Espaços Vetoriais e Produto Interno

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1 Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Álgebra Linear Prof o. Edson 1 o Semestre 1 a Lista de Exercícios 2009 Data: Sexta-feira 27 de Fevereiro Prof o. Edson Espaços Vetoriais e Produto Interno Problema 1 Seja M 2 2 o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2. Quais dos subconjuntos abaixo com as operações usuais são subespaços de M 2 2. Justifique a sua resposta. a). S = a b R} b). S = a + b = 0} c). S = a + b = 5} d). S = {( a c Problema 2 O conjunto ) a + b = 0 c R}. M = { a + bx + cx 2 a + 2b + c = 4 } é um subespaço de P 2? Justifique sua resposta. Problema 3 Determine se o vetor v pertence as subespaço gerado pelo conjunto de vetores β no espaço vetorial V onde a). v = (2 0 1) β = {( 0) (0 0 1)} V = R 3 b). v = x x 3 β = {x 2 2x + x 2 x + x 2 } V = P 2 ( ) {( ) ( )} c). v = β = V = M 2 2. Problema 4 Considere o subespaço T = [{cos 2 x sin 2 x} do espaço vetorial das funções de uma váriável contínuas em R. Determine quais das funções abaixo pertencem a T : a). f(x) = 1 b). f(x) = 3 + x 2 c). f(x) = sin x d). f(x) = cos (2x). Problema 5 Determine se o conjunto dado gera o R 3 a). {( 0) (0 2 0) (0 0 3)} b). {(2 0 1) (1 ) (0 0 1)} c). {(1 ) (3 0 0)} d). {( 1) (3 ) ( 0) (2 1 5)} e). {(2 1 1) (3 0 1) (5 1 2) (6 0 2)} Problema 6 Considere o R 3 com as seguintes operações (x 1 y 1 z 1 )+(x 2 y 2 z 2 ) = (x 1 +x 2 1 y 1 +y 2 z 1 +z 2 ) α(x 1 y 1 z 1 ) = (αx 1 α + 1 αy 1 αz 1 ) a). Mostre que o R 3 munido destas operaçoes é um espaço vetorial b). O conjunto S = {(x y z) R 3 x + y + z = 1} é um subespaço vetorial de R 3 com as operações definidas anteriormente? Justifique sua resposta. Problema 7 Classifique os subconjuntos do R 3 dados abaixo em linearmente dependentes ou linearmente independentes. a). {(1 3 5) (2 2 4) (4 4 14)} b). {(1 7 7) (2 7 7) (3 7 7)} c). {(0 0 1) ( 4)} d). {(9 9 0) (2 0 1) (3 5 4) ( )} Problema 8 Classifique os subconjuntos do P 2 dados abaixo em linearmente dependentes ou linearmente independentes. a). {3 x + 9x 2 5 6x + 3x x 5x 2 } b). { x x 2 }

2 a Lista de Exercícios c). {2 + x + 7x 2 3 x + 2x 2 4 3x 2 } d). {8+3x+3x 2 x+2x 2 2+2x+2x 2 8 2x+5x 2 } Problema 9 Mostre que se o conjunto { u v w} é linearmente independente o conjunto { u u + v u + v + w} também é. Problema 10 Verifique se o R 2 é soma direta dos subespaços W 1 e W 2 onde a). W 1 = {(x 0) x R} W 2 = {(x x) x R} b). W 1 = {(s s) s R} W 2 = {(s 2s) s R} c). W 1 = R 2 W 2 = { 0} d). W 1 = {() + (x 0) x R} W 2 = {( ) + (0 y) y R} Problema 11 O espaço vetorial P 2 é soma direta dos subespaços {a + bx 2 a b R} e {cx c R}? Problema 12 O que é W 1 + W 2 se W 1 W 2? Problema 13 Seja V o conjunto V = {(x y) x 0 y 0} a). Se u v V é correto afirmar que u + v V? Por quê? b). Encontre um vetor específico u V e um escalar específico α tal que αy / Problema 14 Seja W o conjunto W = {(x y) xy 0} a). Se u W e α R é correto afirmar que αu W? Por quê? b). Encontre vetores específicos u v W tal que u + v / W. Problema 15 Seja H o conjunto H = {(x y) x 2 + y 2 1} Verifique se este conjunto é subespaço vetorial do R 2. Problema 16 Verifique se os conjuntos dados são subespaços vetoriais de P n a). Todos os polinômios da forma p(t) = at 2 onde a R b). Todos os polinômios da forma p(t) = a + t 2 onde a R c). Todos os polinômios de grau menor ou igual a 3 com coeficientes inteiros d). Todos os polinômios em P n tais que p(0) = 0. Problema 17 Sejam u = (1 2 4) e v = ( ). Calcule a). u + v b). 2u + v c). 3u 2v d). 3(2u 3v) Problema 18 Em cada caso determine caso existam escalares a b c tais que a condição dada seja satisfeita: a). a( ) + b( ) + c( 2 1) = ( ) b). a( ) + b(2 1 ) + c( ) = ( ). Problema 19 Verifique se os conjuntos com suas respectivas operações dados abaixo são espaços vetoriais. Justifique sua resposta. a). O conjunto V dos números reais não-negativos adição e multiplicação por escalar usuais b). O conjuntos de todos os polinômios de grau maior ou igual a 3 mais o polinômio nulo adição e multiplicação por escalar usuais c). O conjunto V = R 2 com a adição usual e multiplicação por escalar da seguinte forma α(x y) = (x y) Problema 20 Seja V o conjunto de todos os números reais positivos com as seguintes operações + : x + y = xy : αx = x α Mostre que V é um espaço vetorial. Problema 21 Seja V = R 2 munido da operação de multiplicação por escalar usual mas com a adição definida da seguinte forma ( ) 3 (x 1 y 1 ) + (x 2 y 2 ) = x 31 + x32 3 y1 3 + y3 2 Mostre que V é um espaço vetorial.

3 3 1 a Lista de Exercícios Problema 22 Seja V = R 2 munido da operação de multiplicação por escalar usual mas com a adição definida da seguinte forma ( ) 2 (x 1 y 1 ) + (x 2 y 2 ) = x 21 + x22 2 y1 2 + y2 2 onde 2 indica a raiz quadrada positiva. Mostre que V é um espaço vetorial. Problema 23 Determine quais dos conjuntos abaixo são subespaços do R 3 a). U = {(a b 1) a b R} b). U = {(a b c) a + 2b c = 0 a b c R} c). U = { (a b 0) a 2 = b 2 a b R } d). U = { (a b c) a 2 + b 2 = c 2 a b c R } Problema 24 Determine quais dos conjuntos abaixo são subespaços do P 3 a). U = {p(x) p(2) = 1} b). U = {xp(x) p(x) P 2 } c). U = {xp(x) p(x) P 3 } d). U = {xg(x) + (1 x)h(x) g(x) h(x) P 2 }. Problema 25 Escreva cada um dos elementos de P 2 dados abaixo como combinação linear dos vetores x + 1 x 2 + x e x a). x 2 + 3x + 2 b). 2x 2 3x + 1 c). x d). x. Problema 26 Verifique se o vetor v pertence ao conjunto gerado por u e w onde a). v = (1 1 2) u = (1 1 1) w = (0 1 3) b). v = (3 1 3) u = (1 1 1) w = (0 1 3) c). v = 3x 2 2x 1 u = x w = x + 2 d). v = x u = x w = x + 2 [ [ e). v = u = 1 1 [ w = [ 1 4 f). v = [ 5 3. u = [ 1 1 w = Problema 27 Sejam u v w vetores de um espaço vetorial a). Mostre que [{u v w} = [{u+v u+w v+w} b). Mostre que [{u v w} = [{u v u + w w}. Problema 28 É possível que o conjunto {(1 2 0) (1 1 1)} possa gerar o subespaço U = {(a b 0) a b R}? Problema 29 Seja U um subespaço do espaço vetorial a). Se αu U para qualquer α R α 0 mostre que u V b). Se u u + v U mostre que v U. Problema 30 Mostre que cada um dos conjuntos de vetores dados abaixo são linearmente independentes. a). {(1 2) ( 1 1)} R 2 b). {(1 ) (0 1 2) (2 1 1)} R 3 c). {x 2 x x x 2 } P 2 {[ [ [ d) M 2 2. [ } Problema 31 Determine todos os valores de x de modo que os conjuntos dados abaixo sejam linearmente independentes em R 3 a). {(1 ) (x ) (0 2 3)} b). {(2 x 1) ( 1) (0 1 3)}. Problema 32 Exiba uma base e calcule a dimensão de cada um dos seguintes subespaços de R 4 a). {(a + b a b a b) a b R} b). {(a b b + c a b + c) a b c R} c). {(a b c d) a + b = c + d} d). X R 4 XA = 0 onde A = Problema 33 Exiba uma base e calcule a dimensão de cada um dos seguintes subespaços de P 2 a). {a(1 + x) + b(x + x 2 ) a b R}

4 4 1 a Lista de Exercícios b). {(a + b(x + x 2 ) a b R} c). {p(x) p(1) = 0} d). {p(x) p(x) = p( x)}. Problema 34 Considere os seguintes vetores u = ( 1 2) v = (4 6) w = (3 1 5) x = (6 2 3) Usando o produto interno usual do espaço vetorial ao qual os vetores pertençem calcule: a). u u v u e v u u u b). c). 1 w w w ( u v ) v v v d). u e). w f). ( x w x x ) x. Problema 35 Encontre um vetor unitário na direção do vetor dado. a). ( 30 40) b). ( 6 4 3) c). ( ) d). ( 8 3 2). Problema 36 Encontre a distância entre os vetores u = (0 5 2) e z = ( 4 1 8). Problema 37 Sejam u v V onde V é um espaço vetorial euclidiano. Mostre que u + v 2 + u v 2 = 2 ( u 2 + v 2) Problema 38 Sejam u R 2. Considere o conjunto H = { v R 2 v u } Encontre uma base de H. Problema 39 Suponha que um w é ortogonal aos vetores u e v. Moste que w é ortogonal a u + v. Problema 40 Suponha que um w é ortogonal aos vetores u e v. Moste que w é ortogonal a qualquer vetor do conjunto [{u v}. Problema 41 Determine quais conjuntos de vetores são ortogonais. a). ( 1 4 3) (5 2 1) (3 4 7) b). (1 2 1) (0 1 2) ( 5 2 1) c). (2 7 1) ( 6 3 9) (3 1 1) d). (2 5 3) (0 0 0) (4 2 6). Problema 42 Mostre que o conjunto {u v} ou {u v w} é uma base ortogonal de R 2 ou R 3 respectivamente. Após isto expresse o vetor x como combinação linear dos vetores da base. a). u = (2 3) v = (6 4) x = (9 7) b). u = (3 1) v = ( 2 6) x = ( 6 3) c). u = ( 1) v = ( 1 4 1) w = (2 1 2) w = (8 4 3) d). u = ( 3 3 0) v = (2 2 1) v = (1 1 4) w = (5 3 1). Problema 43 Sejam v = (2 3) e u = (4 7). Escreva v como soma de dois vetores ortogonais um pertencente ao conjunto S = [{u} e outro pertencente ao conjunto S. Problema 44 Sejam v = ( 3 9) e u = (1 2). Calcule a distância de v à reta que passa por u e pela origem. Problema 45 Seja W = [{u v} ou W = [{u v w} escreva o vetor x como soma de um vetor em W e um em W. a). x = (1 3 5) u = (1 3 2) v = (5 1 4) b). x =( 1 4 3) u = (1 1 1) v = ( 1 3 2) c). x = ( ) u = (1 1) v = ( ) w = ( 1 1) d). x = ( ) u = (1 1) v = ( 1 1) w = ( ). Problema 46 Use o processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortogonal do subespaço W a partir da base dada. a). (3 0 1) (8 5 6) b). (0 4 2) (5 6 7) c). (2 5 1) (4 1 2) d). (3 4 5) ( ). Problema 47 Em cada caso verifique se a função dada define um produto interno sobre o espaço vetorial

5 5 1 a Lista de Exercícios a). V = R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = x 1 y 1 x 2 y 2 b). V = R 3 (x 1 x 2 x 3 ) (y 1 y 2 y 3 ) = x 1 y 1 x 2 y 2 + x 3 y 3 c). V = P 3 p(x) q(x) = p1)q(1) d). V = M 2 2 A B = det(ab). Problema 48 Sejam p q P n defina p q = p(0)q(0) + p(1)q(1) + + p(n)q(n) Mostre que esta função define um produto interno sobre P n. Problema 49 Considere re(z) a função que calcula a parte real de um número complexo z. Mostre que a função z w = re(z w) define um produto interno sobre C. Problema 50 Em cada caso mostre que a função v w = [v T A[w define um produto interno sobre R 2. [ a). A = 1 1 [ 5 3 b). A = 3 2 [ 3 2 c). A = 2 3 [ 3 4 d). A =. 4 6 Problema 51 Mostre u v = 1 [ u + v 2 u v 2 4 para quaisquer u v em um espaço vetorial eucidiano Problema 52 Se V = [v 1 v 2 v n e v v i = w v i para i = 1...n mostre que v = w. Problema 53 Usando a desigualdade de Cauchy- Schwarts num espaço vetorial euclidiano mostre que (xcos θ + ysen θ) 2 x 2 + y 2 para quaiquer x y θ R Problema 54 Em cada caso use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base β = {1 x x 2 } numa base ortogonal de P 2. a). p q = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2) b). p q = 2 0 p(x)q(x)dx. Problema 55 Mostre que o conjunto { 1 x 1 2 x2 x + 1 } 6 é uma base ortogonal de P 2 com o produto interno p q = 1 0 p(x)q(x)dx