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1 ESPAÇO VETORIAL Def. 1: Seja a quádrupla (V, K, +, ) onde V é um conjunto, K = IR ou K = IC, + é a operação (função) soma + : V V V, que a cada par (u, v) V V, associa um único elemento de V, denotado por u + v, e é a operação multiplicação por escalar : K V V, que a cada par (α, v) K V associa um único elemento de V, denotado por α v, denominado multiplo escalar de v por α. Dizemos que a quádrupla (V, K, +, ) é um espaço vetorial, sobre K, se estão satisfeitas as seguintes propriedades: A1. (u + v) + w = u + (v + w), para todo u, v, w em V. A2. u + v = v + u, para todo u, v em V. A3. Existe um elemento O V tal que u + O = u, para todo u em V. A4. Para cada u V, existe um elemento v V tal que u + v = O. ME1. α (u + v) = α u + α v, para todo α K e todo u, v em V. ME2. (α + β) u = α u + β u, para todo α, β em K e todo u em V. ME3. (αβ) u = α (β u), para todo α, β em K e todo u em V. ME4. 1 u = u, para todo u em V. Observações: i. os elementos de V nas condições da def. 1 são chamados de vetores. ii. O elemento O, em A3, é chamado de vetor nulo de V e prova-se que ele é o único com tal propriedade (isto é, se existir um Õ em V tal que u + Õ = u, para todo u em V, então O = Õ. iii. O elemento v em A4 é chamado de oposto de u e, por isso, será denotado por u. Além disso, prova-se que ele é o único que satisfaz tal propriedade (isto é, se para cada u, existir um ṽ tal que u + ṽ = O, então v = ṽ. 1

2 Propriedades Operacionais em espaçõs vetoriais: Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial sobre K. Então. EV1. Se u + v = u + w, com u, v em V, então v = w. EV2. 0 u = O, para todo u em V. EV3. α O = O, para todo α em K. EV4. Sejam α em K e u em V. Se α u = O, então α = 0 ou u = O. EV5. para cada u em V, o oposto u = ( 1) u. Construindo Espaços Vetoriais I. Subespaços Def. 2: Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial. Dizemos que um subconjunto S V é um subespaço de V (sobre K), se estiverem satisfeitas as seguintes condições: S1. O S; S2. Para todo s 1 e s 2 em S, a soma s 1 + s 2, em V, está em S (ou seja S é fechado pela soma); S3. Para todo α K e todo s S, a multiplicação escalar, em V, α s está em S (ou seja, S é fechado para a multiplicação escalar). Observação: A propriedade S2 significa que é possivel definir a operação soma em S e a S3 que a multiplicação por escalar está definida em S. O que resulta na proposição abaixo. Proposição 1: Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial sobre K. Se S V é um subespaço de V, então (S, K, +, ) é um espaço vetorial sobre K. 2

3 II. Subespaços gerados e geradores Def 3. Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial e um subconjunto A = {v 1, v 2,, v r }, com r 1, de V. Consideremos o subconjunto de V, ger(a) =ger(v 1, v 2,, v r ) := { r α j v j : α j K, j = 1, 2,, r }. (isto é, ger(a) é o conjunto de todas as j=1 combinações lineares, com escalares, em K, dos vetores de A. Def 4. Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial e um subconjunto A um subconjunto infinito de V. Consideremos o subconjunto de V, denotado por ger(a), dado por gera := {v V : v é combin. linear de elementos de algum subconjunto finito de A}. Proposição 2. Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial e A um subconjunto qualquer de V. O subconjunto ger(a) de V é um subespaço vetorial de V. O subespaço ger(a) é denominado subespaço de V, gerado pelo (conjunto) A. Observação: Se A =, colocamos ger( ) := {O}. Lembrar que ger(o) = { O }. Propriedades de geradores: Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial e A e B subconjuntos de V. Ge1. A ger(a). Ge2. Se A B, então ger(a) ger(b). Ge3. Se v V, com v ger(a), então ger(a {v}) = ger(a). Ge4. ger(a) = ger(b) se, e somente se, A ger(b) e B ger(a). Observação: a. Muitas vezes usaremos Ge3 na seguinte forma: Ge3. Se A = {v 1, v 2,, v r, v}, onde v é uma combinação linear dos vetores v j, j = 1, 2,, r, então ger(a {v}) = ger(v 1, v 2,, v r ) = ger(a). b. Um mesmo subespaço pode admitir sistemas de geradores distintos. Def 5. Seja S um subespaço de espaço vetorial (V, K, +, ). Dizemos que S é um (sub)espaço finitamente gerado (f.g.), sobre K, se e somente se existem v 1, v 2,, v r em S tais que S = ger(v 1, v 2,, v r ). 3

4 III. Sobre Dependência/ Independência linear de vetores Def 6. Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial e A = {v 1, v 2,, v r }, com r 1, um subconj. de V. a. Dizemos que A é um conjunto de vetores linearmente independente (LI), sobre K, se, e somente se, a equação vetorial α 1 v 1 + α 2 v α r v r = O, com α j K, j = 1, 2,, r, tem uma única solução, a trivial (isto é,, α j = 0, para todo j = 1, 2,, r) b. Dizemos que A é um conjunto linearmente dependente (LD), sobre K, se, e somente se, A não é LI; ou seja, existem escalares α 1, α 2,, α r, em K, nem todos nulos, tais que α 1 v 1 + α 2 v α r v r = O. Observação: O conjunto A = é, por convenção, LI. Def 7. Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial e A um suconjunto infinito de V. a. Dizemos que A é um conjunto de vetores linearmente independente (LI), sobre K, se, e somente se, cada subconjunto finito de A é LI (no sentido da Def 6). b. Dizemos que o conjunto A é um conjunto linearmente dependente (LD), sobre K, se A não é LI; ou seja, se, e somente se, existe um suconjunto finito de A que seja LD. Propriedades de LI e LD X geradores: Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial e A e B subconjuntos de V. D1. Se O A, então A é LD. D2. Se A = {v}, v O, então A é LI. D3. Se A B e A é LD, então B é LD. D4. Se A B e B é LI, então A é LI. D5. Se A é LI e v V for tal que o subconjunto A {v} seja LD, então v ger(a). D6. Se A (não unitário) é LD, então existe v A, tal que v ger(a {v}) (isto é, v é uma combinação linear de uns outros elementos de A) D7. Se A é LI e v V for tal que v / ger(a), então A {v} é um subconjunto LI. D8. Se A = {v 1, v 2,, v r } (r 1) é LI e α j, β j, j = 1, 2,, r, são escalares em K tais que r α j v j = r β j v j, então α j = β j, para cada j = 1, 2,, r. j=1 j=1 Observação: A noção de sistema de geradores e de dependência linear dependem do corpo de escalares. 4

5 IV. Geradores X LI, Bases Def 8. Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial. Um subconjunto de B de V é uma base de V (sobre K) se, e somente, valem as condições: Ba1. B gera V, sobre K. ( isto é, V ger(b) ) Ba2. B é um subconjunto LI (sobre K). Def 9. Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial. Dizemos que V é um espaço vetorial de dimensão finita se V admite uma base finita. E diremos que V é um espaço vetorial de dimensão infinita se V admite uma base infinita. Existência de base D: Teorema: Todo espaço vetorial admite uma base. Proposição: Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial. Suponhamos que V admita um sistema de geradores com n vetores (n 0). Então, um subconjunto (finito) qualquer de V com m elementos tal que m > n é LD. Corolário: Seja (V, K, +, ) é um espaço vetorial. Se V contém um subconjunto finito e LI com n elementos, então V não pode ser gerado por um conjunto finito com menos de n vetores. Corolário: Se (V, K, +, ) é um espaço vetorial finitamente gerado, então qualquer subconjunto LI de V é finito. Proposição: Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial. Suponhamos que V admite uma sistema de geradores finito A. Então V admite uma base (finita) B A. Teorema: Seja (V, K, +, ) um espaço que admite uma base finita B. Então qualquer outra base de V é finita e tem o mesmo número de elementos de B. Def 10. Seja (V, K, +, ) é um espaço vetorial que admite uma base finita. Podemos definir dim K V := o número de vetores de uma base qualquer de V. Mais sobre bases e bases de subespaços Teorema: (completamento de base) Seja (V, K+, ) um espaço vetorial de dimensão finita n. Qualquer subconjunto LI de V pode ser completado a uma base de V. 5

6 Proposição: Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial de dimensão finita n. Qualquer subconjunto LI de V com n vetores é uma base (sobre K) de V. Proposição: Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial de dimensão finita e W um subespaço de V. a. Se dim K W = dim K V, então W = V. b. O subespaço W é de dimensão finita e dim K W dim K V. 6

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