MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Dra. Diane Rizzotto Rossetto. LISTA 5 - Espaços Vetoriais

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1 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA7B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Dra. Diane Rizzotto Rossetto LISTA 5 - Espaços Vetoriais Desenvolvidas juntamente com os professores Adriano Verdério e Nara Bobko a partir das referências que constam no plano de ensino. Questão : Determine quais dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais (Justique). a) W = {(x, x, x 3 ) R 3 x + x 3 = } b) W = {(x, x, x 3 ) R 3 x = x = x 3 } c) W = {(x, x, x 3 ) R 3 x 3 = x + x } d) W = {(x, x, x 3 ) R 3 x 3 = x ou x 3 = x } Questão : O conjunto W = {(x, y, z) R 3 x + y + z = e x + y = } com as operações usuais é espaço vetorial? Questão 3: O conjunto W = {(x, y, z) R 3 x + y + z = e x + y = } com as operações usuais de R 3 é espaço vetorial? Questão 4: Considere os conjuntos W = {u R 3 u = (,, ) + t(,, 3), t R} e W = {u R 3 u = (,, ) + t(,, ), t R}. O conjunto W = W + W é subespaço vetorial de R 3? Interprete o conjunto W geometricamente. Questão 5: Quais dos subconjuntos do R, com as operações usuais, são subespaços vetoriais? a) {(x, y) R x }. b) {(x, y) R x, y }. c) {(x, y) R x = }. Questão 6: Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo AX =, a)a = 3 b)a = Questão 7: Em cada item, determine se o espaço gerados pelos vetores indicados é o espaço vetorial R 3. a) v = (,, ), v = (,, ) e v 3 = (,, ). b) v = (,, ), v = (3,, ) e v 3 = (,, ).

2 Questão 8: Em cada item, determine se a armação é verdadeira ou falsa e justique sua resposta. a) O vetor (, 6, 6) pertence ao espaço gerado pelos vetores (,, 3) e (3, 4, ). b) O vetor ( 9,, 5) pertence ao espaço gerado pelos vetores (,, 3) e (3, 4, ). Questão 9: Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v = (5, 3, ), v = (, 4, 3) e v 3 = (, 8, 7)? a) (,, 5) b) (,, 8) c) (,, ) d) (,, 3) Questão : Os vetores v = (5, 3, ), v = (, 4, 3) e v 3 = (, 8, 7) são LD ou L.I.? Caso sejam LD, escreva um deles como combinação linear dos outros. Questão : Determine se os conjuntos de vetores abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Justique. a) S = {(, ), (, )} b) S = {(,, ), (,, ), (,, )} Questão : Para quais valores de λ o conjunto de vetores {(3,, ), (λ +,, )} é LD? Questão 3: Suponha que {v, v, v 3 } é um conjunto linearmente independente de vetores de R n. Responda se {w, w, w 3 } é linearmente dependente ou independente nos seguintes casos: a) w = v + v, w = v + v 3 e w 3 = v + v 3 ; b) w = v, w = v + v 3 e w 3 = v + v + v 3. Questão 4: Se os vetores não nulos u, v e w são LD, então w é uma combinação linear de u e v? Questão 5: Considere a matriz A = 3. 3 Encontre os valores de λ tais que o sistema linear homogêneo (A λi n )X = tem solução não trivial e, para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução. Questão 6: Sejam v = (4,, 3), v = (,, ) e v 3 = (,, ) a) Os vetores v, v e v 3 são LI ou LD? b) Os vetores v e v são LI ou LD?.

3 c) Qual a dimensão do subespaço gerado por v, v e v 3, ou seja, do conjunto das combinações de v, v e v 3. d) Descreva geometricamente o subespaço gerado por v, v e v 3 Questão 7: Dados v = (,, 3) e v = (, 6, 4): a) Os vetores v e v geram o R 3? Justique. b) Seja v 3 um terceiro vetor do R 3. Quais as condições sobre v 3 para que {v, v, v 3 } seja uma base de R 3? c) Encontre um vetor v 3 que complete junto com v e v uma base do R 3. Questão 8: Dê exemplos de: a) Três vetores: v, v e v 3, sendo {v } L.I., {v, v 3 } L.I., v e v 3 não são múltiplos de v e {v, v, v 3 } LD. b) Quatro vetores: v, v, v 3 e v 4, sendo {v, v } L.I., {v 3, v 4 } L.I., v 3 e v 4 não são combinação linear de v e v e {v, v, v 3, v 4 } LD. Questão 9: Quais são as coordenadas de x = (,, ) em relação à base B = {(,, ), (,, ), (,, )}? Questão : Considere os subespaços de R 4, W = {(x, y, z, w) R 4 x+y = e z w = } e W = {(x, y, z, w) R 4 x y z + w = }. a) Determine W W. b) Exiba uma base para W W. c) Determine W + W. d) W + W = R 4? Justique. Questão : Sejam B = {(, ), (, )}, B = {(, ), (, )}, B = {( 3, ), ( 3, )} e B 3 = {(, ), (, )} bases ordenadas do R. a) Ache as matrizes mudança de base: i) [I] B B ii) [I] B B iii) [I] B B iv) [I] B B 3 b) Quais são as coordenadas do vetor v = (3, ) em relação à base: i) B ii) B iii) B iv) B 3 c) As coordenadas de um vetor v em relação a base B são dadas por [ ] 4 [v] B =. Quais são as coordenadas de v em relação à base: 3

4 i) B ii) B iii) B 3 Espaços Vetoriais Abstratos (Extra) Questão : Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Denamos a adição e a multiplicação por escalar em V por (x, x ) (y, y ) = (x + y, x + y ) α (x, x ) = (αx, x ) V é um espaço vetorial com estas operações? Justique. Questão 3: Seja R o conjunto dos números reais. Dena a soma e a multiplicação por escalar por u v = u v e α u = αu, respectivamente. Verique se R é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações. Questão 4: Seja R o conjunto dos números reais. Dena a soma e a multiplicação por escalar por x y = max(x, y) e α x = αx, respectivamente. Verique se R é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações. Questão 5: Para cada um dos espaços vetoriais abaixo, com operações usuais, descreva o vetor nulo. a) M 3 b) P 3 Questão 6: Determine quais dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais (Justique). a) W é o conjunto de todas as matrizes diagonais. b) W é o conjunto de todas as matrizes triangulares. c) W é o conjunto de todas as matrizes simétricas. d) W = {p P 4 p possui grau igual a 3} e) W é o conjunto de polinômios de grau até 4 tal que p() =. f) W C[, ] tal que as funções em W satisfazem f( ) = f() Questão 7: Considere o W conjunto das matrizes A de ordem de modo que Az =, com z = [ ]. W é um subespaço vetorial? Explique. Questão 8: Em cada item, determine se a armação é verdadeira ou falsa e justique sua resposta. a) {, t, t, t + 3} gera P. 4

5 b) {, t, t } gera P. Questão 9: Seja V o espaço das matrizes reais de ordem, e W o subespaço gerado por [ ] [ ] [ ] [ ] 5 4 7,,, Encontre uma base e a dimensão de W. Questão 3: Determine se os conjuntos de vetores abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Justique. ] ] ]} a) S = {[, [, [ b) S = {p, p, p 3 } P 4 onde p (x) = x 3 5x +, p (x) = x 4 + 5x 6 e p 3 (x) = x 5x + Questão 3: Os polinômios p(x) = x 3 5x +, q(x) = x 4 + 5x 6 e r(x) = x 5x + do P 4 formam um conjunto linearmente independente. Questão 3: Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de M 3 3 abaixo descritos: a) matrizes com traço igual a zero. b) matrizes que têm a primeira e a última linhas iguais. c) matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna. d) matrizes das quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna. Questão 33: Mostre que os polinômios, x e x 3x+ formam uma base de P. Exprima o polinômio x 5x + 6 como combinação linear dos elementos dessa base. Respostas. a) Não b) Sim c) Sim d) Não. Sim pois W é o conjunto das soluções de um sistema linear homogêneo. 5

6 3. Sim pois é intersecção de subespaços vetoriais: W = W W onde W e W são planos que passam pela origem (portanto são subespaços vetoriais de R 3 ). 4. Sim pois é soma de subespaços vetoriais: W = W + W onde W e W são retas que passam pela origem (portanto são subespaços vetoriais de R 3 ). Geometricamente, W será um plano. 5a. Não é subespaço, por não ser fechado para a multiplicação por escalar. 5b. Não é subespaço, por não ser fechado para a multiplicação por escalar. 5c. É subespaço. 7. a) Sim b) Não 8. a) F b) V 9. a) Sim b) Sim c) Não d) Não. Sim. v 3 = v + 3v 3. a) LD b) LI. λ = ± 3. a) LI b) LI 4. Não necessariamente, o que temos é que algum deles será combinação linear dos demais. Por exemplo u = (,, ), v = (,, ) e w = (,, ) são LD, mas w não é CL de u e v. 5. λ =, solução geral do SLH: {(α, α, α) α R}, base B = {(,, )} 6. a) LD b) LI c) d) Plano que passa pela origem e é paralelo aos vetores v e v, isto é, plano dado por x y =. 7. 6

7 a) Não b) {v, v, v 3 } LI c) Por exemplo, v 3 = (,, ) 3 9. [x] B = 3. 3 a. W W = {(,, z, z) z R}. b. B = {(,,, )}. c.. d. Sim. a. i) [ ] ii) iii) 6 6 iv) b. i) [ ] 3 ii) 5 iii) 3 iv) [ 3 ] c. i) [ ] 4 4 ii) 4 3 iii) [ ] 8 3. Não 3. Não é espaço vetorial, A não se verica. 4. Não é espaço vetorial, A3 não se verica. 5. a) b) p(t) = + t + t + t 3 = 6. 7

8 a) Sim c) Sim e) Sim b) Não d) Não {[ ] } a a 7. W =, a, b R b b 8. a) V b) F f) Sim é um subespaço de M. 3. a) LI b) LI 3. Sim. 3. a) dim S = 8 b) dim S = 6 c) dim S = 6 d) dim S = x 5x + 6 = 5 + (x ) + (x 3x + ). 8