Resoluções A. Combinatória 1 3 os anos Blaidi/Walter Ago/09. Nome: Nº: Turma:

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1 Matemática Resoluções A. Combinatória 3 os anos Blaidi/Walter Ago/09 Nome: Nº: Turma: Prezadísssimos alunos e alunas, Neste bimestre, aprenderemos a resolver questões de análise combinatória com o auílio de epressões. Geralmente o uso das relações a seguir possibilita resolver problemas mais rapidamente. Os GRUPOS serão chamados de COMBINAÇÕES, obtidos por meio da epressão: C n, p n p( n p) As FILAS serão chamadas de ARRANJOS, obtidas por meio da epressão: A n, p n ( n p) Eemplos: 8. Resolução: Devemos escolher 5 dos 9 produtos restantes para montar a cesta básica. Como não importa a ordem dos produtos, então se trata de um grupo ou combinação. Assim, podemos utilizar a relação para o cálculo do número de combinações da seguinte forma: C 9,5 6 maneiras 5(9 5)

2 3. Resolução: Teremos de escolher moça entre as 7 (C 7, ), e formar comissões (ou seja, grupos) com 3 rapazes entre os 0 (C 0,3 ), logo, C 7,. C0, comissões (7 ) 3(0 3) Resolução: Podemos separar os tipos de números pares em dois casos: Números que terminam com zero: Números que terminam com ou com 4: 4 4 A4,3 4 números (4 3) 3 3 = 36 números Portanto, o total de números é = 60 números. 0. Resolução: Nesta questão, teremos de somar os resultados de duas etapas em que a segunda se realiza apenas após uma única digitação correta na ª etapa. Como a ordem importa, trata-se de um caso de fila ou arranjo e podemos calcular da seguinte forma: A 0,3 A 6, (0 3) (6 ) tentativas Alternativa E

3 Agora, veja as resoluções das outras questões. Boa correção.. Resolução: Pelo Princípio Fundamental da Contagem, teremos,. Resolução: O º número da senha é o número 8 ( número). O º número da senha tem de ser par, sem o zero (4 números). O 3º número da senha é menor que 5 (4 números). O 4º número da senha é ímpar (5 números) Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, teremos, = 80 Alternativa E 4. Resolução: O º número não pode ser o zero (9 possibilidades). O º número deve ser diferente do º (9 possibilidades). E assim por diante. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, teremos: = 9 5 possibilidades Alternativa E 6. Resolução: Neste problema, a ordem das visitas do fiscal às empresas importa; logo, trata-se de um problema envolvendo FILAS ou ARRANJOS. 5 0 Alternativa B 3

4 7. Resolução: Na palavra PROVA eistem vogais e 3 consoantes e não há letras repetidas; logo: Palavras que começam por vogal: 4 3 = 48 Palavras que começam e terminam por consoante: 3 3 = 36 Portanto, = 48 e y = Resolução: 4 = 48 possibilidades Alternativa E. Resolução: Como todos os valores devem constar na troca, o número máimo de cédulas de R$ 50,00 é igual a 3. Devemos, desse modo, analisar o número de maneiras de receber os R$ 50,00 restantes em notas de R$ 5,00 e de R$ 0,00. Temos as seguintes possibilidades: ª) 4 de R$ 0,00 e de R$ 5,00, num total de = 9 cédulas ª) 3 de R$ 0,00 e 4 de R$ 5,00, num total de = 0 cédulas 3ª) de R$ 0,00 e 6 de R$ 5,00, num total de = cédulas 4ª) de R$ 0,00 e 8 de R$ 5,00, num total de = cédulas Portanto, o número mínimo de cédulas é 9. Alternativa B. Resolução: Podemos ter as seguintes possibilidades: ª) par, par, ímpar, ímpar: = 40 números ª) par, ímpar, par, ímpar: = 40 números 3ª) par, ímpar, ímpar, par: = 40 números 4

5 4ª) ímpar, par, ímpar, par: = 40 números 5ª) ímpar, ímpar, par, par: = 40 números 6ª) ímpar, par, par, ímpar: = 40 números Portanto, o total é 40 6 = 440 números. 4. Resolução: A ordem do sorteio não importa, logo, os prêmios poderão ser sorteados para os 8 homens e as 7 mulheres de duas maneiras: homens e mulher 8 7 C8,. C7, maneiras.6.6 mulheres e homem 7 8 C7,. C8, maneiras.5.7 Portanto, o total é = 0449 maneiras 5. Resolução: Sequências com eatamente 3 zeros em posições consecutivas: 000, 000, 000, 0000, 0000 Sequências com eatamente 4 zeros em posições consecutivas: 0000, 0000 Sequências com 5 zeros: Portanto, o total é = 8 sequências. 5

6 6. Resolução: Considere que o bloco de 3 filmes de ficção científica é apenas filme; logo, os 7 filmes escolhidos passam a ser 5, o número de maneiras distintas de eibir estes 5 filmes é 5 = 0. Porém, os 3 filmes do bloco podem ser permutados entre si, num total de 3 = 6. Portanto, o número total é 0 6 = Resolução: Considere que amigos e poltronas formem um bloco de amigo e poltrona; logo, o grupo se reduz a 3 amigos e 3 poltronas, o número de maneiras distintas de os 3 amigos ocuparem essas 3 poltronas é 3 = 6. Porém, os amigos do bloco podem ser permutados entre si, num total de =. Portanto, o número total é 6 =. 8. Resolução: A conhecida fórmula do número de diagonais de um polígono deduzida. n( n 3) d pode ser assim O número de segmentos que podem ser construídos com etremidade em dos n vértices de um polígono é Desses n.( n ) C n, n n.( n ).( n ) n.( n ) ( n ) ( n ) segmentos, n deles representam os lados do polígono. Desse modo, o número de diagonais (d) é dado por: n.( n ) n d n n n n 3n n( n 3) d n( n 3) Assim, se d = 90, teremos, n 3n n 3n 80 0 n ( não convém) ou n 5 6

7 9. Resolução: Pelo Princípio Fundamental da Contagem: = 6 3 = 6.. Resolução: C5,3. C4,. C3, (5 3) (4 ) (3 ) 3... provas. Resolução: Observe que a palavra AMIGA possui duas letras A ; portanto, deveremos descontar esta repetição. 5 Total de anagramas da palavra AMIGA: 60 Anagramas da palavra AMIGA, nas quais aparece o bloco AA: 4 = 4 Total de anagramas da palavra AMIGA nas quais não aparece o grupo AA é 60 4 = Resolução: = (.0). (.9). (.8)..... (.). (.) = Resolução: C4, 6. C4, 6. C4,3 6. C4, (4 ) (4 ) 3(4 3) 4(4 4) opções Alternativa E 5. Resolução: 7

8 C C C C C opções 5, 5, 5,3 5,4 5,5 6. Resolução: A C n n,4 n, n ( n 4) ( n ) ( n ).( n 3).( n 4) ( n ).( n 3) 4 n ( n 4) ( n 4) ( n ) 5n 6 n 5n 6 0 n ( não convém) ou n 6 7. Resolução: As mães e seus respectivos filhos poderão sentar-se da seguinte maneira: Logo, o número de maneiras distintas é 3 = 6; porém, mãe e filho podem ser permutados entre si, num total de = 3 = 8. Portanto, o total é 6 8 = 48 maneiras. Alternativa E 8. Resolução: = 4 79 = 96 formas 8

9 9. Resolução: Anagramas que começam por E: 5 = 0 Anagramas que começam por F: 5 = 0 Até aqui já eistem 40 anagramas, verificaremos agora quantos anagramas começam por SE. Anagramas que começam por SE: 4 = 4. Isto significa que da 4ª posição até a 64ª posição, os anagramas começam com SE. 30. Resolução: Para uma das partes, o número de maneiras de selecionar os dois ases é C 4, = 6, e o número de maneiras de selecionar as outras quatro cartas é C 8,4 = 70, totalizando 6 70 = 40 possibilidades. Feita essa primeira partição, os elementos da segunda partição ficam determinados de maneira única. Logo, 40 = 40 possibilidades. 3. Resolução: C 7,3 - C 4,3 = 35 4 = 3 triângulos 3. Resolução: Total de anagramas da palavra VESTIBULANDO: Considere que o bloco de 5 vogais da palavra VESTIBULANDO forme apenas letra; logo, as letras da palavra passam a ser 8, o número de anagramas que podemos formar com 8 letras, sem repetições, é 8. Porém, as 5 vogais do bloco podem ser permutadas entre si, num total de 5. Portanto, o número total anagramas que não apresentam as cinco vogais juntas é Resolução: Palavras com letra: ( ou ) Palavras com letras: = = 4 9

10 Palavras com 3 letras: = 3 = 8 Palavras com 4 letras: = 4 = 6 Palavras com 5 letras: = 5 = 3 Portanto, o total de palavras é = Resolução: Fazendo C, = 66, estamos contando todas as possíveis maneiras de escolher dois pontos quaisquer para formar uma reta. Precisamos descontar as combinações dos pontos pertencentes à reta (r) que contém os 7 pontos alinhados, pois eles determinam sempre a mesma reta (r). Teremos C 7, = possibilidades. Não podemos, porém, esquecer de contar uma vez a reta (r). Portanto, teremos 66 + = 46 retas. 35. Resolução: Os dois estudantes menores que o estudante identificado por h 7 podem ser escolhidos de C 6, = 5 maneiras. Os dois estudantes maiores que o estudante identificado por h 7 podem ser escolhidos de C 3, = 3 maneiras. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, teremos 5 3 = 45 possibilidades. 36. Resolução: C 8,3 C 5,5 = 56 = 56, porém a sala com 3 pessoas pode ser qualquer uma das duas salas, logo: 56 = formas. 37. Resolução: Para pintar a ª face do cubo, teremos 6 possibilidades de cores e a face oposta à ª tem possibilidade. A próima face tem 5 possibilidades e a face oposta a ela, possibilidade. A penúltima face tem 4 possibilidades e a última e oposta e essa tem possibilidade, logo, = = 0 modos. 0

11 38. Resolução: Devemos escolher, efetivamente, 3 membros do 9 restantes para formar a comissão, visto que, 3 membros (Júnior, Daniela e Maria Eduarda) já estão presentes, logo: C 9,3 = 84 comissões. Alternativa B 39. Resolução: C6, C6, C6,3 C6,4 C6,5 C6, mod os 40. Resolução: ª parte: O candidato X responder e Y comentar é diferente de Y responder e X comentar. Assim, cada escolha do jornalista é um arranjo dos 5 candidatos tomados a, A 5, = 0 perguntas. ª parte: Seguindo o mesmo raciocínio, um determinado candidato deverá escolher, ordenadamente, dois dos quatro candidatos concorrentes, A 4, =. Como há 5 candidatos, teremos 5 = 60 perguntas. Reunindo as duas partes do debate, temos, ao todo, = 80 perguntas. Resoluções das questões que serão discutidas em aula. 5. Resolução: ( n ) ( n ) n 8 ( n ) ( n ). n.( n ) n.( n ) 8 ( n ). n n 8 8 n n n n 8 n 9 n 9 ( não convém) ou n 9

12 3. Resolução: P = n ) ( 0 ) ( ) ).(.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,, ou não convém P C A Bons estudos G:\Editoração\Ped009\Matemática\EM\Resoluções Análise Combinatória 0-3C.doc