Ga no plano 1. GA no plano. Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de u v = aa + bb.

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1 Ga no plano 1 GA no plano Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de Introdução Estudaremos as retas no plano euclidiano bidimensional e uma interessante aplicação, que recebe o nome de programação linear. Antes, devemos verificar as diferenças entre a geometria analítica no plano e no espaço. Primeiro, os pontos e vetores são representados por somente duas coordenadas: (x, y). O produto escalar continua o mesmo e ainda serve para calcular ângulos. Se u = (a, b) e v = (a, b ) então u v = aa + bb. O ângulo entre dois vetores continua sendo cos θ = u v u v. Também a projeção de v = (a, b ) na direção de u = (a, b) tem a mesma fórmula u v proj u v = ( v v ) u = + bb (aa )(a, b). a + b Quanto ao produto vetorial, só serve para calcular àreas. A área do paralelogramo gerado por u e v será (a, b, 0) (a, b, 0) = (0, 0, ab a b) = ab a b. Quanto à ortogonalidade, somente pares de vetores podem ser ortogonais entre si. Trios de vetores não podem ser ortogonais dois a dois. Portanto essa utilidade do produto vetorial desaparece no caso do plano. Neste caso, dado u = (a, b) existe uma maneira simples de achar um vetor

2 Ga no plano ortogonal a u: é só inverter a posição das coordenadas e mudar o sinal de uma delas, ou seja n = ( b, a) u = (a, b). O produto misto perde totalmente a utilidade já que no caso coplanar ele é nulo. Equação da reta no plano Dados o ponto P (x, y) e A(x 0, y 0 ) no plano e o vetor n = (a, b), a seguinte equação AP n = 0 determina uma reta no plano. Mais especificamente, determina a reta que passa pelo ponto A e tem vetor normal n = (a, b). Isso acontece porque no plano cada direção tem somente uma direção ortogonal. No caso de vetores, isso significa que cada vetor n = (a, b) tem um representante ortogonal, o vetor v = ( b, a). Desenvolvendo a equação temos 0 = AP n = a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = ax + by (ax 0 + by 0 )

3 Ga no plano 3 0 = ax + by d, tal que d := ax 0 + by 0, ou ax + by = d. Vamos definir a inclinação da reta ax + by = d como a tangente de um dos ângulos que a reta faz com o eixo Ox: tan θ = a b. Na figura acima temos a reta 3x + 4y = 1, de inclinação 3 4. Para o próximo tópico, devemos saber além de retas, de semi-planos. Um semi-plano, como diz o nome, é metade do plano. Para dividir o plano em duas metades, precisamos de uma reta. Portanto, a cada semiplano associamos uma reta. Ela divide o plano bidimensional em dois semi-planos, Se a reta tem equação geral ax + by = d

4 Ga no plano 4 os semi-planos são ax + by d e ax + by d. Na figura acima temos a reta que define o semi-plano x + y 4. O vetor normal é o vetor (1, 1) e seguindo o sentido do vetor normal vamos da reta x + y = 0 até a reta e assim por diante. x + y = 4 3 Posição relativa entre duas retas Dadas duas retas r 1 : ax + by = d, r : a x + b y = d

5 Ga no plano 5 o ângulo entre r 1 e r é o menor ângulo formado pelas duas retas. Isto implica que o ângulo está entre 0 o e 90 o. Dados os vetores n 1 = (a, b), n = (a, b ) normais a r 1 e r respectivamente, se α é o ângulo entre n 1 e n, o menor ângulo entre as retas será α ou 180 o α, dependendo do sentido dos vetores normais escolhidos. Logo, como o cosseno do ângulo entre as retas é positivo e é o valor de cosseno de α e de 180 o α a menos de um sinal, vale a fórmula: cos θ = n 1 n n 1 n. Exemplo 3.1. Sejam as retas r 1 : x + y = 1, r : 4x 3y =. O ângulo entre elas é 4 3 cos θ = = Exemplo 3.. Retas ortogonais têm vetores normais ortogonais: r 3 : x + y = 5, r 4 : x y = 3. Podemos agora estudar a posição relativa entre duas retas no plano. São duas as posições possíveis: paralelas ou concorrentes. A posição relativa pode ser determinada de acordo com o ângulo entre duas retas, ou a interseção ou a distância. Posição relativa Paralelas distintas Concorrentes Ângulo = 0 0 Interseção 1 ponto Distância 0 = 0 Considerando os dois exemplos dessa seção, r 1 e r são concorrentes, r 3 e r 4 também são concorrentes, e r 1 e r 3 são paralelas distintas. O cosseno do ângulo entre r 1 e r e do ângulo entre r 3 e r 4 é diferente de 1 e, portanto, esses ângulos são diferentes de zero.

6 Ga no plano 6 O cosseno do ângulo entre r 1 e r 3 é 1 e portanto o ângulo entre elas é zero: + cos θ = = 1. Outra maneira de concluir que são paralelas é verificar se os vetores normais são paralelos - no caso dos exemplos são iguais, (1, 1) e (, ). Agora descobriremos a interseção dos dois exemplos anteriores. A interseção entre r 1 e r é o ponto que satisfaz às duas equações: x + y = 1, 4x 3y = 3x + 3y = 3, 4x 3y = 7x = 5 x = 5 7, y = 7. A interseção entre r 3 e r 4 é o ponto que satisfaz às duas equações: x + y = 5, x y = 3 x + y = 5, x y = 6 4x = 11 x = 11 4, y = 1 4. A interseção entre r 1 e r 3 é o ponto que satisfaz às duas equações: x + y = 1, x + y = 5 x + y =, x + y = 5 5 = 6 r 1 r 3 =. A distância nos dois primeiros casos é zero porque as retas são concorrentes, i.e., têm um ponto em comum. No último, é dada pela fórmula: tal que No caso de r 1 e r temos: r1 : x + y = 1, r 3 : x + y = 5 d(s 1, s ) = d 1 d a + b, s 1 : ax + by = d 1, s : ax + by = d. r1 : x + y =, r 3 : x + y = 5 d(r 1, r 3 ) = 5 + = 3 = 3 4.

7 Ga no plano 7 4 Equação do segundo grau A equação do segundo grau é Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, tal que A, B, C, D, E, F são números reais. Os pontos que a satisfazem representam conjuntos do plano. Nessa seção estudamos que tipos de conjuntos podem ser dados pelos pontos que satisfazem a equação do segundo grau. Casos mais simples: 1. Se A, B, C = 0 então Dx + Ey + F = 0 é a equação de uma reta;. Se elevamos ao quadrado a equação de uma reta temos uma equação do segundo grau: (ax + by d) = 0 equivale a a x + abxy + b y adx bdy + d = 0; 3. Se fazemos o produto das equações de duas retas temos uma equação do segundo grau: 0 = (x + y 1)(x y + 1) equivale a duas retas, x + y = 1 e x y = 1 e equivale a x y + y 1 = A equação x +y 1 = 0 representa um círculo; x +y = 0 representa um ponto; a equação x + y + 1 = 0 representa o conjunto vazio; 5. A equação xy 1 = 0 tem gráfico fácil de ser construído mas não é nenhum dos casos acima: não é uma reta, duas retas, um ponto, conjunto vazio; isto mostra que precisamos de um estudo mais profundo da equação. 4.1 Parábola, Elipse, Hipérbole Parábola Dado um ponto F no plano e uma reta r tais que F não pertence a r, a parábola cujo foco é o ponto F e cuja reta diretriz é r é o conjunto dos pontos P do plano tais que d(p, F ) = d(p, r).

8 Ga no plano 8 Exemplo 4.1. Se o foco é F (0, 0) e r : x + y =, então a parábola definida por F e r é dada pelos pontos P (x, y) tais que x + y = x + y (x + y ) = (x + y ) x +y = x +xy +y 4x 4y +4 x xy +y +4x+4y 4 = 0. A parábola mais simples é dada pelo foco F (0, p) e a reta diretriz y = p, onde p é um número real. A equação que representa os pontos da parábola é x + (y p) = y + p x + y py + p = y + py + p 4py = x Elipse Dados dois pontos F 1 e F e a constante real a, a elipse definida por esses dados é o conjunto dos pontos P tais que d(p, F 1 ) + d(p, F ) = a. Exemplo 4.. Se os focos são F 1 ( 1, 0) e F (1, 0) e se a constante é a = 4 então (x + 1) + y + (x 1) + y = 4 (x + 1) + y = (x 1) + y +4 (x+1) +y = (x 1) +y (x 1) + y 8 (x 1) + y = 16 x 16((x 1) + y ) = 64 16x + x 15x + 16y 48 = 0. A elipse mais simples é aquela cujos focos são F 1 ( c, 0) e F (c, 0), ou seja, os focos estão no eixo Ox e o ponto médio dos focos é a origem. Pela definição d(p, F 1 ) + d(p, F ) = a (x + c) + y + (x c) + y = a (x + c) + y = (x c) + y + a (x + c) + y = 4a 4a (x c) + y + (x c) + y 4cx 4a = 4a (x c) + y c x a cx + a 4 = a ((x c) + y ) (a c )x + a y = a 4 a c.

9 Ga no plano Hipérbole Dados dois pontos F 1 e F e a constante real a, a hipérbole definida por esses dados é o conjunto dos pontos P tais que d(p, F 1 ) d(p, F ) = a. Exemplo 4.3. Se os focos são F 1 ( 1, 0) e F (1, 0) e se a constante é a = 1 então (x + 1) + y (x 1) + y = ±1 (x + 1) + y = (x 1) + y ±1 (x+1) +y = (x 1) +y +1± (x 1) + y ± (x 1) + y = 1 + 4x 4((x 1) + y ) = 1 8x + 16x 1x 4y 3 = 0. A hipérbole mais simples é aquela cujos focos são F 1 ( c, 0) e F (c, 0), ou seja, os focos estão no eixo Ox e o ponto médio dos focos é a origem. Pela definição d(p, F 1 ) d(p, F ) = ±a (x + c) + y (x c) + y = ±a (x + c) + y = (x c) + y ± a (x + c) + y = 4a ± 4a (x c) + y + (x c) + y 4cx 4a = ±4a (x c) + y c x a cx + a 4 = a ((x c) + y ) 4. Equação geral 4..1 Critério geral (a c )x + a y = a 4 a c. Critério geral para a equação do segundo grau: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0. A B D Definimos = AC B e M = B C E. D E F Primeiro caso: > 0.

10 Ga no plano 10 Se M < 0, então é uma elipse; caso particular: se M < 0 e A = C e B = 0 então é um círculo, se M = 0, é um ponto; se M > 0, é o conjunto vazio. Segundo caso: < 0. Se M 0, então é uma hipérbole; se M = 0, é um par de retas concorrentes. Terceiro caso: = 0. Se M 0, então é uma parábola; se M = 0 e E CF = D AF > 0, é um par de retas paralelas; se M = 0 e E CF = D AF = 0, é uma reta; se M = 0 e E CF = D AF < 0, é o conjunto vazio.

11 Ga no plano Caso = 0 Quando temos = 0 estamos diante do seguinte exemplo: x + 4xy + y 4x + y + 1 = 0. Neste caso, vemos que os três termos quadráticos x + 4xy + y são o quadrado de uma combinação linear de x e y: x + 4xy + 4y = (x + y) = u, se defino u := x + y. Como u = constante é uma reta no plano e x y = constante são as retas ortogonais a u = constante, definimos v = x y, e portanto v = constante é uma reta ortogonal a u = constante no plano. Voltando à equação do exemplo, temos Logo, u 4x + y + 1 = 0 u (x y) + 1 = u + v + 1 = 0. v = 1 u 1, que é a equação de uma parábola. Logo, a curva representada pela equação do segundo grau é uma parábola. Se fosse a equação então teríamos de novo = 0 e x + xy + y + x + y = 0, x + xy + y = (x + y) = u. Neste caso u = x + y e as retas ortogonais a u = constante são do tipo v = x y = constante. Voltando à equação teríamos 0 = u + x + y + = u + u = (u 1)(u + ), e portanto a equação é a reunião das retas u = 1 e u =

12 Ga no plano 1 x + y 1 = 0 ou x + y + = 0, que são duas retas paralelas. No caso acima, vamos supor que o termo independente é f: x + xy + y + x + y + f = 0 (x + y) + (x + y) + f = 0 u + u + f = 0. Temos então uma equação do segundo grau na variável u e portanto u = 1 ± 1 4f. Logo, concluímos que podem ocorrer as seguintes situações: (1 4f ) > 0 u = f e temos duas retas paralelas, ou 1 4f = 0 u = 1, e temos uma reta somente x + y = 1, ou 1 4f < 0 não tem solução, ou u = 1 1 4f, e neste caso a equação do segundo grau representa o conjunto é vazio. No caso geral, temos que, se = 0 então a equação do segundo grau vira uma equação do tipo A conclusão é que u + au + bv + c = se b 0 então temos uma parábola,. se b = 0 e a equação u + au + c = 0 tem duas raízes reais distintas, então temos o caso de duas retas paralelas,

13 Ga no plano se b = 0 e a equação u + au + c = 0 tem somente uma raiz real, então temos o caso de uma reta, 4. se b = 0 e a equação u + au + c = 0 não tem soluções reais então temos o caso do conjunto vazio. Mais dois exemplos: A equação do segundo grau 9x 4xy + 16y 8x 6y + 1 = 0 tem = = 0 e se torna, se fazemos u = 3x 4y e v = 4x + 3y, na equação u v + 1 = 0 v = 1 u + 6, que é uma parábola. Se temos 9x 4xy + 16y 6x + 8y + 1 = 0 o continuo nulo, mas a equação vira u u + 1 = 0, que tem uma só raiz real 1. Portanto, temos que é uma reta no plano xoy. (u 1) = 0 u = 1 3x 4y = 1, 4.4 Caso 0 Se temos a equação Ax + Bx y + Cy + Dx + Ey + F = 0 podemos transformá-la na equação Ax + Bxy + Cy + F = 0.

14 Ga no plano 14 O método é o seguinte: pegamos a matriz A B D M = B C E. D E F Usamos as duas primeiras linhas como um sistema Ah + Bk + D = 0, Bh + Ck + E = 0, que tem solução justamente porque 0. Solucionado o sistema usamos h e k na terceira linha F = Dh + Ek + F. O que acabamos de fazer é escrever como Ax + Bx y + Cy + Dx + Ey + F = 0 A(x + h) + B(x + h)(y + k) + C(y + k) + D(x + h) + E(y + k) + F = 0. Fica como exercício mostrar que a segunda equação vira Continuando, se temos a equação podemos transformá-la na equação Ax + Bxy + Cy + F = 0. Ax + Bxy + Cy + F = 0 A u + C v + F = 0, através do sistema u = cx + sy, v = sx + cy, 1 = c + s,

15 Ga no plano 15 que equivale a Substituindo: x = cu sv, y = su + cv, 1 = c + s. A(cu sv) + B(cu sv)(su + cv) + C(su + cv) + F = 0 (Ac + Bcs + Cs )u + ( Acs + B(c s ) + Ccs)uv e portanto escolhemos c e s tais que +(As Bcs + Cc )v + F = 0, Acs + B(c s ) + Ccs = 0. Se elaboramos a equação usando c + s = 1 temos c = 1 C A + H, s = 1 C A H, A = (Ac + Bcs + Cs ), C = (As Bcs + Cc ), H = 4B + (C A). Portanto A e C satisfazem o sistema A + C = A + C, Concluímos que a equação A C = AC B =. ou λ (A + C)λ + = 0. Ax + Bxy + Cy + F = 0 se torna, por mudança de coordenadas, na equação A u + C v + F = 0. Uma equação como a última acima é fácil de identificar:

16 Ga no plano A e C com sinais diferentes e F 0: é uma hipérbole;. A e C com sinais diferentes e F = 0: é um par de retas concorrentes; 3. A e C com mesmo sinal e F < 0: é uma elipse; 4. A e C com mesmo sinal e F = 0: é um ponto; 5. A e C com mesmo sinal e F > 0: é o conjunto vazio. O valor de = AC B e o determinante A B D M = B C E D E F não mudam com as trasformações que fizemos. Portanto Portanto: = AC B = A C, A B D A 0 0 M = B C E = 0 C 0 = A C F. D E F 0 0 F 1. < 0 e M 0: é uma hipérbole;. < 0 e M = 0: é um par de retas concorrentes; 3. > 0 M < 0: é uma elipse; 4. > 0 e M = 0: é um ponto; 5. > 0 e M > 0: é o conjunto vazio. 4.5 Caso > 0 Neste caso temos três possibilidades: a equação Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 é uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio.

17 Ga no plano 17 Como funciona na prática? Vamos olhar o seguinte exemplo: 3x + xy + y + x + 4y 6 = 0. Neste caso = = > 0. Primeiro eliminamos os termos x + 4y, do seguinte modo: A B D M = B C E = 1 1. D E F 1 6 Usamos as duas primeiras linhas como um sistema: 3h + k + 1 = 0, A solução do sistema é Substituindo na última linha: h + k + = 0. h = 1, k = 5. h + k 6 = = 1. Portanto, a equação de exemplo equivale a 3x + xy + y + x + 4y 6 = 0 3x + xy + y 1 = 0. Para o exemplo acima o sistema seria: A solução do sistema é: 3x + xy + y 1 = 0 λ 4λ + = 0. A = +, C =,

18 Ga no plano 18 e a equação do segundo grau vira ( + )u + ( )v = 1, que é uma elipse de excentricidade e = c a = 1 + = + = e os focos ficam na reta u = constante que contém o ponto ( 1, 5 ): + x + y = + ( 1 ) + ( 5 ) = x + y =. 4 Observe que neste caso passamos pelas seguintes matrizes: M = 1 1 = = = 1, todas elas com mesmo determinante. Como o determinante não se altera com essas trocas de coordenadas, poderíamos dizer que é uma elipse simplesmente verificando que o determinante é um número negativo: 1 < 0. Isto porque o caso de centro na origem e eixo horizontal é: b x + a y a b = 0, de determinante b 0 0 M = 0 a 0 = a 4 b 4 < a b

19 Ga no plano Caso < 0 Neste caso temos duas possibilidades: a equação Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 é uma hi pérbole ou um ponto. Vamos ver como funciona num caso particular como o da equação: Para esta equação 3x 8xy + 3y x + 6y + = 0. A B D = 9 4 = 7 < 0, M = B C E = D E F 1 3 Como no caso > 0, o sistema para eliminar os termos x + 6y é: 3h 4k 1 = 0 cuja solução é: 4h + 3k + 3 = 0 h = 9 7, k = 5 7. Substituindo na terceira linha temos h + 3k + = = 0 7. Logo, equivale a 3x 8xy + 3y Para eliminar o termo 8xy usamos o sistema λ 6λ 7 = 0. que implica que A = 7, C = 1.

20 Ga no plano 0 Logo, equivale à equação 7u v = 0, que é a equação de uma hipérbole. Neste exemplo, o determinante não se altera com as substituições de coordenadas: M = = = = Problemas 1) Descreva as possíveis cônicas representadas pela equação 4xy + F = 0 variando F. Solução: Neste caso = 0 = 4 < 0 e 0 0 M = 0 0 = 4F. 0 0 F Portanto se F 0 temos uma hipérbole. Se F = 0 temos duas retas concorrentes x = 0 e y = 0. Uma maneira alternativa é usarmos o sistema λ 4 = 0. cujas soluções são A =, C = e portanto equivale a u v + F = 0 v F que é uma hipérbole se F 0. ) Quando temos que a equação u F = 1, Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0

21 Ga no plano 1 é um círculo? Solução: Mudar o centro de lugar não altera o círculo, então podemos supor que D = 0 e E = 0. Para transformar em fazemos o sistema Ax + Bxy + Cy + F = 0 A u + C u + F = 0 λ (A + C)λ + (AC B ) = 0 λ = A + C ± (A + C) 4(AC B ) = A + C ± (A C) + 4B. que para virar um círculo deve ter A = C e F < 0. A = C (A + C) 4(AC B ) = 0 4B + (A C) = 0 B = 0, A = C. Logo, a resposta é: quando A = C e B = 0. 3) Quando a equação x + xy + y + dx + ey + f = 0 é uma parábola? Quando é um par de retas paralelas? Solução: Neste caso temos = 0 e verificamos que x + xy + y = (x + y). Fazemos u := x + y e v := x y, e teremos 0 = x +xy+y +dx+ey+f = u +dx+ey+f = u +(d+e)u+(d e)v+f. Portanto, é parábola se o termo de v é diferente de zero, isto é, se d e. Então será a parábola v = 1 (d + e) e d u + e d u + f e d.

22 Ga no plano Se d = e temos u + du + f = 0, e esta equação deve ter duas raízes reais distintas para que a equação original represente duas retas paralelas. Isto ocorre se 4d 4f > 0 f < d.