MA14 - Aritmética Unidade 2 Resumo. Divisão Euclidiana

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1 MA14 - Aritmética Unidade 2 Resumo Divisão Euclidiana Abramo Hefez PROFMAT - SBM

2 Aviso Este material é apenas um resumo de parte da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 3 - Seção 3.2 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Estes resumos contaram com a colaboração de Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 2/21

3 Divisão Euclidiana Mesmo quando um número inteiro a, não nulo, não divide um número inteiro b, vale o seguinte fato: É sempre possível efetuar a divisão de b por a, com resto pequeno. Este resultado, de cuja justificativa geométrica daremos uma ideia quando a é natural, foi utilizado por Euclides (Século 3 a.c), nos seus Elementos, no âmbito dos números naturais, sem enunciá-lo explicitamente. Essa propriedade não só é um importante instrumento na obra de Euclides, como também é um resultado central da teoria elementar dos números. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 3/21

4 De fato, suponhamos que a Z e consideremos a decomposição de Z em união de intervalos disjuntos: Z =... [ 2a, a) [ a, 0) [0, a) [a, 2a)... Fica claro que qualquer número inteiro b pertence a um e somente um desses intervalos, digamos b [qa, qa + a). Portanto, b = qa + r, onde q e r são univocamente determinados, com 0 r < a. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 4/21

5 Agora enunciamos o resultado geral: Teorema (Divisão Euclidiana) Sejam a e b dois números inteiros com a 0. Existem dois únicos números inteiros q e r tais que b = a q + r, com 0 r < a. Nas condições do teorema, os números a e b são o divisor e o dividendo, enquanto q e r são chamados, respectivamente, de quociente e de resto da divisão de b por a. Note que o resto da divisão de b por a é zero se, e somente se, a divide b. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 5/21

6 Exemplos Como 19 = , o quociente e o resto da divisão de 19 por 5 são q = 3 e r = 4. Como 19 = 5 ( 4) + 1 o quociente e o resto da divisão de 19 por 5 são q = 4 e r = 1. Como 32 = ( 5) ( 6) + 2 o quociente e o resto da divisão de 32 por 5 são q = 6 e r = 2. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 6/21

7 Exemplos - Continuação Mostrar que o resto da divisão de 10 n por 9 é sempre 1, qualquer que seja o número natural n. Solução Como mostrar um tal resultado? Alguns experimentos ajudam a entender melhor o problema: 10 1 = 10 = , 10 2 = 100 = , 10 3 = 1000 = Agora já entendemos melhor a questão e o resultado nos parece tão óbvio que até podemos dizer que 10 n = 9 } 1.{{.. 11} +1, n vezes donde, por ser 0 1 < 9, podemos afirmar que o resto da divisão por 9 é sempre 1. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 7/21

8 Muito bem, alguém poderia ponderar: Pronto, já mostramos! Mas, atenção! Mostrar em matemática é sinônimo de provar! E aí, como provar tal resultado? Via de regra, quando temos uma asserção que envolve todos os números naturais maiores do que um dado natural, a tendência é tentar indução, a menos que tenhamos uma ideia melhor! PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 8/21

9 A nossa asserção se traduz matematicamente do seguinte modo: P(n): Existe q Z tal que 10 n = 9q + 1. Já verificamos acima que P(1) é verdade. Para mostrar que P(n) = P(n + 1), suponhamos que P(n) seja verdade, ou seja que existe q Z tal que 10 n = 9q + 1. Multiplicando por 10 ambos os lados dessa última igualdade, temos que 10 n+1 = 10(9q + 1) = 9 10q + 10 = 9(10q + 1) + 1, o que mostra que existe q = 10q + 1 tal que 10 n+1 = 9q + 1, provando que P(n + 1) é verdade. Pelo Princípio de Indução Matemática, P(n) é verdade n N. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 9/21

10 Outra Solução Com o que temos em mãos, poderíamos ter dado uma demonstração alternativa da nossa propriedade. De fato, lembrando da propriedade temos que ou seja, 9 10 n 1. (a b) (a n b n ), (10 1) (10 n 1 n ), Assim, 10 n 1 = 9q, logo 10 n = 9q + 1. Como 0 1 < 9, pela unicidade na divisão euclidiana, tem-se que o resto da divisão de 10 n por 9 é sempre 1. Recomendação: Antes de começar a resolver um problema, convém ler o enunciado com cuidado e tentar ver como o que se pede se relaciona com o que já conhecemos, isto pode poupar tempo e energia preciosos. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 10/21

11 Exemplos - Continuação O resto da divisão de 7 4n 2 4n + 93 por 45 é sempre 3, para todo n N. Solução Note que 7 4n 2 4n + 93 = 49 2n 4 2n Temos que 45 = 49 4 divide 49 2n 4 2n, para todo n N, logo 7 4n 2 4n = 45q, para algum q Z. Por outro lado, como 93 = , 7 4n 2 4n + 93 = 45q = 45(q + 2) + 3, com 0 3 < 45. Da unicidade do resto na divisão euclidiana, segue que 3 é o resto da divisão de 7 4n 2 4n + 93 por 45, para todo n N. Tente, como exercício, mostrar essa propriedade por indução. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 11/21

12 Parte inteira do racional a b, com b > 0 Sejam a, b Z com b > 0. Escrevamos a divisão euclidiana de a por b: a = bq + r, com 0 r < b. Vamos dar uma interpretação para o quociente q dessa divisão. Como temos que Então, dividindo por b, bq bq + r < bq + b = b(q + 1), }{{} a bq a < b(q + 1). q a b < q + 1. Portanto, q é o maior inteiro menor ou igual ao racional a b e é chamado de parte inteira do número racional a b, sendo denotado por [ ] a b. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 12/21

13 Exemplos de parte inteira Aproveitando alguns cálculos feitos anteriormente, temos [ 19 5 [ 19 5 ] [ = ] [ 5 = ] = 3. ] [ ] = 5 ( 4)+1 5 = [ ] = 4. Note que 4 < 3, 8 = 19 5 < 3. [ ] [ ] 32 5 ( 7) + 3 = = 5 5 [ ] = 7. 5 Se a Z e α Q, com 0 α < 1, então [a + α] = a. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 13/21

14 Aplicação Quantos múltiplos de 9 há entre 238 e 1247? Entendemos que se algum dos números 238 ou 1247 for múltiplo de 9, ele deve ser contado. Solução Às vezes, um problema se torna mais claro, quando generalizado. Dados 0 < a < c, vamos contar quantos múltiplos de a existem entre 1 e c. Pela divisão euclidiana, temos que c = aq + r, com 0 r < a. Portanto, podemos escrever a lista dos múltiplos de a entre 1 e c como segue: a, 2a,..., (q 1)a, qa. Agora ficou fácil contar esses números: o seu número é q = [ c a ]. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 14/21

15 Continuação Agora, dados 0 < a < b < c, se quisermos contar quantos são os múltiplos de a entre b e c, procedemos como segue: De [ ] c a, que é o número de múltiplos de a entre 1 e c, devemos subtrair [ ] b 1 a, que é o número de múltiplos de a anteriores a b. Assim, o número de múltiplos de a entre b e c é [ c ] [ ] b 1. a a Portanto, a resposta para o nosso problema é: [ ] [ ] = PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 15/21

16 Par ou ímpar? Desde os tempos de Pitágoras, os números inteiros são classificados em pares e ímpares. Essa classificação pode ser justificada pela divisão euclidiana. Dado um número inteiro n Z qualquer, temos duas possibilidades: i) n é par: o resto da divisão de n por 2 é 0, isto é, existe q N tal que n = 2q; ou ii) n é ímpar: o resto da divisão de n por 2 é 1, ou seja, existe q N tal que n = 2q + 1. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 16/21

17 Generalização: divisão por m 3 Mais geralmente, fixado um número natural m 2, pode-se sempre escrever um número qualquer n, de modo único, na forma n = mk + r, onde k, r Z e 0 r < m. Por exemplo, todo número inteiro n pode ser escrito em uma, e somente uma, das seguintes formas: 3k, 3k + 1, ou 3k + 2. Ou ainda, todo número inteiro n pode ser escrito em uma, e somente uma, das seguintes formas: 4k, 4k + 1, 4k + 2, ou 4k + 3. Este último fato, permite mostrar o resultado a seguir. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 17/21

18 Exercício Nenhum quadrado de um número inteiro é da forma 4k + 3. Solução De fato, seja a Z. Se a = 4k, então a 2 = 16k 2 = 4k, onde k = 4k 2. Se a = 4k + 1, então a 2 = 16k 2 + 8k + 1 = 4k + 1, onde k = 4k 2 + 2k. Se a = 4k + 2, então a 2 = 16k k + 4 = 4k, onde k = 4k 2 + 4k + 1. Se a = 4k + 3, então a 2 = 16k k + 9 = 4k + 1, onde k = 4k 2 + 6k + 2. Vamos aplicar este resultado para mostrar algo interessante. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 18/21

19 Exercício Nenhum número da forma a = (n algarismos iguais a 1, com n > 1) é um quadrado. Solução De fato, podemos escrever a = b = 4(25 b + 2) + 3, onde b = (n 2 algarismos iguais a 1). Logo, a é da forma 4k + 3 e, portanto, não pode ser um quadrado. Com esta técnica pode-se mostrar que nenhum número da forma é soma de dois quadrados. Deixamos isto como exercício. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 19/21

20 Exercício a) Quais são os números que, quando divididos por 7, deixam resto igual à metade do quociente? Solução Seja a o número com a propriedade descrita acima. Pela divisão euclidiana de a por 7 temos que existem inteiros q e r, tais que a = 7q + r, com 0 r < 7. Como 0 r = q 2 6, então q é par, com 0 q 12. Os valores possíveis de q, r e a estão na seguinte tabela: q r a = 7q + r PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 20/21

21 Exercício b) (ENC: 2011) Seja N um número natural. Mostre que a divisão de N 2 por 6 nunca deixa resto 2. Solução Pela divisão euclidiana de N por 6, existem inteiros q e r tais que N = 6q + r, com 0 r 5. Portanto, N 2 = 36q qr + r 2 = 6(6q 2 + 2qr) + r 2. Assim, o resto que N 2 deixa na divisão por 6 é o mesmo resto de r 2. Analisaremos os valores de r 2, na seguinte tabela: r r = = = Logo, os restos possíveis são 0, 1, 3 e 4. PROFMAT - SBM Aritmética - Resumo 2 - Divisão Euclidiana slide 21/21