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1 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 8 - Seção 8.4 do livro texto da disciplina: Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Caracterização da função exponencial. slide 1/13

2 Números e Funções Reais Caracterização da função exponencial. Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

3 As funções exponenciais são, juntamente com as funções afins e as quadráticas, os modelos matemáticos mais utilizados para resolver problemas elementares. E. L. Lima, Números e Funções Elementares. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Caracterização da função exponencial. slide 3/13

4 Vimos anteriormente propriedades que caracterizaram as funções afins. Faremos aqui o mesmo com as funções exponenciais. Teorema (Caracterização da função exponencial) Seja f : R R + uma função monótona e injetiva. São equivalentes: 1 f (n.x) = f (x) n para todo n Z e todo x R; 2 f (x) = a x para todo x R, em que a = f (1); 3 f (x + y) = f (x).f (y) quaisquer que sejam x, y R. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Caracterização da função exponencial. slide 4/13

5 Demonstração: (1) (2) Primeiramente mostramos que f (rx) = f (x) r para todo racional r = m n. De fato, f (rx) n = f (nrx) = f (mx) = f (x) m f (rx) = f (x) m n = f (x) r. Agora, tomando a = f (x), temos que f (r) = f (r.1) = f (1) r = a r, para todo r Q. Sem perda de generalidade, suponhamos agora que f seja crescente. Logo, 1 = f (0) < f (1) = a. Suponhamos, por contradição, que existe um número real x tal que f (x) a x, digamos f (x) < a x (f (x) > a x é análogo). Então, pelo lema 8.2, temos que existe r Q tal que f (x) < a r < a x, ou seja f (x) < f (r) < a x. Como f é crescente, devemos ter x < r. Por outro lado, como a r < a x e a > 1, devemos ter r < x, o que é uma contradição. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Caracterização da função exponencial. slide 5/13

6 (2) (3) É imediata pois f (x + y) = a x+y = a x.a y = f (x).f (y). (3) (1) Também é imediata pois f (nx) = f (x + x + + x) = f (x).f (x)..f (x) = f (x) n. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Caracterização da função exponencial. slide 6/13

7 Definição Uma função g : R R é chamada de tipo exponencial quando existirem números reais positivos a e b, com a 1, tais que g(x) = b.a x para todo x R. Observações g é crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1. para quaisquer x, h R, os quocientes g(x + h) g(x) g(x) = a h 1 e g(x + h) g(x) = a h dependem apenas de h, mas não de x. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Caracterização da função exponencial. slide 7/13

8 Vale a recíproca da observação anterior. Teorema ( Primeira caracterização das funções de tipo exponencial ) Seja g : R R + uma função monótona e injetiva tal que, para quaisquer x, h R o acréscimo relativo g(x+h) g(x) g(x) depende somente de h. Então, se b = g(0) e a = g(1) g(0), tem-se g(x) = b.ax para todo x R. Demonstração: Observe que a hipótese equivale a supor que ϕ(h) = g(x+h) g(x) não depende de x. Substituindo g(x) por f (x) = g(x) b, obtemos que f : R R+ é monótona e injetiva, com f (x+h) f (x) independente de x e com f (0) = 1. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Caracterização da função exponencial. slide 8/13

9 Agora, pondo x = 0 na relação ϕ(h) = f (x+h) f (x), obtemos que ϕ(h) = f (h) para todo h R. Portanto, a função f cumpre a condição f (x + h) = f (x).f (h) para quaisquer x, h R e portanto, pelo teorema anterior, f (x) = a x, com a = f (1). Logo g(x) = b.a x para todo x R. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Caracterização da função exponencial. slide 9/13

10 Vejamos outra caracterização das funções tipo exponencial. Teorema ( Segunda caracterização das funções de tipo exponencial ) Para cada b, t R, suponhamos dado um número real f (b, t) > 0 com as seguintes propriedades: 1 f (b, t) depende linearmente de b e é monótona injetiva em relação à t; 2 f (b, s + t) = f (f (b, s), t). Então, pondo a = f (1, 1), tem-se f (b, t) = b.a t. Demonstração: Observe que a função ϕ : R R + dada por ϕ(t) = f (1, t) é monótona injetiva e cumpre ϕ(s + t) = f (1, s + t) = f (f (1, s), t) = f (1, s).f (1, t) = ϕ(s).ϕ(t). PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Caracterização da função exponencial. slide 10/13

11 desta forma, pelo teorema de caracterização das funções exponenciais, temos que ϕ(t) = a t, t R onde a = ϕ(1) = f (1, 1). Logo f (b, t) = b.f (1, t) = b.ϕ(t) = b.a t. Observação: Observe que b = f (b, 0) é o valor inicial da grandeza f (b, t) no tempo t = 0. Pensando em t como o tempo decorrido desde que a grandeza passou de um valor f (b, s) para um valor f (b, s + t), a propriedade (2) diz que, começar com o valor b e deixar passar o tempo s + t é o mesmo que começar com o valor f (b, s) e deixar passar o tempo t. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Caracterização da função exponencial. slide 11/13

12 Exemplo (Desintegração radioativa) Uma substância radioativa tem, no início da contagem do tempo (t = 0), massa igual a m 0. Decorrido o tempo t sua massa sofre desintegração e passa a ser m(m 0, t). Evidentemente m(m 0, t) é diretamente proporcional a m 0 e é uma função decrescente de t. Como a taxa de desintegração é constante, a variação de m(m 0, t) se dá no mesmo ritmo, qualquer que seja o momento em que ocorre a observação inicial, isto é, m(m 0, s + t) = m(m(m 0, s), t). Assim, m(m 0, t) = m 0.a t, onde a = m(1, 1). PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Caracterização da função exponencial. slide 12/13

13 . Até breve! PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Caracterização da função exponencial. slide 13/13