.3, 4, 4.1, 3, 7, 2, 4.5, 0.3 Média = ( )/10 = 4.22 mean(x) stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 8

7 Descritiva Medidas de Posição Exercício 2: Obtenha a média nos seguintes casos 1. Tempos de aposentadoria em dada comunidade (em anos): 5, 10, 2.3, 4, 4.1, 3, 7, 2, 4.5, Considera-se que o seguinte modelo se ajusta bem à distribuição de renda (x) de dado local: f(x) = e 1 2 ( x 630) 2 3. Considere as variáveis de BSI01. stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 10

8 Descritiva Medidas de Posição Aplicação por tipo de variável: Medida Moda Mediana Média Tipo de variável Qualitativa Quantitativa Nominal Ordinal Pode Pode Pode Não pode Pode Pode Não pode Não pode Pode stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 11

9 Descritiva Medidas de Dispersão Medidas de posição permitem inferir sobre o valor que a variável aleatória assumirá Qual será o resultado do lançamento da moeda? Quantos milímetros de chuva teremos na próxima semana? Quanto valerá a cesta básica em Outubro? Medidas de dispersão permitem medir quão confiáveis são estas inferências Elas medem a variabilidade que caracteriza uma variável como tal A quantidade de milímetros de chuva varia muito de uma precipitaçao para outra? O valor da cesta básica tem variado pouco ao longo dos meses? stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 13

10 Descritiva Medidas de Dispersão Índice de variação qualitativa (IQV): É a razão entre a quantidade de variação observada nos dados e a máxima variação possível É geralmente aplicada a variáveis qualitativas Assume valores entre zero (não há dispersão nos dados) e 1 (observa-se máxima dispersão nos dados) 2 k(n n i= 1 IQV = 2 n (k 1) k nº de classes n tamanho da amostra n i freqüência da classe i k 2 i ) #freq: the absolute frequency distribution iqv<-function(freq){ k<-length(freq) n<-sum(freq) sum_n2 <- sum(freq*freq) n2 <- n^2 k*(n2-sum_n2)/(n2*(k-1)) } Veja que as categorias observadas não são envolvidas nas contas Mas sim as suas frequências stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 14

11 Descritiva Medidas de Dispersão Exercício 3: Para os seguintes casos, calcule o IQV. Tente interpretar seus resultados. 1. Tempos de falha (em anos): 5, 10, 2.3, 4.5, 4.1, 3, 7, 2, 4, Sexo de entrevistados (1- masc, 2-femin): 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1 3. Grau de instrução de entrevistados (1- sem formação, 2-ens fundam, 3-ens médio, 4-ens super): 1, 4, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 3 4. Nº de leitos ocupados de um hospital (por dia): 33, 21, 26, 22, 24, 28, 35, 23, 27, 25, 32, Considere as variáveis de BSI01. stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 15

12 Descritiva Medidas de Dispersão Amplitude: É a diferença entre os valores máximo e mínimo da amostra Amplitude = max - min Por usar o operador matemático de subtração, não deve ser aplicado a variáveis qualitativas Não mede a dispersão dos dados contidos entre os extremos, tornando-se relativamente pobre Amplitude l<-range(x) amplitude <- l[2]-l[1] min max stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 16

13 Descritiva Medidas de Dispersão Variância amostral (s 2 ): É a razão entre a soma dos quadrados das diferenças entre cada observação e a média e o número de observações (n) menos 1 s 2 = n i= 1 (x i n 1 x) 2 Indicada apenas para variáveis quantitativas Considera todas as observações disponíveis A divisão por n-1 se dá de forma a eliminar eventuais vícios de estimadores. Devido à sua unidade de medida ser o quadrado da unidade de medida da variável, é comum que se trabalhe com o desvio padrão (DP): s = 2 s var(x) stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 17

14 Descritiva Medidas de Dispersão Exercício 4: Para os seguintes casos, calcule a amplitude, variância e o desvio-padrão 1. Produção de grãos de dada comunidade em 4 meses (em toneladas): 1, 2, 4, 3 2. tempos de falha (em anos): 5, 10, 2.3, 4.5, 4.1, 3, 7, 2, 4, Nº de leitos ocupados de um hospital (por dia): 33, 21, 26, 22, 24, 28, 35, 23, 27, 25, 32, 34 stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 18

15 Descritiva Medidas de Dispersão Exercício 5: Para o seguinte caso, calcule a variância e o desvio-padrão 1. A distribuição de frequências do nº de clientes mensais de uma empresa é dada por freq absoluta categoria (n i ) Total 10 stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 20

16 Descritiva Medidas de Dispersão Coeficiente de Variação (CV): É a razão entre o desvio-padrão e a média cv = s x Indicado apenas para os casos onde a média difere de zero Mais usado para variáveis não negativas Nestes casos, ele expressa a porcentagem de variação da amostra em relação à média Trata-se de uma medida adimensional Permite que a dispersão de diversas variáveis seja comparada Esta seria uma tarefa árdua se recorrêssemos à amplitude, variância e desvio-padrão stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 21

17 Descritiva Medidas de Dispersão Exercício 6: Retorne ao Exercício 3 e ao Exercício 4 e calcule o CV. 1. Qual amostra apresenta maior variabilidade? 2. Qual delas é menos dispersa? stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 22

18 Descritiva Medidas de Dispersão Aplicação por tipo de variável: Tipo de variável Qualitativa Quantitativa Medida IQV Pode Pode Amplitude Não pode Pode Variância (desvio-padrão) Não pode Pode stica Aplicada - Paulo Renato A. Firmino 23

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