Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

Transcrição

1 Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Verifique que os conjuntos V abaixo com as operações dadas não são espaços vetoriais explicitando a falha em alguma das propriedades. { (x y) (x (a) V = R 2 com operações y ) = (x x y y ) k (x y) = (kx ky) { (x y) (x (b) V = R 2 com operações y ) = (x + x y + y ) k (x y) = (k + x k + y) { (x y z) (x (c) V = R com operações y z ) = (x + x y + y 0) k (x y z) = (kx ky 0) { A A = A A (d) V = M 2 2 com operações k A = ka onde A e A são matrizes 2 2 (e) V = {(x y) R 2 y = x 2 } com as operações (operações usuais do R 2 ) { (x y) (x y ) = (x + x y + y ) k (x y) = (kx ky) 2 - Considere o conjunto V = {(x y) R 2 y = x 2 } com as operações (x y) (x y ) = (x + x y + y + 2xx ) e k (x y) = (kx k 2 y) onde (x y) (x y ) V e k R. O objetivo deste exercício é mostrar que V é um espaço vetorial com estas operações. (a) (Propriedade EV) Verifique (0 0) está em V e satisfaz (x y) (0 0) = (x y) para todo (x y) V. Isso mostra que (0 0) é o elemento neutro de V. (b) (Propriedade EV4) Dado um vetor (x y) V verifique que ( x y) está em V e que (x y) ( x y) = (0 0). Isso mostra que ( x y) é o inverso aditivo de (x y). (Você precisará usar o fato de que (x y) V e logo y = x 2.) (c) (Propriedade EV6) Dados (x y) V e k l R mostre que (k + l) (x y) = (k (x y)) (l (x y)). (Aqui também você precisará usar o fato de que para (x y) V temos y = x 2.) (d) Mostre que as propriedades EV1 EV2 EV5 EV7 e EV8 são válidas e conclua que V é um espaço vetorial com as operações dadas. 1

2 - Determine se os conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial V dado onde V é considerado com suas operações usuais. (a) V = R 2 e W = {(x y) R 2 x + 2y = }; (b) V = R e W = {(x y z) R x = y z = y}; (c) V = M 2 2 e W = {A M 2 2 A é matriz simétrica}; (Lembre que M m n é o espaço vetorial das matrizes de ordem m n.) (d) V = R 2 e W = {(x y) R 2 y = x 2 }; (e) V = R e W = {(x y z) R x + y + z 1}; (f) V = P e W = {a x + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 P a 2 = 1}; (Lembre que P n é o espaço vetorial dos polinômios com grau n.) (g) V = P 2 e W = {p(x) P 2 p(1) = 0}; (h) V = P 2 e W = {p(x) P 2 p(0) = 1}; (i) V = M 2 2 e W = {A M 2 2 A é inversível}. 4 - Em cada caso abaixo determine se: (a) v = (1 2) é combinação linear dos vetores v 1 = (0 ) e v 2 = (1 1) em R 2 ; (b) v = ( 1 5 2) é combinação linear dos vetores v 1 = (0 1 1) e v 2 = (1 2 0) em R ; (c) v = ( 1 5 2) é combinação linear dos vetores v 1 = (0 1 1) e v 2 = ( 1 0) em R ; (d) v = ( 1 5 2) é combinação linear dos vetores v 1 = (0 1 1) v 2 = ( 1 0) e v = (1 2 0) em R ; ( ) ( ) ( ) (e) v = é combinação linear dos vetores v = v = e ( ) 1 1 v = em M ; (f) v = x 2 x 2 é combinação linear dos vetores v 1 = x 2 + x e v 2 = x + 1 em P 2 ; (g) v = x 2 + 2x + é combinação linear dos vetores v 1 = x 2 + x e v 2 = x + 1 em P Determine os seguintes subespaços vetoriais de V : (a) W = (2 ) subespaço de V = R 2 ; (b) W = (2 ) (1 2) (1 1) subespaço de V = R 2 ; 2

3 (c) W = (0 1 1) ( 1 0) subespaço de V = R ; (Compare com o exercício 4 (c).) (d) W = (0 1 1) ( 1 0) ( 1 5 2) subespaço de V = R ; (Compare com o item anterior e com o exercício 4 (c).) (e) W = (1 2 4) (4 2 1) ( ) subespaço de V = R 4 ; (f) W = x 2 + x x + 1 subespaço de V = P 2 ; (Compare com os exercícios 4 (f) e (g).) (g) W = x 2 + x + 1 x + 1 x 1 subespaço de V = P 2 ; (h) W = ( ) ( ) ( ) ( ) subespaço de V = M Determine se os conjuntos abaixo são linearmente dependentes ou independentes: (a) {(1 0 1) (0 1 )} vetores de R ; (b) {(62 17) ( π)} vetores de R 2 ; (c) {x 2 + x 1 2x 2 x x 2 4x + 1} vetores de P 2 ; {( ) ( ) ( ) ( (d) (e) {( 1 5 2) (0 1 1) (1 2 0)} vetores de R ; )} vetores de M 2 ; (f) {( 1 5 2) (0 1 1) ( 1 0)} vetores de R. (Compare com o exercício 4 (c).) 7 - Seja V um espaço vetorial e sejam u v w vetores de V. Suponha que u é combinação linear de v e w. Responda os itens abaixo justificando sua resposta: (a) {u v w} é um conjunto linearmente independente? (b) u pertence ao subespaço v w? (c) u pertence ao subespaço v w? (d) v u + 2w pertence ao subespaço v w? (e) supondo que v e w são linearmente independentes e que u = v + 2w então u pertence ao subespaço v u + 2w w? (f) supondo que v e w são linearmente independentes e que u = 1 v +2w então u pertence ao subespaço v u + 2w w?

4 Gabarito: 1 a QUESTÃO: (a) EV1 falha pois temos (x y) (x y ) (x y ) (x y) em geral; (b) EV8 falha pois 1 (x y) = (1 + x 1 + y) (x y). Além disso as propriedades EV5 EV6 e EV7 também falham; (c) EV falha pois não existe elemento nulo já que após qualquer soma a terceira coordenada do vetor é zero; (d) EV1 falha pois o produto de matrizes não é comutativo isto é A A A A. Vejamos que EV4 também falha. Para isso note primeiro ( que ) EV funciona isto é 1 0 existe um elemento nulo para a operação já que I = é tal que 0 1 A I = A I = A e I A = I A = A. Agora como nem toda matriz é inversível isto é dado A M 2 2 nem sempre existe uma matriz inversa A 1 tal que A A 1 = I vemos que nem sempre existe o inverso aditivo de elementos de V com respeito a. Assim a propriedade EV4 falha. (e) EV4 falha já que o inverso aditivo de um vetor (x y) V deveria ser ( x y) que não pertence a V. 2 a QUESTÃO: (a) É óbvio que (0 0) está em V já que 02 = 0. Além disso temos (x y) (0 0) = (x + 0 y x 0) = (x y); (b) Dado (x y) V temos que y = x 2 por definição. Deste modo vemos que ( x y) também está em V pois ( x) 2 = x 2 = y. Além disso temos (x y) ( x y) = (x x y + y + 2 x ( x)) = (0 2y 2x 2 ) = (0 2(y x 2 )) = (0 0) pois y = x 2. (c) Para (x y) V e k l R temos (k + l) (x y) = ((k + l)x (k + l) 2 y) = ((k + l)x (k 2 + l 2 + 2kl)y) 4

5 e por outro lado temos (k (x y)) (l (x y)) = (kx k 2 y) (lx l 2 y) = (kx + lx k 2 y + l 2 y + 2 (kx) (lx)) = ((k + l)x k 2 y + l 2 y + 2klx 2 ) = ((k + l)x k 2 y + l 2 y + 2kly) pois x 2 = y = ((k + l)x (k 2 + l 2 + 2kl)y). Assim vemos que (k + l) (x y) = (k (x y)) (l (x y)). (d) Para a (EV1) temos (x y) (x y ) = (x + x y + y + 2xx ) = (x + x y + y + 2x x) = (x y ) (x y). Para a (EV2) temos (x y) ((x y ) (x y )) = (x y) (x + x y + y + 2x x ) = (x + x + x y + y + y + 2x x + 2xx + 2xx ) e ((x y) (x y )) (x y ) = (x + x y + y + 2xx ) (x y ) = (x + x + x y + y + y + 2x x + 2xx + 2xx ). Para a (EV5) temos k ((x y) (x y )) = k (x + x y + y + 2xx ) = (k(x + x ) k 2 (y + y + 2xx )) e (k (x y)) (k (x y )) = (kx k 2 y) (kx k 2 y ) = (kx + kx k 2 y + k 2 y + 2(kx)(kx )) = (k(x + x ) k 2 (y + y + 2xx )). Para a (EV7) temos (kl) (x y) = (klx (kl) 2 y) = (klx k 2 l 2 y) e k (l (x y)) = k (lx l 2 y) = (klx k 2 l 2 y). Para a (EV8) temos 1 (x y) = (1 x 1 2 y) = (x y). a QUESTÃO: (a) W não é subespaço linear de V pois o elemento nulo de V que é (0 0) não está em W ; 5

6 (b) W é subespaço linear de V pois é o conjunto solução de um sistema linear a saber o sistema { x y = 0 y +z = 0 Outra forma de ver que W é subespaço de V é escrever W como W = {(t t t) t R}. Assim tomamos dois vetores de W digamos w 0 = (t 0 t 0 t 0 ) e w 1 = (t 1 t 1 t 1 ) e um escalar k R. Temos que: * com t = 0 vemos que o elemento nulo (0 0 0) de V está em W ; * w 0 + w 1 = ((t 0 + t 1 ) t 0 + t 1 (t 0 + t 1 )) está em W com t = t 0 + t 1 ; * k w 0 = ((kt 0 ) kt 0 kt 0 ) está em W com t = kt 0. (c) W é subespaço vetorial de( V. De) fato note primeiro que as matrizes simétricas de a b ordem 2 2 são da forma com a b c R. Assim temos: b c ( ) 0 0 * o elemento nulo de M 2 2 que é está em W isto é é uma matriz simétrica; 0 0 * tome A e A elementos de W então estas matrizes são da forma ( ) ( ) a b a A = e A b = b c b c. ( ) a + a Assim A + A b + b = b + b c + c é simétrica e logo está em W ; ( a b * tome um escalar k R e um vetor A W então temos A = ( ) b c ka kb k A = é simétrica e logo está em W. kb kc ). Assim (d) Já vimos no exercício 1(e) que W não é espaço vetorial com as operaçoẽs usuais logo não pode ser subespaço de R 2. Outra forma de ver isso é notar que w = (1 1) W mas com k = 2 temos k (1 1) = (2 2) W. (e) W não é subespaço de V = R pois a soma de dois vetores w e w de W não necessariamente está em W. Por exemplo tome w = ( 1 0 0) e w = (0 1 0) temos w w W mas w + w = ( 1 1 0) não está em W. Outro modo de ver que W não é subespaço de V é notar que a multiplicação por escalar de um vetor de W não necessariamente cai em W. Por exemplo tome w = ( 1 0 0) W então com k = 2 temos k w = ( 2 0 0) W. 6

7 (f) W não é subespço de V = P pois o vetor nulo de P que é o polinômio nulo 0 = 0x + 0x 2 + 0x + 0 não está em W já que seu termo de grau 2 não é 1; (g) W é subespaço de V = P 2. De fato: * o vetor nulo de P 2 é 0 = 0x 2 + 0x + 0 que está em W ; * tome p(x) e q(x) em W isto é temos p(1) = q(1) = 0. Então a soma h(x) = p(x) + q(x) satisfaz h(1) = p(1) + q(1) = = 0 e logo está em W ; * tome um escalar k R e um vetor p(x) W isto é p(1) = 0. Então o produto g(x) = k p(x) está em W pois g(1) = k p(1) = k 0 = 0. (h) W não é subespaço de V pois o vetor nulo de V que é 0x 2 + 0x + 0 não está em W ; ( ) 0 0 (i) W não é subespaço de V = M 2 2 já que o vetor nulo de M 2 2 que é a matriz 0 0 não é inversível e logo não está em W. 4 a QUESTÃO: (a) Sim v = 1 v 1 + v 2 ; (b) Não; (c) Sim v = 2v 1 + v 2 ; (d) Sim v = 2v 1 + v 2 + 0v (existem outras formas de escrever v); (e) Não; (f) Sim v = v 1 2v 2 ; (g) Sim v = v 1 + v 2. 5 a QUESTÃO: (a) W é a reta em R 2 passando pela origem e com a direção do vetor v = (2 ). Temos W = {(x y) R 2 x 2y = 0} = {(2t t) t R}; (b) W = R 2 ; (c) W = {(x y z) R x + y z = 0}. Usando esta informação é fácil ver que v = ( 1 5 2) W já que este vetor satisfaz a equação de W isto é ( 1)+5 2 = 0; (d) W = {(x y z) R x + y z = 0}. Como o vetor ( 1 5 2) já estava em (0 1 1) ( 1 0) os subespaços dos itens (c) e (d) devem realmente ser iguais; (e) W = {(x 1 x 2 x x 4 ) R 4 x 1 2x 2 + x = 0 e 2x 1 x 2 + x 4 = 0}; 7

8 (f) W = {a 2 x 2 + a 1 x + a 0 P 2 a 1 = a 0 + a 2 }. Usando esta informação é fácil ver que x 2 x 2 e x 2 + 2x + são combinações lineares dos vetores x 2 + x e x + 1 pois em ambos os polinômios o termo de grau 1 é a soma dos termos de graus 0 e 2. (g) W = P 2 ; {( a b (h) W = c d ) } M 2 2 a + b 2c 2d = 0. 6 a QUESTÃO: (a) Os dois vetores são linearmente independentes (LI) já que não são múltiplos um do outro; (b) Os dois vetores são linearmente independentes (LI) já que não são múltiplos um do outro; (c) Escrevendo o vetor nulo de P 2 como combinação linear dos três vetores do conjunto temos 0x 2 + 0x + 0 = a(x 2 + x 1) + b(2x 2 x) + c(x 2 4x + 1) = (a + 2b + c)x 2 + (a b 4c)x + ( a + c) com a b c R. Por igualdade de polinômios obtemos o sistema linear a +2b +c = 0 ( ) a b 4c = 0 a +c = 0 Para determinar se o conjunto é linearmente dependente ou independente precisamos saber se o sistema ( ) tem infinitas ou uma única solução. Resolvendo o sistema temos M = M = onde realizamos as operações elementares: L 2 L 2 L 1 L L + L 1 L L 2 L L + 2L 2. Pela matriz M vemos que o sistema tem infinitas soluções e logo o conjunto é linearmente dependente (LD). (d) Escrevendo o vetor nulo de M 2 como combinação linear dos quatro vetores do conjunto temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( = a + b + c + d ( ) a + 2c + d 2a + b + c + 2d a 2b + 5d = 2a + b 2c d b + c + 2d a + c 8 )

9 com a b c d R. Por igualdade de matrizes obtemos o sistema linear a +2c +d = 0 2a +b +c +2d = 0 a 2b +5d = 0 ( ) 2a +b 2c d = 0 b +c +2d = 0 a +c = 0 Para determinar se o conjunto é linearmente dependente ou independente precisamos saber se o sistema ( ) tem infinitas ou uma única solução. Resolvendo o sistema temos M = M = onde realizamos as seguintes operações elementares: L 2 L 2 2L 1 L L L 1 L 4 L 4 2L 1 L 6 L 6 + L 1 L L + 2L 2 L 4 L 4 L 2 L 5 L 5 L 2 L L 4 L 4 L 4 4L L 5 L 5 + 2L e L 6 L 6 + L. Pela matriz M vemos que o sistema tem uma única solução (que é a = b = c = d = 0) e logo o conjunto é linearmente independente (LI). (e) Como este conjunto consiste de três vetores em R para saber se é linearmente dependente ou independente basta calcular o determinante da matriz: A = Ora esta matriz tem determinante igual a det(a) = 1(0 2) 0(0 4) + 1(5 2) = = 5 e logo como det(a) 0 vemos que os três vetores são linearmente independentes (LI). (f) Como este conjunto consiste de três vetores em R para saber se é linearmente dependente ou independente basta calcular o determinante da matriz: A =

10 Ora esta matriz tem determinante igual a det(a) = 1(0 ) 0(0 6) 1(5 2) = + 0 = 0 e logo como det(a) = 0 vemos que os três vetores são linearmente dependentes (LD). (Note que verificamos no exercício 4 itens (b) e (c) que o vetor ( 1 5 2) é combinação linear dos vetores (0 1 1) e ( 1 0) mas não é combinação linear dos vetores (0 1 1) e (1 2 0).) a 7 QUESTÃO: Primeiro notamos que a hipótese de que u é combinação linear de v e w significa que existem a b R tais que u = a v + b w. (a) (Não.) Para ver se o conjunto {u v w} é linearmente dependente ou independente precisamos ver se existem outros modos de escrever o vetor nulo 0 V como combinação linear de u v w k 1 u + k 2 v + k w = 0 além da combinação trivial (isto é com todas os escalares k 1 k 2 k iguais a zero). Ora temos u = av + bw u av bw = 0 o que significa que com k 1 = 1 k 2 = a e k = b obtemos uma maneira de escrever 0 como combinação linear de u v w distinta da trivial. Assim {u v w} é um conjunto linearmente dependente. (b) (Sim.) Por definição o subespaço v w é o conjunto de todas as combinações lineares de v e w. Como por hipótese u é combinação linear de v e w então u pertence a v w. (c) (Sim.) Precisamos ver se u é combinação linear de v e w. Ora temos que u = av +bw e logo u = (a)v + (b)w mostrando que u é combinação linear de v e w ou seja que u pertence a v w. (d) (Sim.) Aqui precisamos ver se v u + 2w é combinação linear de v e w. Agora como u = av + bw temos que v u + 2w = v (av + bw) + 2w = (1 a)v + (2 b)w mostrando que v u + 2w pode ser escrito como combinação linear de v e w. (e) (Sim.) Precisamos ver se u é combinação linear de v u + 2w e w isto é se existem k l R tais que u = k (v u + 2w) + l w. 10

11 Como u = v + 2w substituindo na equação acima temos v + 2w = k(v (v + 2w) + 2w) + lw v + 2w = 2kv 4kw + lw v + 2w + 2kv + 4kw lw = 0 (1 + 2k)v + (2 + 4k l)w = 0. Agora por hipótese v e w são linearmente independentes o que significa que o único modo de escrever 0 como combinação linear de v e w é o modo trivial 0v + 0w = 0 ou seja temos que ter 1 + 2k = 0 e 2 + 4k l = 0. Então k = 1/2 e logo l = 4k 2 = 0. Portanto u = 1/2(v u + 2w) + 0w mostrando que u pertence a v u + 2w w. (f) (Não.) Como no item anterior precisamos ver se u é combinação linear de v u + 2w e w isto é se existem k l R tais que u = k (v u + 2w) + l w. Como u = 1 v + 2w substituindo na equação acima temos ( ( ) ) 1 1 v + 2w = k v v + 2w + 2w + lw 1 v + 2w = 4kw + lw 1 v + 2w + 4kw lw = 0 ( ) 1 v + (2 + 4k l)w = 0. Agora por hipótese v e w são linearmente independentes o que significa que o único modo de escrever 0 como combinação linear de v e w é o modo trivial 0v + 0w = 0 ou seja deveríamos ter 1 = 0 e 2 + 4k l = 0. Como a primeira equação é obviamente falsa vemos que é impossível encontrar escalares k l satisfazendo u = k(v u + 2w) + lw ou seja u não é conbinação linear de v u + 2w e w e portanto u não pertence ao subespaço v u + 2w w. 11