Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos 1º Semestre de 2013 Capítulo 3 Introdução à Probabilidade e à Inferência Estatística

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1 Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Capítulo 3 Introdução à Probabilidade e à Inferência Estatística

2 Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agora, nós vamos ver como reunir a análise exploratória de dados, modelos probabilísticos e amostragem, para podermos desenvolver uma área importante dentro da estatística, conhecida por Inferência Estatística.

3 Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Inferência Estatística: A Inferência Estatística consiste em um conjunto de métodos usados para tomar decisões ou tirar conclusões acerca de uma população. Esses métodos utilizam a informação contida em uma amostra da população para tirar conclusões.

4 Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Inferência Estatística: ESTIMAÇÃO PONTUAL DUAS GRANDES ÁREAS INTERVALAR TESTE DE HIPÓTESES

5 Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Exemplo: SITUAÇÃO 1: Considere que um engenheiro de estruturas esteja analisando a resistência à tensão de um componente usado em um chassi de automóvel. Uma vez que a variabilidade da resistência à tensão está naturalmente presente entre componentes individuais, o interesse do engenheiro está na estimação da resistência média à tensão dos componentes. Na prática, o engenheiro usará dados da amostra para calcular um número que é, de algum modo, um valor razoável (ou tentativa) da média verdadeira. Esse número é chamado de estimador.

6 Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Exemplo: SITUAÇÃO 2: Considere agora uma situação em que duas temperaturas diferentes de reação, como t 1 e t 2, possam ser usadas em um processo químico. O engenheiro conjectura que t 1 resulta em rendimentos maiores que t 2. Neste caso, não há ênfase na estimação de rendimentos; em vez disso, o foco está na tirada de conclusões acerca de uma hipótese estabelecida (t 1 tem maior rendimento que t 2 ).

7 Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS: Na maioria dos problemas de inferência estatística, é impossível ou impraticável observar a população inteira. ALTERNATIVA: Observar um conjunto de observações da população (AMOSTRA) para ajudar a tomar decisões à cerca da população. OBJETIVO: A amostra tem que ser representativa da população. SOLUÇÃO: Selecionar uma amostra aleatória.

8 Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS: Definição 1: As observações (X 1,X 2,...,X n ) são uma amostra aleatória de tamanho n, se: (a) os X s são observações independentes, (b) todos os X i s podem ser representados pela mesma distribuição de probabilidade.

9 Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS: EXEMPLO: Suponha que estejamos investigando a vida efetiva de serviço de um componente eletrônico usado em um marca-passo cardíaco e que a vida do componente seja normalmente distribuída. Então, esperaríamos que cada uma das observações da vida do componente X l, X 2,..., X n em uma amostra aleatória de n componentes fosse uma variável aleatória independente com, exatamente, a mesma distribuição normal. Depois dos dados serem coletados, os valores numéricos dos tempos de vida observados são denotados por x 1, x 2,..., x n.

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11 Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS: Definição 3: Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da população. Exemplos de Parâmetros: Média populacional: µ Variância populacional: σ 2 Desvio-padrão populacional: σ

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15 Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS: Exemplo: Similarmente, se a variância da população σ 2 for também desconhecida, um estimador para σ 2 será a variância da amostra S 2 e o valor numérico s 2 = 6.9, calculado a partir dos dados amostrais, é chamado de estimativa de σ 2.

16 Introdução ao Planejamentos e Análise Estatística de Experimentos DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS: Problemas de estimação ocorrem frequentemente em todas as áreas. Geralmente, é necessário estimar: A. A média µ de uma única população; B. A variância σ 2 (ou desvio-padrão σ) de uma única população; C. A proporção p de itens em uma população que pertence a uma classe de interesse; D. A diferença nas médias de duas populações, µ 1 - µ 2 ; E. A diferença nas proporções de duas populações, p 1 p 2 ;

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18 Introdução ao Planejamentos e Análise Estatística de Experimentos Podemos ter várias escolhas diferentes para o estimador pontual de um parâmetro. Por exemplo, se desejarmos estimar a média de uma população, podemos considerar como estimadores a média ou a mediana da amostra ou talvez a média das observações menores e maiores da amostra. SOLUÇÃO: Estabelecer critérios para escolha de um estimador. Os critérios para escolha do melhor estimador para um determinado parâmetro populacional são definidos a partir de propriedades desejáveis destes estimadores.

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21 Introdução ao Planejamentos e Análise Estatística de Experimentos Definição 5: Se considerarmos todos os estimadores não viciados de um parâmetro θ, aquele com menor variância será denominado de estimador não viciado de menor variância. EXEMPLO: Deseja-se comprar um rifle, e dentre muitos, foram selecionados quatro deles, denominados de rifles A, B, C e D. Com o objetivo de testá-los, foram disparados 15 tiros com cada um deles. Com o objetivo de selecionar uma arma dentre as 4, deve-se adotar alguns critérios.

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23 Introdução ao Planejamentos e Análise Estatística de Experimentos Os rifles B e D são viciados, isto é, os tiros estão deslocados do alvo. Além disso, o B tem pouca precisão. O rifle A é não viciado, porém apresenta baixa precisão, isto é os tiros estão muitos espalhados. De acordo com esses critérios o rifles adotado seria o C, pois ele é não viciado e tem boa precisão.

24 Introdução ao Planejamentos e Análise Estatística de Experimentos MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO: A forma de obtenção de um estimador para um dado parâmetro populacional, de preferência com as propriedades desejáveis, pode ser feita utilizando-se diferentes procedimentos chamados de métodos de estimação. Esses métodos não serão aqui apresentados e podem ser vistos, por exemplo, em Montgomery e Runger (ver bibliografia do curso). Destacamos que os principais métodos de estimação são: 1. Métodos dos Momentos; 2. Método da Máxima Verossimilhança; 3. Método dos Mínimos Quadrados;

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27 Introdução ao Planejamentos e Análise Estatística de Experimentos DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL: A distribuição amostral de uma estatística depende da distribuição da população, do tamanho da amostra e do método de seleção da amostra. A próxima seção deste capítulo apresenta talvez a mais importante distribuição amostral. Outras distribuições amostrais e suas aplicações serão ilustradas quando necessárias (por exemplo, a distribuição amostral da variância amostral).

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29 Introdução ao Planejamentos e Análise Estatística de Experimentos DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL: Seja uma população composta de 4 suínos, cujos pesos foram observados: Suínos Pesos (kg) A 68 B 80 C 84 D , µ = 79,8 kg σ = = 52,18 kg σ = σ = 7, 22 kg 4 Todas as possíveis amostras de tamanho 2, com reposição, desta população estão apresentadas na próxima tabela.

30 Introdução ao Planejamentos e Análise Estatística de Experimentos DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL: Seja uma população composta de 4 suínos, cujos pesos foram observados: Suínos Pesos (kg) A 68 B 80 C 84 D , µ = 79,8 kg σ = = 52,18 kg σ = σ = 7, 22 kg 4 Todas as possíveis amostras de tamanho 2, com reposição, desta população estão apresentadas na próxima tabela.

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32 Introdução ao Planejamentos e Análise Estatística de Experimentos DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL: A média, a variância e o desvio padrão da distribuição amostral da média são: µ = = 79,75 kg X 16 σ (74 79,75) + (76 79,75) (87 79,75) = = 26,09 kg X 16 σ = 26,09 = 5,11 kg Conclusão: a média da distribuição amostral das médias é o mesmo da média da população. Já variância da distribuição das médias é a variância populacional dividida pelo tamanho da amostra.

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34 Introdução ao Planejamentos e Análise Estatística de Experimentos Distribuição Amostral da Média: JUSTIFICATIVA TEÓRICA: TEOREMA DO LIMITE CENTRAL O Teorema do Limite Central (TLC) nos diz que, independente da distribuição que a característica em estudo pode ser representada, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral da média pode ser representada pelo modelo normal.

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