Questão 1: Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Denamos a adição e a multiplicação por escalar em V por

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1 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA7B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Dra. Diane Rizzotto Rossetto LISTA 4 - Espaços Vetoriais Desenvolvidas juntamente com os professores Adriano Verdério e Nara Bobko a partir das referências que constam no plano de ensino. Questão : Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Denamos a adição e a multiplicação por escalar em V por (x, x ) (y, y ) = (x + y, x + y ) α (x, x ) = (αx, x ) V é um espaço vetorial com estas operações? Justique. Questão : Seja R o conjunto dos números reais. Dena a soma e a multiplicação por escalar por u v = u v e α u = αu, respectivamente. Verique se R é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações. Questão : Seja R o conjunto dos números reais. Dena a soma e a multiplicação por escalar por x y = max(x, y) e α x = αx, respectivamente. Verique se R é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações. Questão 4: Para cada um dos espaços vetoriais abaixo, com operações usuais, descreva o vetor nulo. a) R 5 b) M c) P Questão 5: Determine quais dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais (Justique). a) W = {(x, x, x ) R x + x = } b) W = {(x, x, x ) R x = x = x } c) W = {(x, x, x ) R x = x + x } d) W = {(x, x, x ) R x = x ou x = x } e) W é o conjunto de todas as matrizes diagonais. f) W é o conjunto de todas as matrizes triangulares. g) W é o conjunto de todas as matrizes simétricas. h) W = {p P 4 p possui grau igual a }

2 i) W é o conjunto de polinômios de grau até 4 tal que p() =. Questão 6: O conjunto W = {X = [x, y, z] M x + y + z = e x + y = } com as operações usuais de matrizes é espaço vetorial? Questão 7: O conjunto W = {(x, y, z) R x + y + z = e x + y = } com as operações usuais de R é espaço vetorial? Questão 8: Considere os conjuntos W = {u R u = (,, ) + t(,, ), t R} e W = {u R u = (,, ) + t(,, ), t R}. O conjunto W = W + W é subespaço vetorial de R? Interprete o conjunto W geometricamente. Questão 9: Considere o W conjunto das matrizes A de ordem de modo que Az =, com z = [ ]. W é um subespaço vetorial? Explique. Questão : Quais dos subconjuntos do R, com as operações usuais, são subespaços vetoriais? a) {(x, y) R x }. b) {(x, y) R x = }. Questão : Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo AX =, a)a = b)a = 6 Questão : Em cada item, determine se o espaço gerados pelos vetores indicados é o espaço vetorial R. a) v = (,, ), v = (,, ) e v = (,, ) b) v = (,, ), v = (,, ) e v = (,, ) Questão : Em cada item, determine se a armação é verdadeira ou falsa e justique sua resposta. a) O vetor (, 6, 6) pertence ao espaço gerado pelos vetores (,, ) e (, 4, ). b) O vetor ( 9,, 5) pertence ao espaço gerado pelos vetores (,, ) e (, 4, ). c) {, t, t, t + } gera P. d) {, t, t } gera P. Questão 4: Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v = (5,, ), v = (, 4, ) e v = (, 8, 7)?

3 a) (,, 5) b) (,, 8) c) (,, ) d) (,, ) Questão 5: Os vetores v = (5,, ), v = (, 4, ) e v = (, 8, 7) são LD ou L.I.? Caso sejam LD, escreva um deles como combinação linear dos outros. Questão 6: Determine se os conjuntos de vetores abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Justique. a) S = {(, ), (, )} {[ ] [ ] b) S =,, [ ]} c) S = {p, p, p } P 4 onde p (x) = x 5x +, p (x) = x 4 + 5x 6 e p (x) = x 5x + Questão 7: Para quais valores de λ o conjunto de vetores {(,, ), (λ +,, )} é LD? Questão 8: Suponha que {v, v, v } é um conjunto linearmente independente de vetores de R n. Responda se {w, w, w } é linearmente dependente ou independente nos seguintes casos: a) w = v + v, w = v + v e w = v + v ; b) w = v, w = v + v e w = v + v + v. Questão 9: Se os vetores não nulos u, v e w são LD, então w é uma combinação linear de u e v? Questão : Considere a matriz A =. Encontre os valores de λ tais que o sistema linear homogêneo (A λi n )X = tem solução não trivial e, para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução. Questão : Sejam v = (4,, ), v = (,, ) e v = (,, ) a) Os vetores v, v e v são LI ou LD? b) Os vetores v e v são LI ou LD?. c) Qual a dimensão do subespaço gerado por v, v e v, ou seja, do conjunto das combinações de v, v e v. d) Descreva geometricamente o subespaço gerado por v, v e v Questão : Dados v = (,, ) e v = (, 6, 4):

4 a) Os vetores v e v geram o R? Justique. b) Seja v um terceiro vetor do R. Quais as condições sobre v para que {v, v, v } seja uma base de R? c) Encontre um vetor v que complete junto com v e v uma base do R. Questão : Dê exemplos de: a) Três vetores: v, v e v, sendo {v } L.I., {v, v } L.I., v e v não são múltiplos de v e {v, v, v } LD b) Quatro vetores: v, v, v e v 4, sendo {v, v } L.I., {v, v 4 } L.I., v e v 4 não são combinação linear de v e v e {v, v, v, v 4 } LD Questão 4: Seja V o espaço das matrizes reais de ordem, e W o subespaço gerado por [ ] [ ] [ ] [ ] 5 4 7,,, Encontre uma base e a dimensão de W. Questão 5: Os polinômios p(x) = x 5x +, q(x) = x 4 + 5x 6 e r(x) = x 5x + do P 4 formam um conjunto linearmente independente. Questão 6: Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de M abaixo descritos: a) matrizes com traço igual a zero. b) matrizes que têm a primeira e a última linhas iguais. Questão 7: Mostre que os polinômios, x e x x+ formam uma base de P. Exprima o polinômio x 5x + 6 como combinação linear dos elementos dessa base. Questão 8: Quais são as coordenadas de x = (,, ) em relação à base B = {(,, ), (,, ), (,, )}? Questão 9: Considere os subespaços de R 4, W = {(x, y, z, w) R 4 x+y = e z w = } e W = {(x, y, z, w) R 4 x y z + w = }. a) Determine W W. b) Exiba uma base para W W. c) Determine W + W. d) W + W é soma direta? Justique. e) W + W = R 4? Justique. 4

5 Questão : Sejam B = {(, ), (, )}, B = {(, ), (, )}, B = {(, ), (, )} e B = {(, ), (, )} bases ordenadas do R. a) Ache as matrizes mudança de base: i) [I] B B ii) [I] B B iii) [I] B B iv) [I] B B b) Quais são as coordenadas do vetor v = (, ) em relação à base: i) B ii) B iii) B iv) B c) As coordenadas de um vetor v em relação a base B são dadas por [ ] 4 [v] B =. Quais são as coordenadas de v em relação à base: i) B ii) B iii) B Respostas. Não. Não é espaço vetorial, A não se verica.. Não é espaço vetorial, A não se verica. 4. a) (,,,, ) b) c) p(t) = + t + t + t = 5. a) Não c) Sim e) Sim g) Sim i) Sim b) Sim d) Não f) Não h) Não 6. Sim pois W é o conjunto das soluções de um sistema linear homogêneo. 5

6 7. Sim pois é intersecção de subespaços vetoriais: W = W W onde W e W são planos que passam pela origem (portanto são subespaços vetoriais de R ). 8. Sim pois é soma de subespaços vetoriais: W = W + W onde W e W são retas que passam pela origem (portanto são subespaços vetoriais de R ). Geometricamente, W será um plano. {[ ] } a a 9. W =, a, b R é um subespaço de M b b. a. Não é subespaço, por não ser fechado para a multiplicação por escalar. b. É subespaço.. a) Sim b) Não. a) F b) V c) V d) F 4. a) Sim b) Sim c) Não d) Não 5. Sim. v = v + v 6. a) LD b) LI c) LI 7. λ = ± 8. a) LI b) LI 9. Não necessariamente, o que temos é que algum deles será combinação linear dos demais. Por exemplo u = (,, ), v = (,, ) e w = (,, ) são LD, mas w não é CL de u e v.. λ =, solução geral do SLH: {(α, α, α) α R}, base B = {(,, )}. a) LD b) LI c) 6

7 d) Plano que passa pela origem e é paralelo aos vetores v e v, isto é, plano dado por x y =.. a) Não b) {v, v, v } LI c) Por exemplo, v = (,, ) 5. Sim. 6. a) dim S = 8 b) dim S = 6 7. x 5x + 6 = 5 + (x ) + (x x + ). 8. [x] B =. 9a. W W = {(,, z, z) z R}. 9b. B = {(,,, )}. 9c.. 9d. Não, a interseção não é apenas o vetor nulo. 9e. Sim. a. i) [ ] ii) iii) 6 6 iv) b. i) [ ] ii) 5 iii) iv) [ ] c. i) [ ] 4 4 ii) 4 iii) [ ] 8 7

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