Lista de exercícios 8 Bases e Dimensão.

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1 Universidade Federal do Paraná semestre 05. Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic Lista de exercícios 8 Bases e Dimensão. Exercício : No exercício da Folha 7, indique se os vetores formam uma base para R. Exercício : No exercício da Folha 7, indique se os vetores formam uma base para R. ( ) ( ) ( ) 7 Exercício : Considere os vetores: x =, x =, x =, a) Mostre que x, x formam uma base de R. b) Por que x, x, x devem ser linearmente independentes? c) Qual é a dimensão de Cob(x, x, x )? Exercício : Dados os vetores x := de Cob(x, x, x )? Exercício 5: Sejam x :=, x :=, x := a) Mostre que x, x, x são linearmente dependentes. b) Mostre que x, x são linearmente independentes. c) Qual é a dimensão de Cob(x, x, x )?, x := d) Dê uma interpretação geométrica de Cob(x, x, x )., x := 6 R Qual é a dimensão Exercício 6: No exercício da folha 7, alguns dos conjuntos de vetores formavam subespaços de R. Em cada um desses casos, encontre uma base para o subespaço e determine sua dimensão. Exercício 7: Para cada uma das seguintes matrizes, encontre uma base e deduza a dimensão do kernel N(A) = ker A. Em cada caso, deduza a dimensão da imagem de A. Dica: pode se ajudar dos resultados da Folha : veja no Exercício, os itens a) b) c) e) e no Exercício, os itens d) e e). a) A = ( ) b) A = ( ) 6

2 c) A = d) A = e) f) ( 0 ) Exercício 8: Encontre uma base para o subespaço S de R consistindo em todos os vetores da forma (a + b, a b + c, b, c), nos quais a, b, c são números reais. Qual é a dimensão de S? Exercício 9: Seja S o subespaço de todos os polinômios da forma ax + bx + a + b. Encontre uma base para S. Exercício 0: No exercício da Folha 7, alguns dos conjuntos de vetores formavam subespaços de R. Em cada um desses casos, encontre uma base para o subespaço e determine sua dimensão. Exercício : Em cada um dos seguintes itens, ache a dimensão do subespaço de P coberto pelos vetores dados: a) x, x, x + b) x, x, x +, x c) x, x x, x + d) x, x Exercício : Seja S um subespaço de P consistindo em todos os polinômios tais que p(0) = 0 e seja T o subespaço de todos os polinômios q(x) tais que q() = 0. Encontre bases para: a) S b) T c) S T

3 Soluções Resolução do Exercício : a) Segundo o Exercício, item a) da Folha 7, os vetores v = (, ) e v = (, ) são linearmente independentes, no espaço R que tem dimensão, portanto v, v } é é uma base do R. b) Segundo o Exercício, item b) da Folha 7, os vetores v := (, ) e v := (, 6 ) não são linearmente independentes logo não formam uma base do R. c) Os vetores v := (, ), v := (, ) e v := (, ) não podem formar uma base do R, pois são três vetores e R tem dimensão só. d) Segundo o Exercício, item d) da Folha 7, os vetores (, ), (, ) e (, ) não são linearmente independentes, logo não formam uma base do R, e) Segundo o Exercício, item e) da Folha 7, os vetores (, ) e (, ) são linearmente independentes, no espaço R que tem dimensão, portanto formam uma base do R. Resolução do Exercício : a) Os vetores dados por v := (, 0, 0 ), v := ( 0,, ) e v := (, 0, ) são linearmente independentes, no espaço R que tem dimensão, portanto v, v, v } é base de R. b) Os vetores em R dados por v := (, 0, 0 ), v := ( 0,, ), v := (, 0, ) e v := (,, ), não são linearmente independentes logo não formam uma base de R. Observação. Tambem pode-se argumentar que uma base do R tem exatamente vetores. c) Os vetores (,, ), (,, ), (,, 0 ) sendo linearmente independentes, no espaço de dimensão três R, portanto v, v, v } é uma base do R. d) Os vetores v := (,, ), v := (,, ) e v := (,, ) não são linearmente independentes logo não formam um base do R. e) Os vetores (,, ) e ( 0,, ) são linearmente independentes, porem não formam uma base do R pois R tem dimensão. Resolução do Exercício : ( ) a) A matriz tendo determinante diferente de 0, os vetores v, v são linearmente independentes. O espaço R tendo dimensão, segue que v, v } é uma base do R. b) Três vetores num espaço de dimensão não podem ser linearmente independentes.

4 c) O espaço Cob(x, x, x ) tem dimensão. Pode ser justificado de maneira rigorosa assim: temos Cob(x, x, x ) R dim Cob(x, x, x ), Cob(x, x, x ) contem dois vetores L.I. dim Cob(x, x, x ). Portanto dim Cob(x, x, x ) =. Resolução do Exercício : Preimeiro apresentamos uma maneira ingénua de resolver. Os vetores x := (,, ) e x := (,, ) não são linearmente independentes pois satisfazem a relação não trivial x + x = 0 R. Segue que: Cobx, x, x } = Cobx, x }. É fácil ver que x e x := ( 6,, 8 ) são linearmente independentes pois não são colineares, logo dim Cobx, x, x } = dim Cobx, x } =. Observação. A dimensão de um espaço E gerado por k vetores não pode superar k (dim E k). Se ele contem k vetores linearmente independentes, então ele tem dimensão k (dim E = k). Resolução alternativa do exercício : Pode-se argumentar de maneira mais conceptual assim. Notemos A a matriz cujas colunas são os vetores x, x, x : 6 A :=. 8 Lembremos que por definição: Im A = Cobx, x, x }, ker A = y R A y = 0 R }. Resolvendo o seguinte sistema: obtemos facilmente que: y y 6y = 0 y + y y = 0 y y 8y = 0. ker A = (y, y, y ) R (y, y, y ) = α(,, 0) onde α R}. = Cob(,, 0)}. Em particular, segue que dim ker A =. Aplicando o Teorema do posto, que diz que: obtemos que dim(ima) =. Resolução do Exercício 5: Sejam x := dim(ker A) + dim(ima) = dim R,, x :=, x := 6 R.

5 a) A matrix 6 tendo determinante igual a 0, os vetores x := (,, ), x := (,, ) e x := (, 6, ) são linearmente dependentes. b) Sejam λ, λ R escalares tais que λ x + λ x = 0 R. Então, temos: λ + λ = 0 λ x + λ x = 0 R λ λ = 0 λ = λ = 0, λ + 6λ = 0 logo x, x são linearmente independentes. c) Os vetores x, x, x sendo linearmente dependentes, temos dim Cob(x, x, x ) <, este espaço contendo dois vetores linearmente independentes x, x, ele tem necessariamente dimensão. d) O espaço Cob(x, x, x ) é o plano gerado por x, x (ou seja o plano que passa pelos três pontos x, x e 0 R em R ). Resolução do Exercício 6: a) Os vetores em R dados por v := (, 0, 0 ), v := ( 0,, ) e v := (, 0, ) sendo linearmente independentes no espaço de dimensão três R, eles formam uma base dele. b) Os vetores em R dados por v := (, 0, 0 ), v := ( 0,, ), v := (, 0, ) e v := (,, ) não são linearmente independentes, mais qualquer um dos seguintes subconjuntos de três vetores são linearmente independentes, logo formam uma base de R : v, v, v }, v, v, v }, v, v, v }, v, v, v }. c) Os vetores (,, ), (,, ) e (,, 0 ) formam uma base do R pois são vetores linearmente independentes. d) Os vetores v := (,, ), v := (,, ) e v := (,, ) não são linearmente independentes. mais qualquer um dos seguintes subconjuntos de dois vetores são linearmente independentes, logo formam uma base de Cobv, v, v }: O subespaço Cobv, v, v } tem dimensão. v, v } v, v } v, v }. e) Os vetores (,, ) e ( 0,, ) são linearmente independentes logo formam uma base de Cobv, v }, que tem dimensão. 5

6 Resolução do Exercício 7: Observação. Primeiro, lembremos o seguinte resultado. Consideremos A M m,n (R) e b R m fixados. Notemos () o sistema de equações lineares correspondente e () o sistema homogêneo associado: A x = b, () A x = 0 R m () Notemos também S e S 0 os conjuntos solução respetivos. Observa que por definição: S 0 = N(A). Vimos que se o sistema () é consistente (S ) então o conjunto solução é sempre da forma: S = x part + S 0 onde x part S R n denota uma solução particular qualquer de (). Muitas vezes, este resultado se usa para calcular S: encontrando primeiro uma solução particular, e depois calculando S 0. Porem, pode ser usado para encontrar S 0 jà que S é conhecido (caso não é vazio) sem ter que resolver (). a) Vimos no exercício -a) da Folha que o sistema: x x = x x = 9. tem uma solução única: S = (5, )} R, logo N(A) = S 0 = 0}. É o subespaço trivial, ele tem dimensão zero e não admite nenhuma base. Aplicando o Teorema do posto: dim(ker A) + dim(ima) = dim R, conclua-se que o subespaço imagem ImA R tem dimensão. Segue que ImA = R b) Vimos no exercício -b) da Folha que o sistema x x = 5 x + 6x = 8. é inconsistente, logo não podemos deduzir S 0, e temos que resolver o sistema homogêneo: x x = 0 Obtemos o seguinte resultado: x + 6x = 0. S 0 = N(A) = (x, x ) R (x, x ) = (α, α) onde α R}. De maneira equivalente, tem-se que N(A) = Cob(, )}. Logo N(A) admite (, )} como base, e tem dimensão. Aplicando o Teorema do posto: dim ker A + dim ImimA = dim R, conclua-se que o subespaço imagem ImA R tem dimensão. Segue que Segue que ImA = Cob(, )} 6

7 c) Vimos no exercício -c) da Folha que o sistema x + x = 0 x + x = 0 x x = 0. tem uma solução única S 0 = (0, 0)}. Logo N(A) tem dimensão zero e não admite nenhuma base. Aplicando o Teorema do posto: dim(ker A) + dim(ima) = dim R, conclua-se que o subespaço imagem de A ima R tem dimensão. Segue que ImA = R d) Vimos no exercício -e) da Folha que o sistema x + x + x = x + x + x = x + x + x =. tem conjunto solução uma reta em R : S = (x, x, x ) R (x, x, x ) = (8 α/7, 5 + α, α) onde α R }. Aqui, x part = (8, 5, 0) é solução particular e o sistema homogêneo tem conjunto solução: S 0 = (x, x, x ) R (x, x, x ) = ( α/7, α, α) onde α R }. = Cob ( /7,, )} Logo N(A) tem base ( /7,, )} (ou (, 7, 7)} também...) e tem dimensão. Aplicando o Teorema do posto: dim(ker A) + dim(ima) = dim R, conclua-se que o subespaço imagem ImA R tem dimensão. Os vetores (,, ) e (,, ) sendo claramente linearmente independente, eles formam uma base de Im A, e Im A = Cob (,, ), (,, )}. e) Vimos no exercício -d) da Folha que o sistema x + x + x = 5 tem conjunto solução: x + x =. S = (x, x, x, x ) R (x, x, x, x ) = (5 α β, α, β, β) onde α, β R }. Aqui, x part = (5, 0,, 0) é solução particular e o sistema homogêneo tem conjunto solução: S 0 = (x, x, x, x ) R (x, x, x, x ) = ( α β, α, β, β) onde α, β R } = Cob(,, 0, 0), (, 0,, )} Os vetores (,, 0, 0) e (, 0,, ) sendo linearmente independentes, N(A) admite o conjunto (,, 0, 0), (, 0,, )} como base, e tem dimensão. Aplicando o Teorema do posto: dim(ker A) + dim(ima) = dim R, conclua-se que o subespaço imagem ImA R tem dimensão. Segue que Im A = R. Os vetores (, 0, 0, 0) e (,, 0, 0) sendo linearmente independentes, eles formam um base de ImA. 7

8 f) Vimos no exercício -e) da Folha que o sistema x + 5x x + x = tem conjunto solução: x = 6. S = (x, x, x, x ) R (x, x, x, x ) = ( 5α + β, α, β, 6) onde α, β R }. Aqui, x part = (, 0, 0, 6) é solução particular e o sistema homogêneo tem conjunto solução: S 0 = (x, x, x, x ) R (x, x, x, x ) = ( 5α + β, α, β, 0) onde α, β R } = Cob( 5,, 0, 0), (, 0,, 0)}. Os vetores ( 5,, 0, 0) e (, 0,, 0) sendo linearmente independentes, conclua-se que N(A) admite o conjunto ( 5,, 0, 0), (, 0,, 0)} como base e tem dimensão. Aplicando o Teorema do posto: dim(ker A) + dim(ima) = dim R, conclua-se que o subespaço imagem ImA R tem dimensão. Resolução do Exercício 8: Notemos v, v, v os seguintes vetores em R : Observe que pelas definições, temos: v = (,, 0, 0 ), v = (,,, 0 ), v = ( 0, 0, 0, ). S = (y, y, y, y ) R (y, y, y, y ) = (a + b, a b + c, b, c) onde a, b, c R} = y R y = av + bv + cv, onde a, b, c R} = Cobv, v, v }. Falta mostrar que v, v, v são linearmente independentes. Sejam a, b R escalares tais que av + bv + cv = 0 R. Resolvendo o sistema: a + b = 0 a b + c = 0 b = 0 c = 0. obtemos facilmente que a = b = c = 0. Segue que v, v, v são linearmente independentes, portanto eles formam uma base de Cobv, v, v }. 8

9 Resolução do Exercício 9: Notemos v, v os seguintes vetores em P : Observe que pelas definições, temos: v := x +, v := x +, S = p P p(x) = ax + bx + a + b onde a, b R} = p P p = av + bv onde a, b R} = Cobv, v }. Falta mostrar que v, v são linearmente independentes: sejam a, b, c R escalares tais que av +bv = 0 P, então calculemos que temos: av + bv = 0 P ax + bx + a + b = 0 a = 0 b = 0 a + b = 0. a = 0 Segue que v, v são linearmente independentes, portanto eles formam uma base de Cobv, v }. b = 0. Resolução do Exercício 0: ( ) ( ) 0 0 a) Vimos que os vetores v := e v := são linearmente independentes, logo eles 0 0 formam um base do subespaço Cobv, v }. Segue que ele tem dimensão. ( ) ( ) ( ) b) Os vetores v :=, v := e v 0 0 := são linearmente independentes, logo 0 formam uma base de Cobv, v, v }, que tem dimensão. ( ) ( ) ( ) 0 0 c) Os vetores v :=, v 0 := e v 0 0 := não são linearmente independentes 0 porem, é fácil ver que v, v o são. Eles formam uma base de Cobv, v, v } = Cobv, v } que tem dimensão. Resolução do Exercício : a) É fácil ver que os vetores x, x, x + são linearmente independentes logo Cobx, x, x +} = P, de dimensão. b) Os vetores x, x, x +, x não podem ser linearmente independentes pois P tem dimensão, é fácil ver que eles geram P, pois este espaço tem dimensão. c) Os vetores x, x x e x + não são linearmente independentes pois satisfazem a relação não trivial: x (x x ) (x + ) = 0 P. Os vetores x, x x são linearmente independentes logo x, x x e x + geram um subespaço de dimensão em P. 9

10 d) Os vetores x, x são claramente linearmente independentes, logo eles geram um subespaço de dimensão em P. Resolução do Exercício : a) Um polinomio em P pertence em S se e somente se ele admite 0 por raiz. Portanto: S = p P p(x) = x(ax + b) onde a, b R}, = p P p(x) = ax + bx onde a, b R}, = Cobx, x } Os polinomios x e x sendo linearmente independentes, eles formam um base de S, em particular S tem dimensão. b) Um polinomio em P pertence em T se e somente se ele admite 0 por raiz. Portanto: T = p P p(x) = (x )(ax + b) onde a, b R}, = p P p(x) = ax + (b a)x b onde a, b R}, = p P p(x) = a(x ) + b(x ) onde a, b R}, = Cobx, x } Os polinomios x e x sendo linearmente independentes, eles formam um base de T, em particular T tem dimensão. c) Um polinomio em P pertence em T s T se e somente se ele admite 0 e por raiz. Portanto: S T = p P p(x) = ax(x ) onde a R}, = Cobx(x )} Portanto x(x )} forma um base de S T, em particular S T tem dimensão. Referências [] Steven J. Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8 a edição, LTC 0. 0