Reticulados, Álgebra Booleana e Formas Quadráticas Abstratas
|
|
- Daniela Correia Cabral
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Reticulados, Álgebra Booleana e Formas Quadráticas Abstratas Clotilzio Moreira dos Santos Resumo O objetivo deste trabalho é introduzir formas quadráticas sobre reticulados. Demonstramos que a definição forte de isometria de formas quadráticas sobre álgebras booleanas é equivalente a definição de isometria de formas quadráticas abstratas dada por Kaplansky em [1]. Palavras Chave: Reticulados, álgebras booleanas, formas quadráticas abstratas Introdução Adaptamos a definição de formas quadráticas sobre corpos para reticulados e definimos isometria de formas quadráticas sobre reticulados. O principal resultado é que duas formas quadráticas de dimensão dois são isométricas se, e somente se, as estruturas aditiva e multiplicativa do reticulado admitem elementos neutros e a isometria é dada por um elemento do reticulado que possui complemento. Como consequência se a é um elemento do reticulado que possui complemento, então as formas quadráticas a, b e a + b, ab são isométricas. Isto leva a considerar reticulados que são álgebras booleanas, e nesta estrutura demonstramos que esta definição de isometria é equivalente a definição de isometria de formas quadráticas abstratas dada por Kaplansky em [1]. No item 1, foi desenvolvido parte da teoria já conhecida de reticulados e álgebra booleana, para os nossos objetivos. No item 2, usando as estruturas aditiva e multiplicativa usual de um reticulado derivada da ordem, introduziremos os conceitos de forma quadrática e de isometria (forte), adaptadas das definições de formas quadráticas sobre corpos, a partir das quais demonstramos nossa proposição. No item 3, caracterizamos a isometria forte de duas formas quadráticas bidimensionais sobre álgebras booleanas, o que mostra que esta definição equivale a definição dada por Kaplansky em [1] para formas quadráticas abstratas. 1 Reticulados Um conjunto não vazio R parcialmente ordenado pela relação de ordem ; (R ) é dito reticulado se para quaisquer x, y R existem o supremo e o ínfimo de {x, y}. É usual denotá-los por x y e x y, respectivamente. Trabalho realizado como parte de pesquisa sobre formas quadráticas moreira@ibilce.unesp.br. Departamento de Matemática do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho 2
2 Por recorrência, definimos e x 1 x 2 x n := (x 1 x 2 x n 1 ) x n, n 3 x 1 x 2 x n := (x 1 x 2 x n 1 ) x n, n 3. Se existem elementos e 1 e e 2 R tais que e 1 x, x R e x e 2, x R, denotaremos e 1 por 0 R e denotaremos e 2 por 1 R. É claro que 0 R x = 0 R, 0 R x = x = 1 R x e 1 R x = 1 R. Notemos também que os elementos 0 R e 1 R podem existir independentemente. Exemplos: (1) Se a ordem (precede) atribui estrutura de reticulado em R, então a ordem dual (sucede) também atribui uma estrutura de reticulado em R dito reticulado dual (R, ). Além disso, sup{x, y} em (R, ) é igual a inf{x, y} em (R, ). O mesmo vale para inf{x, y}. Portanto, existe 1 R no reticulado (R, ) se, e somente se, existem 0 R no reticulado (R, ) e eles são iguais. O mesmo vale para 0 R no reticulado (R, ) e 1 R em (R, ). Por exemplo 0 N = 0 N no reticulado (N, ) e 1 N = 0 N no reticulado dual (N, ). Também não existe 1 N no reticulado (N, ), nem 0 N no reticulado dual (N, ). O reticulado (Z, ) não possui 0 Z nem 1 Z e, o mesmo vale para o reticulado dual (Z, ). (2) Denotemos por a relação de divisibilidade em N. Então (N, ) é um reticulado e 0 N = 1, 1 N = 0, pois 1 x, x N e x 0, x N. (3) Se (R, ) é um reticulado finito, então existem 0 R e 1 R. De fato, se R = {a 1,, a n }, n 1, então 0 R = a 1 a n e 1 R = a 1 a n. Em particular, denotando por D(n) o conjunto dos divisores positivos em Z de n N, n > 0, segue que, no reticulado (D(30), ), 0 D(30) = 1 N e 1 D(30) = 30. Algumas propriedades imediatas que serão úteis para o que vem a seguir são: Propriedades P1. Comutativa x y = y x, x y = y x. P2. Associativa { x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) z. P3. Absorção { x (x y) = x, x (x y) = x. P4. Idempotência { x x = x, x x = x. Demonstração: P1 e P4 são evidentes. Para demonstrar P2, inicialmente notamos que, se x y então x z y z. De fato, como x y e (por definição) y y z, então pela propriedade transitiva x y z. Como também z y z, vem que y z é um limite superior para {x, z}. Por definição de sup, temos o resultado. Agora usemos este fato para demonstrar que (x y) z x (y z). De fato, 3
3 Como y y z vem que x y x (y z). Além disso, de z y z x (y z) vem que x (y z) é um limite superior de {x y, z}. Por definição (x y) z x (y z). Digamos que esta é a primeira parte da demonstração de P2. Para demonstrar que x (y z) (x y) z, usemos a primeira parte e a propriedade P1, como segue: x (y z) com. = (y z) x 1a P arte y (z x) com. = (z x) y 1a P arte z (x y) com. = com. = (x y) z. Consequentemente x (y z) = (x y) z. Analogamente, se demonstra que (x y) z = x (y z). Isto conclui a demonstração de P2. A demonstração de P3, segue do fato que x y x x y, x, y R. Portanto x (x y) = x e x (x y) = x. Podemos notar que se (R, ) é um reticulado, então dados x, y R, x y se, e somente se, x y = y, ou então x y se, e somente se, x y = x. A proposição que segue mostra que as propriedades acima caracterizam o reticulado, ou seja, Proposição 1 Seja R um conjunto em que se tem duas operações + e que satisfazem as propriedades comutativa, associativa, idempotência e absorção. Então a operação binária definida sobre R por: x y se x + y = y é uma relação de ordem parcial em R que torna R um reticulado com x y = x + y e x y = x.y. Demonstração: Veja Proposição 3.2.3, pg. 76 de [2] A propriedade distributiva de uma operação em relação a outra, em geral, não é verdadeira. No entanto, temos x (y z) (x y) (x z), e (x y) (x z) x (y z), x, y, z R. Vejamos } x x y = x (x y) (x z) x x z } = x (y z) (x y) (x z). y z y x y = y z (x y) (x z) y z z x z Analogamente, demonstra-se que (x y) (x z) x (y z). Portanto, as operações e são distributivas, uma em relação a outra, se forem verdadeira as relações (x y) (x z) x (y z) e x (y z) (x y) (x z). Definição 2 Um reticulado (R, ) é dito distributivo, se para quaisquer x, y, z R se verificam as igualdades: x (y z) = (x y) (x z) e x (y z) = (x y) (x z). Exemplos: (4) Se é uma ordem total sobre R, então (R, ) é um reticulado distributivo. De fato x y = max{x, y} e x y = min{x, y} e, portanto, para todos x, y, z R devemos verificar que max{x, min{y, z}} = min{max{x, y}, max{x, z}} e min{x, max{y, z}} = max{min{x, y}, min{x, z}}. Como a ordem é total, isto deve ser verificado em cada caso que segue: x y z, x z y, y x z, y z x z x y z y x. Mas como y e z desempenham o mesmo papel, estes casos se reduz à x y z, y x z e y z x. 4
4 A verificação disto é simples. (5) O reticulado (N, ) é distributivo e, consequentemente, (D(n), ) também é distributivo. De fato, para todos x, y D(n), x y = mmc(x, y) e x y = mdc(xy). Assim, o cálculo de x y e de x y se reduz ao cálculo do máximo e do mínimo dos expoentes dos fatores primos que ocorrem na decomposição de x e y e isto se reduz ao caso anterior. (6) Reticulados dos tipos 1 1 a b c y z 0 x 0 são denominados diamante e pentágono, respectivamente. Esses reticulados não são distributivos. De fato, no diamante temos: a (b c) = a 0 = a enquanto (a b) (a c) = 1 1 = 1. E no pentágono x (y z) = x 0 = x, enquanto (x y) (x z) = y 1 = y. Demonstra-se que qualquer reticulado que não é distributivo contém um desses reticulados como sub-reticulados. É o caso de reticulados de sub-espaços vetoriais de um espaço vetorial sobre um corpo F de dimensão maior ou igual a 2. Vejamos: se u e v são vetores linearmente independentes, considere U = F.u, V = F.v e W = F (u + v). Então U + (V W ) = U, enquanto (U + V ) (U + W ) = F.u + F v. Logo este reticulado contém um sub-reticulado diamante. E o reticulado (D(12), ) contém o sub-reticulado pentágono ({1, 2, 3, 4, 12}, ), ou ({1, 3, 4, 6, 12}, ). No reticulado diamante temos: a c = a b = 1 e a c = a b = 0, mas b c. No reticulado pentágono, também temos: x z = y z = 1 e x z = y z = 0 e também x y. No entanto, temos, Proposição 3 Sejam (R, ) um reticulado distributivo e x, y, z R tais que x y = x z e x y = x z. Então y = z. Demonstração: Temos: y = y (x y) hip. = y (x z) distr. = (y x) (y z) hip. = (x z) (y z) distr. = (x y) z hip. = (x z) z = z. Definição 4 (i) Seja (R, ) um reticulado que admite 0 R e 1 R. Dizemos que y R é um complementar de x R, se x y = 1 R e x y = 0 R. (ii) Dizemos que um reticulado é complementado se todos os seus elementos possuem um complementar. 5
5 Nota 5 Obviamente, se y é o complementar de x, então x é o complementar de y. Além disso, se o reticulado é distributivo e x é um elemento do reticulado que possui complementar, então pela Proposição 3 seu complementar é único. Neste caso, denotaremos o complementar de x por x. É claro que 0 = 1 e 1 = 0. Exemplo (6) O reticulado do exemplo 5 é distributivo, mas só 0 N = 1 N e 1 N = 0 N possuem complemento e 0 N = 1 N e 1 N = 0 N. Logo, este reticulado não é complementado. Mas o sub-reticulado (D(30), ) de (N, ) é complementado, e os pares {x, x} são: {1, 30}, {2, 15}, {3, 10}, {5, 6}. Definição 6 Álgebra de Boole Uma álgebra de Boole (ou álgebra booleana) é um reticulado distributivo e complementado. 1 2 Formas quadráticas sobre reticulados De agora em diante só consideraremos reticulados distributivos e vamos denotar as operações e, respectivamente, por + e, ou seja, x + y é o supremo de {x, y} e x.y o ínfimo de {x, y}. Se (R, ) um reticulado e tendo como inspiração a definição de isometria de formas quadráticas sobre corpos, dizemos que uma aplicação F : R n R n é uma isometria, se F é bijetora do tipo linear, ou seja, F (x 1,..., x n ) = (a 11 x a 1n x n,..., a n1 x a nn x n ) onde cada a ij são elementos fixados de R. Definição 7 Uma forma quadrática (n-dimensional) sobre um reticulado (R, ) é uma n-upla denotada por a 1,..., a n. Se q = a 1,..., a n é uma forma quadrática sobre R e X = (x 1, x 2,..., x n ) R n denotemos q(x) o valor a 1 x a 2x a n x 2 n R. Notemos que pela Propriedade P4 (idempotência) q(x) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n. Neste artigo vamos explorar a seguinte definição forte de isometria. Definição 8 Duas formas quadráticas n-dimensionais q 1 e q 2 são isométricas e denotamos por q 1 q 2, se existe uma aplicação bijetora F : R n R n tal que q 1 = q 2 F R n F R n q 2 q 1 R É fácil ver que esta relação é simétrica e transitiva. No entanto, a propriedade reflexiva é explorada nos lemas que seguem, em casos particulares de formas quadráticas. Lema 9 As formas quadráticas unidimensionais a e b definidas sobre o reticulado (R, ) são isométricas se, e somente se, existe 1 R e a = b. Em particular a a se, e somente se, existe 1 R. 1 Existe uma definição alternativa de álgebra booleana: Um conjunto B junto com duas operações + e que satisfazem: (1) x+y = y+x, x.y = y.x (2) x+(y.z) = (x+y).(x+z), x.(y+z) = x.y+x.z (3) Existem 0, 1 B tais que x + 0 = x, x.0 = 0, x + 1 = 1, x.1 = x (4) x B existe x B tal que x + x = 1 e x.x = 0. Alguns autores exigem ainda as propriedades associativa e absorção, mas estas são consequência das quatro propriedades dadas. É fácil demonstrar que as duas definições são equivalentes. 6
6 Demonstração: Se existe 1 R então F : R R definida por F (x) = x é uma isometria. Portanto a = a F, ou seja a a. Reciprocamente, se a b então existe uma aplicação bijetora G : R R, G(x) = cx, tal que a = b G. Seja F : R R, F (x) = dx a inversa de G. De F G = Id R vem que dcx = x, para todo x R. Isto é equivalente a x dc, x R, ou seja, existe 1 R e 1 R = dc. Além disso, como dc d, c 1, vem que d = c = 1 R. Consequentemente, de a (x) = b (G(x)), x R segue que ax = bx, x R e para x = 1, obtemos a = b. Nota 10 Este lema é verdadeiro para um reticulado qualquer, não necessariamente distributivo. Mas no próximo lema já faremos uso da distributividade. Lema 11 Sejam q 1 = r, s, q 2 = r 1, s 1 formas quadráticas sobre o reticulado (R, ). Então q 1 q 2 se, e somente se, existem 0 R, 1 R e a R, tal que q 1 = q 2 F, onde F : R 2 R 2 é definida por F (x, y) = (ax + ay, ax + ay). Em particular, r, s r, s e r, s s, r. Temos ainda rs = r 1 s 1, r + s = r 1 + s 1. Demonstração: A recíproca segue da própria definição de isometria. Agora suponhamos que q 1 q 2 e seja F : R 2 R 2, F (x, y) = (ax + by, cx + dy), tal que q 1 = q 2 F. Como F é bijetora, seja G : R 2 R 2, G(x, y) = (a 1 x + b 1 y, c 1 x + d 1 y) a inversa de F. Sejam I = aa 1 bb 1 cc 1 dd 1 e S = a + a 1 + b + b 1 + c + c 1 + d + d 1, e vamos demonstrar que I = 0 R e S = 1 R. (A) De G ( F (x, y) ) = (x, y), (x, y) R 2, obtemos ( (aa1 + b 1 c)x + (a 1 b + b 1 d)y, (ac 1 + cd 1 )x + (bc 1 + dd 1 )y ) = ( x, y ) (2.0.1) (a) Fazendo x = S e y = I na equação 2.0.1, obtemos (aa 1 + b 1 c, ac 1 + cd 1 ) = (S, I). Logo aa 1 + b 1 c = S (2.0.2) e ac 1 + cd 1 = I. Como I ac 1, cd 1 ac 1 + cd 1 = I, obtemos ac 1 = I (2.0.3) cd 1 = I. (2.0.4) (b) Fazendo x = I e y = S na equação 2.0.1, obtemos (a 1 b + b 1 d, bc 1 + dd 1 ) = (I, S). Logo bc 1 + dd 1 = S (2.0.5) e a 1 b + b 1 d = I. Como I a 1 b, b 1 d a 1 b + b 1 d = I, obtemos (B) De F ( G(x, y) ) = (x, y), (x, y) R 2, obtemos a 1 b = I (2.0.6) b 1 d = I. (2.0.7) ( (aa1 + bc 1 )x + (ab 1 + bd 1 )y, (a 1 c + c 1 d)x + (b 1 c + dd 1 )y) = ( x, y ), (x, y) R 2. Repetindo o raciocínio anterior. fazendo x = S, y = I e depois x = I e y = S, obtemos a 1 c = I (2.0.8) 7
7 c 1 d = I (2.0.9) ab 1 = I (2.0.10) bd 1 = I (2.0.11) b 1 c + dd 1 = S. (2.0.12) (C) Agora comecemos a segunda etapa da demonstração, onde obteremos a 1, b 1, c 1 e d 1 em função de a, b, c e d. (i) (Multiplicando a equação por a), obtemos aa 1 + ab 1 c = as. Como ab 1 = I (veja a equação ), obtemos aa 1 = a. (Multiplicando a equação por a 1 ), obtemos aa 1 + a 1 b 1 c = a 1 S. Usando a equação 2.0.8, obtemos aa 1 = a 1. Logo a 1 = a. (ii) Analogamente, (multiplicando a equação por b 1 ), obtemos aa 1 b 1 +b 1 c = b 1 S ou b 1 c = b 1 (usando a equação ), e (multiplicando a equação por c), obtemos aa 1 c + b 1 c = cs ou b 1 c = c (pela equação 2.0.8). Logo b 1 = c. (iii) Analogamente, (usando a equação e multiplicando por b e depois por c 1 e usando a equação , respectivamente, equação 2.0.9), obtemos: bc 1 = b e bc 1 = c 1. Logo c 1 = b. (iv) Finalmente, (multiplicando a equação por d e por d 1 e usando equações anteriores), obtemos d 1 = d. Substituindo esses valores obtidos: a 1 = a, b 1 = c, c 1 = b e d 1 = d nas onze equações anteriores, ficamos com as seguintes equações: a + c = S (2.0.13) ac = I (2.0.14) a + b = S (2.0.15) ab = I (2.0.16) c + d = S (2.0.17) cd = I (2.0.18) b + d = S (2.0.19) bd = I (2.0.20) Agora, (multiplicando a equação por d), obtemos ad + dc = d e, usando a equação ficamos com ad = d. Por outro lado, (multiplicando a equação por a), obtemos ab + ad = a e, usando a equação , ficamos com ad = a. Portanto d = a. Analogamente, (multiplicando a equação por b e usando a equação ), ficamos com bc = b, enquanto que (multiplicando a equação por c e usando a equação ), ficamos com bc = c. Logo c = b. Consequentemente, a 1 = a = d = d 1 e b 1 = c 1 = b = c. Segue-se que I = ab, S = a + b e G(x, y) = F (x, y) = (ax + by, bx + ay). Agora de F 2 (x, y) = (x, y), obtemos ( (a + b)x + aby, abx + (a + b)y ) = (x, y), (x, y) R 2. Assim abx + (a + b)y = y. (2.0.21) Para y = x e usando a distributividade obtemos (a + b + ab)x = x, x R, ou (a + b)x = x, x R. Isto significa que x a + b qualquer que seja x R. Portanto existe 1 R e 1 R = a+b. Voltando na equação , obtemos abx+y = y, x, y R. Fazendo x = a obtemos ab + y = y, y R, o que equivale a ab y, y R. Logo existe 0 R e 0 R = ab, e por definição b = a. As funções F e sua inversa G agora se escrevem assim: F (x, y) = (ax + ay, ax + ay). Em particular, para a = 1 R e 8
8 para a = 0 R temos F (x, y) = (x, y) e, respectivamente, F (x, y) = (y, x) resultam as isometrias r, s r, s ( e r, s ) s, r. Agora, de q 1 (x, y) = q 2 F (x, y) com F (x, y) = (ax + ay, ax + ay), obtemos: rx + sy = (ar 1 + as 1 )x + (ar 1 + as 1 )y. Para x = 1 e y = 0, obtemos: Para x = 0 e y = 1 obtemos: r = ar 1 + as 1. (2.0.22) s = ar 1 + as 1. (2.0.23) Multiplicando membro a membro as igualdades das equações e , vem que rs = aar 1 + ar 1 s 1 + ar 1 s 1 + aas 1 e, como aa = 0, concluímos que rs = (a + a)r 1 s 1 = r 1 s 1 (pois a + a = 1). Também r + s = (a + a)r 1 + (a + a)s 1 = r 1 + s 1. Isto conclui a demonstração. 3 Considerações finais Um resultado fundamental sobre a teoria de formas quadráticas sobre corpos de característica distinta de dois, que caracteriza isometria de formas quadráticas de dimensões maiores ou iguais a dois, é que a, b a + b, ab(a + b), se a + b 0. Em nosso caso, esta isometria ficaria a, b a + b, ab, pois ab a + b, e este resultado é dado a seguir. Proposição 12 Seja a, b uma forma quadrática sobre o reticulado R, com elementos neutros 0 R e 1 R. Se a ou b admitem complemento, então a, b a + b, ab. Em particular, se R é uma álgebra booleana, então a, b a + b, ab, a, b R, e a, b a 1, b 1 se, e somente se, a + b = a 1 + b 1 e ab = a 1 b 1. Demonstração: Se existe a R, ( respect. b R ), a isometria entre a, b e a+b, ab é dada por F (x, y) = (ax+ay, ax+ay), ( respect. F (x, y) = (bx+by, bx+ by) ). Pelo Lema 11, resta demonstrar que, se a + b = a 1 + b 1 e ab = a 1 b 1, então a, b a 1, b 1. Mas, se temos as igualdades acima, então: a, b a + b, ab = a 1 + b 1, a 1 b 1 a 1, b 1. Referências [1] KAPLANSKY, I; SHAKER, R.J. Abstract Quadratic Forms, Canad. J. Math. 21, , [2] MIRANDA, J.G. Conjuntos Ordenados. Retículos y Álgebras de Boole jesusgm/curso Acesso em julho de
A2. Cada operação é distributiva sobre a outra, isto é, para todo x, y e z em A, x (y + z) = (x y) + (x z) e x + (y z) = (x + y) (x + z)
Álgebra Booleana Nesta parte veremos uma definição formal de álgebra booleana, que é baseada em um conjunto de axiomas (ou postulados). Veremos também algumas leis ou propriedades de álgebras booleanas.
Leia maisReticulados, álgebra booleana e formas quadráticas abstratas Clotilzio Moreira dos Santos 2
ISSN 316-9664 v. 5 - dez. 015 Sumário Reticulados, álgebra booleana e formas quadráticas abstratas Clotilzio Moreira dos Santos Campos hamiltonianos e primeiro grupo de cohomologia de De Rham Ronaldo J.
Leia maisO espaço das Ordens de um Corpo
O espaço das Ordens de um Corpo Clotilzio Moreira dos Santos Resumo O objetivo deste trabalho é exibir corpos com infinitas ordens e exibir uma estrutura topológica ao conjunto das ordens de um corpo.
Leia maisReticulados e Álgebras de Boole
Capítulo 3 Reticulados e Álgebras de Boole 3.1 Reticulados Recorde-se que uma relação de ordem parcial num conjunto X é uma relação reflexiva, anti-simétrica e transitiva em X. Um conjunto parcialmente
Leia maisÁlgebras Booleanas e Aplicações
Álgebras Booleanas e Aplicações Prof. Dr. Clotilzio Moreira dos Santos IBILCE - UNESP São José do Rio Preto Outubro de 2013 Álgebras Booleanas e Aplicações Clotilzio Moreira dos Santos Sumário 1 ÁLGEBRAS
Leia maisHermes A. Pedroso, Juliana C. Precioso Cristiane Alexandra Lázaro, Tatiana Miguel Rodrigues de Souza...32
Volume 5 015 Reticulados, Álgebra Booleana e Formas Quadráticas Abstratas Clotilzio Moreira dos Santos...0 Campos hamiltonianos e primeiro grupo de cohomologia de De Rham Ronaldo J.S. Ferreira, Fabiano
Leia maisDado um inteiro positivo n, definimos U(n) como sendo o conjunto dos inteiros positivos menores que n e primos com n. Não é difícil ver que a
Exemplo (U(n)) Dado um inteiro positivo n, definimos U(n) como sendo o conjunto dos inteiros positivos menores que n e primos com n. Não é difícil ver que a multiplicação módulo n é uma operação binária
Leia maisUniversidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão Lista 1. Números Naturais
Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão 01 Lista 1 Números Naturais 1. Demonstre por indução as seguintes fórmulas: (a) (b) n (j 1) = n (soma dos n primeiros ímpares).
Leia maisMatemática I. 1 Propriedades dos números reais
Matemática I 1 Propriedades dos números reais O conjunto R dos números reais satisfaz algumas propriedades fundamentais: dados quaisquer x, y R, estão definidos a soma x + y e produto xy e tem-se 1 x +
Leia mais(A1) As operações + e são comutativas, ou seja, para todo x e y em A, x + y = y + x e x y = y x
Notas de aula de MAC0329 (2003) 17 3 Álgebra Booleana Nesta parte veremos uma definição formal de álgebra booleana, a qual é feita via um conjunto de axiomas (ou postulados). Veremos também algumas leis
Leia mais3.4 Álgebra booleana, ordens parciais e reticulados
Notas de aula de MAC0329 (2003) 23 3.4 Álgebra booleana, ordens parciais e reticulados Seja A um conjunto não vazio. Uma relação binária R sobre A é um subconjunto de A A, isto é, R A A. Se (x, y) R, denotamos
Leia maisNúmeros Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c
Números Reais Víctor Arturo Martínez León (victor.leon@unila.edu.br) 1 Os números racionais Os números racionais são os números da forma a, sendo a e b inteiros e b 0; o conjunto b dos números racionais
Leia maisParte 2 N Z Q R C. Não faremos a construção axiomática dos números naturais, usaremos apenas as noções intuitivas.
Parte 2 Anéis A Matemática faz parte do nosso cotidiano e, em particular, recorremos aos números para descrever diversas situações do dia a dia. Contamos com os números naturais, repartimos um bolo usando
Leia maisANÉIS. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo
Professora: Elisandra Bär de Figueiredo ANÉIS DEFINIÇÃO 1 Um sistema matemático (A,, ) constituído de um conjunto não vazio A e duas leis de composição interna sobre A, uma adição: (x, y) x y e uma multiplicação
Leia maisALGEBRA I Maria L ucia Torres Villela Instituto de Matem atica Universidade Federal Fluminense Junho de 2007 Revis ao em Fevereiro de 2008
ÁLGEBRA I Maria Lúcia Torres Villela Instituto de Matemática Universidade Federal Fluminense Junho de 2007 Revisão em Fevereiro de 2008 Sumário Introdução... 3 Parte 1 - Preliminares... 5 Seção 1 - Noções
Leia maisLista 1. 9 Se 0 < x < y e n N então 0 < x n < y n.
UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM095 - Análise I Prof. José Carlos Eidam Lista 1 Em toda a lista, K denota um corpo ordenado qualquer. Corpos ordenados 1. Verifique as
Leia mais(A1) As operações + e são comutativas, ou seja, para todo x e y em A, x + y = y + x e x y = y x
Notas de aula de MAC0329 (2003) 17 3 Álgebra Booleana Nesta parte veremos uma definição formal de álgebra booleana, a qual é feita via um conjunto de axiomas (ou postulados). Veremos também algumas leis
Leia maisNotas de aulas. álgebra abstrata
1 Notas de aulas de álgebra abstrata UEMA LICENCIATURA EM MATEMATICA Elaborada por : Raimundo Merval Morais Gonçalves Licenciado em Matemática/UFMA Professor Assistente/UEMA Especialista em Ensino de Ciências/UEMA
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Texto de apoio às aulas. Amélia Bastos, António Bravo Dezembro 2010 Capítulo 1 Números reais As propriedades do conjunto dos números reais têm por base um conjunto restrito
Leia maisSemana 2. Primitivas. Conjunto das partes. Produto cartesiano. 1 Teoria ingênua dos conjuntos. 2 Axiomática ZFC de conjuntos. 4 Conjuntos numéricos
Semana 2 1 Teoria ingênua dos conjuntos 2 Axiomática ZFC de conjuntos 3 4 Semana 2 1 Teoria ingênua dos conjuntos 2 Axiomática ZFC de conjuntos 3 4 e pertinência Conjunto é entendido como uma coleção de
Leia maisIntrodução aos números inteiros
Introdução aos números inteiros Laura Goulart UESB 19 de Dezembro de 2017 Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 1 / 18 Adição Laura Goulart (UESB) Introdução aos números
Leia maisMA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08
MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08 Neste curso, consideraremos o conjunto dos números naturais como sendo o conjunto N = {0, 1, 2, 3,... }, denotando por N o conjunto N \ {0}. Como
Leia maisMA14 - Aritmética Unidade 1 Resumo. Divisibilidade
MA14 - Aritmética Unidade 1 Resumo Divisibilidade Abramo Hefez PROFMAT - SBM Julho 2013 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do
Leia maisCurso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense
Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 1 Universidade Portucalense Conceitos Algébricos Propriedades das operações de números reais Considerem-se três números reais quaisquer, a, b e c. 1. A adição de
Leia mais1 Conjuntos, Números e Demonstrações
1 Conjuntos, Números e Demonstrações Definição 1. Um conjunto é qualquer coleção bem especificada de elementos. Para qualquer conjunto A, escrevemos a A para indicar que a é um elemento de A e a / A para
Leia maisRespostas de Exercícios Propostos
Respostas de Exercícios Propostos Capítulo 1: 1 a) Não é associativa É comutativa ( ) x+y x + y 2 + z (x y) z z x + y + 2z 2 2 4 ( ) y + z x (y z) x x + x+y 2 2x + y + z 2 2 4 x y x + y y + x y x 2 2 b)
Leia maisRETICULADOS: NOTAS DO SEMINÁRIO DE 7/03/03
RETICULADOS: NOTAS DO SEMINÁRIO DE 7/03/03 PEDRO A. TONELLI 1. Introdução: o esqueleto do espírito E ainda mais remoto que o tempo em que as coisas não tinham nome, é o tempo em que as coisas nem existiam,
Leia maisÁLGEBRA DE BOOLE B.1 - DIAGRAMA DE VENN
ÁLGEBRA DE BOOLE B.1 - DIAGRAMA DE VENN No século XIX Georges Boole desenvolveu uma teoria matemática com base nas leis da lógica - a Álgebra de Boole - cuja aplicação nos circuitos digitais e computadores
Leia maisNúmeros Reais. Jairo Menezes e Souza 19/09/2013 UFG/CAC
UFG/CAC 19/09/2013 Iniciamos com o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Iniciamos com o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Chamamos de Z o conjunto dos números
Leia maisRelações Binárias, Aplicações e Operações
Relações Binárias, Aplicações e Operações MAT 131-2018 II Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 Pouya Mehdipour 6 de dezembro de 2018 1 / 24 Referências ALENCAR FILHO, E. Teoria Elementar dos Conjuntos,
Leia maisIntrodução à Teoria dos Números Notas de Aulas 3 Prof Carlos Alberto S Soares
Introdução à Teoria dos Números 2018 - Notas de Aulas 3 Prof Carlos Alberto S Soares 1 Números Primos e o Teorema Fundamental da Aritmética Em notas anteriores já definimos os números primos, isto é, números
Leia maisOPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA
Professora: Elisandra Figueiredo OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA DEFINIÇÃO 1 Sendo E um conjunto não vazio, toda aplicação f : E E E recebe o nome de operação sobre E (ou em E) ou lei de composição
Leia maisTeoria dos anéis 1 a parte 3
A U L A Teoria dos anéis 1 a parte 3 Meta da aula Descrever a estrutura algébrica de anel como uma generalização de determinadas propriedades dos números inteiros. objetivos Ao final desta aula, você deverá
Leia maisElementos de Matemática Finita
Elementos de Matemática Finita Exercícios Resolvidos - Princípio de Indução; Algoritmo de Euclides 1. Seja ( n) k n! k!(n k)! o coeficiente binomial, para n k 0. Por convenção, assumimos que, para outros
Leia maisDE MATEMÁTICA I. Prof. ADRIANO CATTAI. Corpos Numéricos (Atualizada em 8 de março de 2016)
ac COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA I Prof. ADRIANO CATTAI Corpos Numéricos (Atualizada em 8 de março de 2016) NOME: DATA: / / Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a matemática
Leia maisIntrodução à Teoria dos Números - Notas 4 Máximo Divisor Comum e Algoritmo de Euclides
Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Máximo Divisor Comum e Algoritmo de Euclides 1 Máximo Divisor Comum Definição 1.1 Sendo a um número inteiro, D a indicará o conjunto de seus divisores positivos,
Leia maisUm polinômio com coeficientes racionais é uma escrita formal
Polinômios. Um polinômio com coeficientes racionais é uma escrita formal P (X) = a i X i = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 +... + a n X n onde a i Q para todo i {0, 1,..., n}. Isso nos dá uma função f : N Q definida
Leia maisENFOQUE USANDO CORTES DE DEDEKIND
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit CONSTRUÇÃO DOS REAIS: UM ENFOQUE
Leia maisCapítulo 5. Operadores Auto-adjuntos. Curso: Licenciatura em Matemática. Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo
Capítulo 5 Operadores Auto-adjuntos Curso: Licenciatura em Matemática Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo Disciplina: Álgebra Linear II Unidade II Aula 5: Operadores Auto-adjuntos
Leia maisInversão de Matrizes
Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.2 21 de
Leia maisCapítulo 1. Os Números. 1.1 Notação. 1.2 Números naturais não nulos (inteiros positivos) Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago
Capítulo 1 Os Números Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago 1.1 Notação Números naturais: Neste texto, N = {0, 1, 2, 3,...} e N + = {1, 2, 3, }. Mas existem vários autores considerando
Leia maisObjetivos. em termos de produtos internos de vetores.
Aula 5 Produto interno - Aplicações MÓDULO 1 - AULA 5 Objetivos Calcular áreas de paralelogramos e triângulos. Calcular a distância de um ponto a uma reta e entre duas retas. Determinar as bissetrizes
Leia mais1 NOTAS DE AULA FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA. Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos
FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA 1 NOTAS DE AULA Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos (i) Matrizes Reais Uma matriz real é o seguinte arranjo de números reais : a 11 a 12 a 13 a 1m a 21
Leia maisIntrodução à Teoria dos Números Notas de Aulas 3 Prof Carlos Alberto S Soares
Introdução à Teoria dos Números 2018 - Notas de Aulas 3 Prof Carlos Alberto S Soares 1 Números Primos e o Teorema Fundamental da Aritmética Em notas anteriores já definimos os números primos, isto é, números
Leia maisLógica e Matemática Discreta
Lógica e Matemática Discreta Teoria Elementar dos Conjuntos Prof Clezio 04 de Junho de 2010 Curso de Ciência da Computação Noções básicas Um conjunto designa-se geralmente por uma letra latina maiúscula:
Leia maisa = bq + r e 0 r < b.
1 Aritmética dos Inteiros 1.1 Lema da Divisão e o Algoritmo de Euclides Recorde-se que a, o módulo ou valor absoluto de a, designa a se a N a = a se a / N Dados a, b, c Z denotamos por a b : a divide b
Leia maisNúmeros Reais. Gláucio Terra. Departamento de Matemática IME - USP. Números Reais p. 1/2
Números Reais Gláucio Terra glaucio@ime.usp.br Departamento de Matemática IME - USP Números Reais p. 1/2 Corpos DEFINIÇÃO Seja K um conjunto munido de duas operações, denotadas por + e. Diz-se que (K,
Leia maisCapítulo Propriedades das operações com vetores
Capítulo 6 1. Propriedades das operações com vetores Propriedades da adição de vetores Sejam u, v e w vetores no plano. Valem as seguintes propriedades. Comutatividade: u + v = v + u. Associatividade:
Leia maisCRITÉRIO DE EISENSTEIN. Marília Martins Cabral Orientador: Igor Lima
CRITÉRIO DE EISENSTEIN 1 Marília Martins Cabral Orientador: Igor Lima NOTAÇÕES a b a divide b. a b a não divide b x n a variável x elevado a potência n. a n coeficiente de x n 2 INTRODUÇÃO: POLINÔMIOS
Leia maisSistemas de Equações Lineares e Matrizes
Sistemas de Equações Lineares e Matrizes. Quais das seguintes equações são lineares em x, y, z: (a) 2x + 2y 5z = x + xy z = 2 (c) x + y 2 + z = 2 2. A parábola y = ax 2 + bx + c passa pelos pontos (x,
Leia maisNotas para o Curso de Algebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009
Notas para o Curso de Álgebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009 2 Sumário 1 Matrizes e Sistemas Lineares 5 11 Matrizes 6 12 Sistemas Lineares 11 121 Eliminação Gaussiana 12 122 Resolução
Leia maisNúmeros - Aula 03. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil
Números - Aula 03 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 28 de Fevereiro de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2013106 - Engenharia Mecânica Corpos Vimos que o
Leia maisn. 28 RELAÇÕES BINÁRIAS ENTRE CONJUNTOS
n. 28 RELAÇÕES BINÁRIAS ENTRE CONJUNTOS Uma relação é um conjunto de pares ordenados, ou seja, um subconjunto de A B. Utilizando pares ordenados podemos definir relações por meio da linguagem de conjuntos.
Leia mais4 ÁLGEBRA ELEMENTAR. 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações.
4 ÁLGEBRA ELEMENTAR 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações. 4.1.1 - Introdução: As expressões algébricas que equacionam os problemas conduzem logicamente à sua solução são denominados polinômios
Leia maisNúmeros inteiros. Sandro Marcos Guzzo
Números inteiros Sandro Marcos Guzzo Cascavel - Pr Agosto de 2013 1 Construção do conjunto dos números inteiros O conjunto dos números inteiros, designado por Z será aqui construído a partir do conjunto
Leia maisApostila Minicurso SEMAT XXVII
Apostila Minicurso SEMAT XXVII Título do Minicurso: Estrutura algébrica dos germes de funções Autores: Amanda Monteiro, Daniel Silva costa Ferreira e Plínio Gabriel Sicuti Orientadora: Prof a. Dr a. Michelle
Leia maisRenato Martins Assunção
Análise Numérica Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2012 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 1 / 84 Equação linear Sistemas de equações lineares A equação 2x + 3y = 6 é chamada linear
Leia maisUniversidade Federal de Goiás Regional Catalão - IMTec
Universidade Federal de Goiás Regional Catalão - IMTec Disciplina: Álgebra I Professor: André Luiz Galdino Gabarito da 1 a Lista de Exercícios 11/03/2015 1. Prove que G é um grupo com a operação de multiplicação
Leia maisMATEMÁTICA MÓDULO 8 DIVISIBILIDADE E CONGRUÊNCIA. Professor Matheus Secco
MATEMÁTICA Professor Matheus Secco MÓDULO 8 DIVISIBILIDADE E CONGRUÊNCIA 1. DIVISIBILIDADE Definição: Sejam a, b inteiros com a 0. Diz-se que a divide b (denota-se por a b) se existe c inteiro tal que
Leia mais1. Operações com vetores no espaço
Capítulo 10 1. Operações com vetores no espaço Vamos definir agora as operações de adição de vetores no espaço e multiplicação de um vetor espacial por um número real. O processo é análogo ao efetuado
Leia maisCONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Fundamentos de Álgebra Moderna Profª Ana Paula CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Os números inteiros formam um conjunto, que notaremos por, no qual estão definidas duas operações, que chamaremos de adição
Leia maisCálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula
Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula João Roberto Gerônimo 1 1 Professor Associado do Departamento de Matemática da UEM. E-mail: jrgeronimo@uem.br. ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO Esta notas de aula
Leia maisUniversidade Federal da Paraíba - UFPB Centro de Ciências Exatas e da Natureza - CCEN Departamento de Matemática - DM
Universidade Federal da Paraíba - UFPB Centro de Ciências Exatas e da Natureza - CCEN Departamento de Matemática - DM 3 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear Professor: Fágner Dias Araruna
Leia mais1 Números Complexos. Seja R o conjunto dos Reais. Consideremos o produto cartesiano R R = R 2 tal que:
Números Complexos e Polinômios Prof. Gustavo Sarturi [!] Esse documento está sob constantes atualizações, qualquer erro de ortografia, cálculo, favor comunicar. Última atualização: 01/11/2018. 1 Números
Leia maisMaterial Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Operações Envolvendo Vetores. Terceiro Ano - Médio
Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3 Operações Envolvendo Vetores Terceiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Adição de vetores Na aula anterior
Leia maisCapítulo 1. Introdução
Capítulo 1 Introdução O objeto de estudo de Mat-1 são as funções reais de variável real. Estudaremos nesta disciplina os conceitos de limite, continuidade, derivabilidade e integrabilidade de funções reais
Leia mais4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais
MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais 4 de outubro de 2015 Iremos agora desenvolver técnicas para resolver integrais de funções racionais, conhecido como método de integração por
Leia maisMódulo de Produtos Notáveis e Fatoração de Expressões Algébricas. Oitavo Ano
Módulo de Produtos Notáveis e Fatoração de Expressões Algébricas Fatoração de Expressões Algébricas Oitavo Ano Fatoração de Expressões Algébricas 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Siga o modelo e
Leia mais1 0 para todo x, multiplicando-se os dois membros por. 2x 1 0 x 1 2. b a x. ba 2. e b 2 c
CAPÍTULO 1 Exercícios 1..n) Como x 0 para todo x, o sinal de x(x ) é o mesmo que o de x; logo, x(x ) 0 para x 0; x(x ) 0 para x 0; x(x ) 0 para x 0.. n) Como x 1 1 0 para todo x, multiplicando-se os dois
Leia maisÁlgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho
Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Verifique que os conjuntos V abaixo com as operações dadas não são espaços vetoriais explicitando a falha em alguma das propriedades.
Leia maisAlexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais
MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Iremos agora desenvolver um método para resolver integrais de funções racionais,
Leia mais) a sucessão definida por y n
aula 05 Sucessões 5.1 Sucessões Uma sucessão de números reais é simplesmente uma função x N R. É conveniente visualizar uma sucessão como uma sequência infinita: (x(), x(), x(), ). Neste contexto é usual
Leia maisLeandro F. Aurichi de novembro de Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - Universidade de São Paulo, São Carlos, SP
Espaços Métricos Leandro F. Aurichi 1 30 de novembro de 2010 1 Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - Universidade de São Paulo, São Carlos, SP 2 Sumário 1 Conceitos básicos 5 1.1 Métricas...........................................
Leia maisUnidade 2 - Matrizes. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 9 de agosto de 2013
MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 2 - Matrizes A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 9 de agosto de 2013 O dono de uma pequena frota de quatro táxis, movidos
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 3
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma
Leia maisAxioma dos inteiros. Sadao Massago
Axioma dos inteiros Sadao Massago setembro de 2018 Sumário 1 Os Números 2 1.1 Notação......................................... 2 1.2 Números naturais não nulos (inteiros positivos)................... 2
Leia maisMódulo de Equações do Segundo Grau. Relações entre coeficientes e raízes. Nono Ano
Módulo de Equações do Segundo Grau Relações entre coeficientes e raízes. Nono Ano Relações entre Coeficientes e Raízes. Exercícios Introdutórios Exercício. Fazendo as operações de soma e de produto entre
Leia mais, com k 1, p 1, p 2,..., p k números primos e α i, β i 0 inteiros, as factorizações de dois números inteiros a, b maiores do que 1.
Como seria de esperar, o Teorema Fundamental da Aritmética tem imensas consequências importantes. Por exemplo, dadas factorizações em potências primas de dois inteiros, é imediato reconhecer se um deles
Leia maisUm Curso de Nivelamento. Instituto de Matemática UFF
Introdução à Álgebra Linear Um Curso de Nivelamento Jorge Delgado Depto. de Matemática Aplicada Katia Frensel Depto. de Geometria Instituto de Matemática UFF Março de 2005 J. Delgado - K. Frensel ii Instituto
Leia maispara Fazer Contas? A primeira e, de longe, mais importante lição é 1.1. Produtos notáveis; em especial, diferença de quadrados!
Álgebra: É Necessário ter Ideias para Fazer Contas? A primeira e, de longe, mais importante lição é 1. Fatoração é legal; fatoração é sua amiga 1.1. Produtos notáveis; em especial, diferença de quadrados!
Leia maisRoteiro da segunda aula presencial - ME
PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Matemática Elementar Departamento de Matemática Universidade Federal da Paraíba 29 de outubro de 2014 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência
Leia maisMatemática Discreta - 07
Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia da Computação Matemática Discreta - 07 Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti www.twitter.com/jorgecav
Leia maisMCTB Álgebra Linear Avançada I Claudia Correa Exercícios sobre corpos e espaços vetoriais sobre corpos
MCTB002-13 Álgebra Linear Avançada I Claudia Correa Exercícios sobre corpos e espaços vetoriais sobre corpos O Exercício 8 é o exercício bônus dessa lista Exercício 1. Seja K um conjunto formado exatamente
Leia maisInteiros. Inteiros. Congruência. Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006.
Inteiros Inteiros. Congruência. Referência: Capítulo: 4 Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006 1 Números reais A relação binária em R é uma ordem parcial
Leia maisMA14 - Aritmética Unidade 3. Divisão nos Inteiros (Divisibilidade)
MA14 - Aritmética Unidade 3 Divisão nos Inteiros (Divisibilidade) Abramo Hefez PROFMAT - SBM Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio
Leia maisPrograma Combinatória Aritmética Racional MATEMÁTICA DISCRETA. Patrícia Ribeiro. Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/ / 52
1 / 52 MATEMÁTICA DISCRETA Patrícia Ribeiro Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/2019 2 / 52 Programa 1 Combinatória 2 Aritmética Racional 3 Grafos 3 / 52 Capítulo 1 Combinatória 4 / 52 Princípio
Leia maisNotas de Aula Álgebra Linear. Elton José Figueiredo de Carvalho Escola de Ciências e Tecnologia Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Notas de Aula Álgebra Linear Elton José Figueiredo de Carvalho Escola de Ciências e Tecnologia Universidade Federal do Rio Grande do Norte Versão 201608221232c de 22 de agosto de 2016 Parte I Espaços vetoriais
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental
Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes Nono Ano do Ensino Funcamental Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio
Leia maisÁlgebra Linear Semana 05
Álgebra Linear Semana 5 Diego Marcon 4 de Abril de 7 Conteúdo Interpretações de sistemas lineares e de matrizes invertíveis Caracterizações de matrizes invertíveis 4 Espaços vetoriais 5 Subespaços vetoriais
Leia maisobs: i) Salvo menção em contrário, anel = anel comutativo com unidade. ii) O conjunto dos naturais inclui o zero.
Lista 1 - Teoria de Anéis - 2013 Professor: Marcelo M.S. Alves Data: 03/09/2013 obs: i) Salvo menção em contrário, anel = anel comutativo com unidade. ii) O conjunto dos naturais inclui o zero. 1. Os conjuntos
Leia mais13 AULA. Relações de Equivalência LIVRO. META: Introduzir o conceito de relações de equivalência e suas propriedades.
2 LIVRO Relações de Equivalência META: Introduzir o conceito de relações de equivalência e suas propriedades. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Identificar se uma dada relação
Leia maisLista 2 - Álgebra I para Computação - IME -USP -2011
Lista 2 - Álgebra I para Computação - IME -USP -2011 (A) Relações de Equivalência e Quocientes 1. Seja N = {0, 1, 2,...} o conjunto dos números naturais e considere em X = N N a seguinte relação: (a, b)
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 4
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão 4 Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma
Leia maisFundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica
Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: sequências e matrizes 05 e 06/06/14 Sequências Def.: chama-se sequência finita ou n-upla toda aplicação f do
Leia maisA DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS.
A DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS. SANDRO MARCOS GUZZO RESUMO. A construção dos conjuntos numéricos é um assunto clássico na matemática, bem como o estudo das propriedades das operações
Leia maisOpera»c~oes Bin arias
3 Opera»c~oes Bin arias Neste cap ³tulo, faremos mais preciso o conceito de opera»c~ao bin aria, (ou simplesmente opera»c~ao), e introduziremos tamb em a nomenclatura j a consolidada de propriedades not
Leia maisGa no plano 1. GA no plano. Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de u v = aa + bb.
Ga no plano 1 GA no plano Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de 015 1 Introdução Estudaremos as retas no plano euclidiano bidimensional e uma interessante aplicação, que recebe o nome de programação
Leia maisInversão de Matrizes
Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 18 de
Leia maisINTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 7 ISOMORFISMO
INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR CAPÍULO 7 ISOMORFISMO A pergunta inicial que se faz neste capítulo e que o motiva é: dada uma transformação linear : V W é possível definir uma transformação linear
Leia mais