Primeira prova de Álgebra II - 30/09/2010 Prof. - Juliana Coelho

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1 Primeira prova de Álgebra II - 0/09/2010 Prof. - Juliana Coelho JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS! Questões contendo só a resposta, sem desenvolvimento ou justificativa serão desconsideradas! QUESTÃO 1 (2,0 pts) - Ache as raízes racionais de f(x) = x4 x + 2x 2 5x com suas respectivas multiplicidades. Resp.: Se β = a/b Q é raiz de f(x) com mdc(a, b) = 1 então a divide o termo constante de f(x) e b divide o coeficiente líder de f(x). Como o termo constante de f(x) é e o coeficiente líder de f(x) é 1, temos as seguintes possibilidades: a = ±1, ± b = ±1 β = a = ±1, ±. b Precisamos então testar estes valores para ver se são raízes de f(x). Temos f(1) = = = 8 0 f( 1) = ( 1) 4 ( 1) + 2 ( 1) 2 5 ( 1) = = 8 0 f() = = = 0 f( ) = ( ) 4 ( ) + 2 ( ) 2 5 ( ) = = e assim β = é a única raiz racional de f(x). 1

2 Como β = é raiz de f(x) então f(x) é divisível por x. Efetuando a divisão, obtemos f(x) = (x ) (x + 2x + 1) ou seja, quociente q(x) = x + 2x + 1 e resto r(x) = 0. Como q() = = = 4 0, vemos que não é raiz de q(x), implicando que x não divide q(x) o que mostra que a multiplicidade de β = como raiz de f(x) é 1. QUESTÃO 2 (2,0 pts) - Seja f(x) = 2x8 +4x 5 +2x 2 R[x]. Encontre a fatoração de f(x) em R[x], identifique as raízes reais deste polinômio com suas multiplicidades. Resp.: Examinando o polinômio obtemos f(x) = 2x 8 + 4x 5 + 2x 2 = 2x 2 (x 6 + 2x + 1) = 2x 2 (x + 1) 2. O polinômio x é irredutível, pois tem grau 1, mas o polinômio x + 1 é redutível em R[x], já que tem grau (todo polinômio em R[x] de grau é redutível.) Assim falta apenas fatorar x + 1 em R[x]. Podemos agora proceder de duas maneiras. A primeira é notar que 1 é raiz de x + 1 e que portanto x ( 1) = x + 1 divide x + 1. Fazendo esta divisão obtemos x + 1 = (x + 1)(x 2 x + 1). Agora, x + 1 é irredutível em R[x] pois tem grau 1, e x 2 x + 1 é irredutível em 2

3 R[x] pois b 2 4c = ( 1) = 1 4 = < 0. Assim f(x) = 2x 2 (x + 1) 2 = 2x 2 ((x + 1)(x 2 x + 1)) 2 = 2x 2 (x + 1) 2 (x 2 x + 1) 2 é a fatoração de f(x) em R[x]. O polinômio f(x) tem duas raízes reais, que são 0 e 1, ambas com multiplicidade 2. Alternativamente, para achar a fatoração de x + 1 em R[x] iremos achar as raízes deste polinômio em C. As raízes complexas de x + 1 são as raízes cúbicas complexas de 1. Na forma polar temos 1 = 1(cos(π) + i sen(π)) e portanto as raízes de x + 1 são z k = ( ( ) ( )) π + 2kπ π + 2kπ 1 cos + i sen com k = 0, 1, 2. Temos assim Note que z 2 = z 0 Logo z 0 = ( ( π ) 1 cos z 1 = ( ( π 1 cos + i sen z 2 = ( ( ) 5π 1 cos + i sen ( π )) + i sen ) ( π ( 5π = i )) 2 = 1 )) = 1 2 i 2 x + 1 = (x z 0 )(x z 1 )(x z 2 ) = (x ( 1))(x z 0 )(x z 0 ) = (x + 1)(x 2 (z 0 + z 0 )x + (z 0 z 0 )) = (x + 1)(x 2 x + 1)

4 Novamente vemos que x + 1 é irredutível em R[x] pois tem grau 1, e x 2 x + 1 é irredutível em R[x] pois b 2 4c = ( 1) = 1 4 = < 0. Assim f(x) = 2x 2 (x + 1) 2 = 2x 2 ((x + 1)(x 2 x + 1)) 2 = 2x 2 (x + 1) 2 (x 2 x + 1) 2 é a fatoração de f(x) em R[x]. O polinômio f(x) tem duas raízes reais, que são 0 e 1, ambas com multiplicidade 2. QUESTÃO (2,0 pts) - (a) Seja K um corpo e f(x) K[x] um polinômio redutível com grau(f(x)) =. Mostre que f(x) tem raiz em K. Resp.: Como f(x) é redutível por hipótese, podemos escrever f(x) = g(x) h(x) com g(x), h(x) K[x] não constantes. Agora, como K é um corpo, é em particular um domínio, e portanto temos que grau(f(x)) = grau(g(x) h(x)) = grau(g(x)) + grau(h(x)). Como grau(f(x)) =, temos então grau(g(x)) + grau(h(x)) =. Mas g(x) e h(x) são polinômios não-constantes, o que significa que grau(g(x)) 1 e grau(h(x)) 1. Assim temos que ter grau(g(x)) = 1 e grau(h(x)) = 2 ou grau(g(x)) = 2 e grau(h(x)) = 1. Supondo grau(g(x)) = 1, podemos escrever g(x) = ax + b com a, b K e a 0. Mas então f(x) = (ax + b)h(x) tem a raíz b/a, que pertence ao corpo K. Logo f(x) tem raiz em K. 4

5 (b) Use o item (a) para verificar que o polinômio f(x) = x + x + 1 é irredutível em Z 2 [x]. Resp.: Pelo item (a), como f(x) tem grau, basta verificarmos que este polinômio não tem raiz em Z 2. Como Z 2 = {0, 1}, basta testar se estes dois valores são raízes de f(x). Temos f(0) = = 1 0 f(1) = = = 1 0 mostrando que f(x) não tem raiz em Z 2 [x]. Por (a), se f(x) fosse redutível, teria que ter raiz. Assim, como f(x) não tem raiz, não pode ser redutível. Ou seja, mostramos que f(x) é irredutível em Z 2 [x]. QUESTÃO 4 (2,0 pts) - Verifique que os polinômios abaixo são irredutíveis em Q[x]. (a) f(x) = x 6 4x 5 + 2x 6; Resp.: Aqui usaremos o critério de Eisenstein. Temos a 6 = 1, a 5 = 4, a 4 = 0, a = 0, a 2 = 0, a 1 = 2, a 0 = 6. e portanto o primo p = 2 satisfaz o critério de Eisenstein já que p = 2 não divide a 6, p = 2 divide a 5,..., a 0 e p 2 = 4 não divide a 0. Assim o critério mostra que f(x) é irredutível em Q[x]. (b) f(x) = x + 8x 2 + x + 9. Resp.: Aqui usaremos redução módulo p. Reduzindo o polinômio f(x) módulo p = 2 obtemos f(x) = 1x + 8x 2 + x + 9 = 1x + 0x 2 + 1x + 1 5

6 Mas como visto na questão (b), o polinômio f(x) = x + x + 1 é irredutível em Z 2 [x]. Portanto f(x) é irredutível em Q[x]. Alternativamente, como f(x) tem grau, poderíamos ter usado diretamente a questão (a). Esta questão diz que se f(x) for redutível em Q[x] então ele deve ter alguma raiz em Q. Mas as possíveis raízes racionais são β = ±1, ±, ±9. Calculando, temos f(1) = = 21 f( 1) = ( 1) + 8 ( 1) 2 + ( 1) + 9 = 1 f() = = 117 f( ) = ( ) + 8 ( ) 2 + ( ) + 9 = 45 f(9) = = 141 f( 9) = ( 9) + 8 ( 9) 2 + ( 9) + 9 = 99 mostrando que f(x) não tem raízes racionais e portanto, pela questão, não é redutível. QUESTÃO 5 (2,0 pts) - Em cada item abaixo diga se a afirmação é Verdadeira ou Falsa, justificando sua resposta. (a) O conjunto I = {f(x) R[x] f(1) = 1} é um ideal de R[x]. Resp.: FALSO. O conjunto não é um ideal porque não contém o polinômio identicamente nulo 0(x) = 0. (b) Seja p N um número primo e f(x) = x p 1 + x p x + 1 Z p [x]. Então f(x) é divisível por g(x) = x 1 em Z p [x]. Resp.: VERDADEIRO. Lembre que f(x) é divisível por x β se e somente se β é raiz de f(x). Assim basta vermos que 1 é raiz de f(x) = x p 1 + x p x

7 Temos f(1) = 1 p p = }{{} p termos Assim f(1) = p = 0 em Z p [x], mostrando que 1 é raiz de f(x) e logo que g(x) = x 1 divide f(x) em Z p [x]. 7