C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 3

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1 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e RAIOÍNIO LÓGIO AULA RAIOÍNIO LÓGIO QUANTITATIVO ANÁLISE OMBINATÓRIA DEFINIAO: Analise ombinatória é a parte da Matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento (evento) sem, necessariamente, descrever todas as possibilidades. - FATORIAL Seja um número n n! = n (n-) (n-) (n-).... 0!= DEFINIÇÕES ESPEIAIS:!= Exemplos:, n>, define-se fatorial de n, e indica-se n! (lê-se: n fatorial ou fatorial de n), a expressão:! =.. = 6 7! = = 500 0! = = Vejamos alguns exemplos de aplicação do fatorial. º exemplo: 7! alcular!+! 7! ! ! Re solução : = = = = 7.6. = 68!+!.! +!!( + ) 5 IETAV System - G: / Fone/Fax: () Suporte online: IQ

2 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e º exemplo: n! Simplifique a exp ressão : ( n )! n! n.( n )! Re solução : = = n ( n )! ( n )! º exemplo: Re solva a equação : x! = 5(x-)! Resolução:x.(x-)! = 5(x-)! [ : (x-)!] x = 5 Resposta: x = 5 PRINÍPIO FUNDAMENTAL DA ONTAGEM (PF) Resolveremos um problema, descrevendo todos os resultados possíveis de um acontecimento. Quatro carros (,, e ) disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares? IETAV System - G: / Fone/Fax: () Suporte online: IQ

3 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e IETAV System - G: / Fone/Fax: () DEMONSTRAÇÃO º lugar = possibilidade º lugar = possibilidades Total de possibilidades.. = º lugar = possibilida d Podemos observar que: o número de possibilidades para o º lugar é. o número de possibilidades para o º lugar é. o número de possibilidades para o º lugar é... = o número total de possibilidades é: Suporte online: IQ

4 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e O dispositivo desenvolvido no exemplo é chamado árvore das possibilidades e facilita a resolução dos problemas de contagem. A partir do exemplo podemos enunciar o princípio fundamental da contagem, que nos mostra um método algébrico para determinar o número possibilidades de ocorrer um evento, sem precisarmos descrever todas essas possibilidades. Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que: p e o número de possibilidades da ª etapa p e o número de possibilidades da ª etapa... p n o número de possibilidades da n-ésima etapa, então: p... p p n e o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer. EXERIIOS RESOLVIDOS - O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se letras do alfabeto e algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ. omo o alfabeto possui 6 letras e nosso sistema numérico possui 0 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a ª posição, temos 6 alternativas, e como pode haver repetição, para a ª, e ª também teremos 6 alternativas. om relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 0 alternativas para cada um dos lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: que resulta em Observe que se no país existissem veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. - Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto? Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente. Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da ontagem - PF: N =... = 6 IETAV System - G: / Fone/Fax: () Suporte online: IQ

5 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 6 - = 6. Resposta: o salão pode estar aberto de 6 modos possíveis. EXERIIOS DE FIXAAO - Num hospital, existem portas de entrada que dão para um amplo saguão no qual existem 5 elevadores. Um visitante deve se se dirigir ao 6º andar utilizando-se de um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo? R. 5 - Uma companhia de móveis tem dez desenhos para mesas e quatro desenhos paro cadeiras. Quantos pares de desenhos de mesa e cadeira pode a companhia formar? R. 0 - Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos,,, e 5? R Um restaurante oferece no cardápio saladas distintas, tipos de pratos de carne 5 variedades de bebidas e sobremesas diferentes Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido? R Quatro times de futebol FLUMINENSE, VASO, ORINTHIANS E SÃO PAULO disputam um torneio. Quantas são as possibilidades de classificação para os três primeiros lugares? R. 6 - Numa eleição de uma escola há três candidatos a presidente, cinco a vice-presidente, seis a secretário e sete a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleição? R. 60 IETAV System - G: / Fone/Fax: () Suporte online: IQ

6 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e ARRANJO SIMPLES Arranjo simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Exemplo: Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos,, e 5? o o algarismo algarismo numeros formados possibilidades possibilidades numeros Resposta: números. Observe no exemplo dado que os grupos (números ou elementos) obtidos diferem entre si: Obs.: - pela ordem dos elementos ( e, por exemplo): - pelos elementos componentes (natureza): ( e 5, por exemplo). Os grupos assim obtidos são denominados arranjos simples dos elementos tomados IETAV System - G: / Fone/Fax: () Suporte online: IQ

7 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e a, e são indicados por: A, (le-se: arranjo simples de quatro elementos tomados dois a dois) DEFINIÇÃO Arranjo simples de n elementos tomados p a p são todos os agrupamentos sem repetição que é is possível formar com p ( n p) elementos diferentes escolhidos entre os n elementos de um o dado: Indica se por : Anp,. FÓRMULA DE ARRANJO SIMPLES A np, = n! ( n p)! EXERÍIOS RESOLVIDOS alcule: a) A5, 5! 5! 5..! Resolução: A 5, = = = = 5. = 0 (5 )!!! b) A A A 5,, + A, 6, = Resolucao: 5..!..! (5 )! ( )! = = =.! 6.5.! ( )! (6 )! IETAV System - G: / Fone/Fax: () Suporte online: IQ

8 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e - Numa reunião de sete pessoas há nove cadeiras. De quantos modos se podem sentar as pessoas? Trata-se de um problema de arranjos simples, cuja solução é encontrada calculando-se: A 9,7 = = 8.0 Nota: observe que A n,k contém k fatores decrescentes a partir de n. Exemplo: A 0, = 0.9 = 90, A 9, = = 50, etc. Poderíamos também resolver aplicando a regra do produto, com o seguinte raciocínio: a primeira pessoa tinha 9 opções para sentar-se, a segunda, 8, a terceira,7, a quarta,6, a quinta,5, a sexta, e finalmente a sétima,. Logo, o número total de possibilidades será igual a = 8.0 PERMUTAAO SIMPLES Permutação simples é o tipo de agrupamento ordenado, sem repetição, em que entram todos os elementos em cada grupo. Exemplo: Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos. e 5? o o o algarismo algarismo algarismo numeros formados possibilidades possibilidades possibilidade 6 numeros Resposta: Podem ser formados seis números de três algarismos distintos. IETAV System - G: / Fone/Fax: () Suporte online: IQ

9 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e FÓRMULA DAS PERMUTAÕES SIMPLES P = n( n ).( n )... = n! n Obs.: As permutações simples e um caso de arranjo simples com n =p. Exemplo: A,!! = = =! =... = ( )! 0! P =... =. - PERMUTAÇÕES OM ELEMENTOS REPETIDOS Se entre os n elementos de um conjunto, existem x elementos repetidos, y elementos repetidos, z elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por: P ( xyz,,,...) n! n = x! y! z!... Exemplo: Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTIA. Temos 0 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n = 0, x =, y = e z =. Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 0! / (!.!.!) = 500 Resp: 500 anagramas. IETAV System - G: / Fone/Fax: () Suporte online: IQ

10 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e EXERIIOS RESOLVIDOS - Ordenando de modo crescente as permutações dos algarismos, 5, 6, 7 e 8, qual o lugar que ocupará a permutação 6875? O número 6875 será precedido pelos números das formas: a) xxxx, 5xxxx que dão um total de! +! = 8 permutações b) 6xxx, 65xxx, 67xxx que dão um total de.! = 8 permutações c) 685x que dá um total de! = permutação. Logo o número 6875 será precedido por 8+8+ = 67 números. Logo, sua posição será a de número Quantos são os anagramas da palavra UNIVERSAL que começam por consoante e terminam por vogal? Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.. A palavra dada possui 5 consoantes e vogais. olocando uma das consoantes, por exemplo, N, no início da palavra, podemos dispor em correspondência, cada uma das vogais no final. Eis o esquema correspondente: (N...U) (N...I) (N...E) (N...A) Podemos fazer o mesmo raciocínio para as demais consoantes. Resultam 5.=0 esquemas do tipo acima. Permutando-se as 7 letras restantes situadas entre a consoante e a vogal, de todos os modos possíveis, obteremos em cada esquema 7! anagramas. O número pedido será, pois, igual a 0.7! = = De quantos modos podemos dispor 5 livros de Matemática, de Física e de Química em uma prateleira, de modo que os livros do mesmo assunto fiquem sempre juntos? Dentre os 5 livros de Matemática, podemos realizar 5! permutações distintas entre eles. Analogamente,! para os livros de Física e! para os livros de Química. Observe que estes conjuntos de livros podem ainda ser permutados de! maneiras distintas entre si. Logo, pela regra do produto, o número total de possibilidades será: N = [(5!).(!).(!)].(!) = = 860 modos distintos. IETAV System - G: / Fone/Fax: () Suporte online: IQ

11 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e 5 OMBINAÇÕES SIMPLES E o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo e diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes. EXEMPLO Quantas comissões de pessoas podem ser formadas com 5 alunos de uma classe? RESOLUAO: O O O ALUNO ALUNO N DE OMISSOES 5 possibilidades possibilidades 0 comissoes A B B D E AB A AD AE A BA B D BD E BE A B D E A B D E Observemos que retiramos os grupos em vermelho, pois representam as mesmas comissões: AB e BA, A e A, B e B, AD e DA, BD e DB, D e D, AE e EA, BE e EB, E e E, DE e ED. Porque não importa a ordem, isto significa que não podem ser contadas duas vezes. Os grupos encontrados diferem entre si pelos elementos (natureza), não importando a ordem em que aparecem. Por isso o total e 0 comissões. D A B E DA DB D DE E A EA B EB E D ED IETAV System - G: / Fone/Fax: () Suporte online: IQ

12 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e Os grupos obtidos são denominados por: : 5 5, Le se combinacoes simples dos elementos tomados dois a dois. Definição: ombinações simples de n elementos distintos tomados p a p (n p) são todos os subconjuntos de p elementos que é possível formar a partir de um conjunto com n elementos. Indica-se: le se : combinacoes simples de n elementos tomados p a p. n, p FÓRMULA DAS OMBINAÇÕES SIMPLES np, = n! p!( n p)! EXERÍIOS RESOLVIDOS: - - A Diretoria de uma Empresa tem seis membros. Quantas comissões de quatro membros podem ser formadas, com a condição de que em cada comissão figurem sempre o Presidente e o Vice-Presidente? Os agrupamentos são do tipo combinações, já que a ordem dos elementos não muda o agrupamento. O número procurado é igual a: 6-,- =, = (.)/(.) = 6. Observe que raciocinamos com a formação das comissões de membros escolhidos entre, já que duas posições na comissão são fixas: a do Presidente e do Vice. - Numa assembléia há cinqüenta e sete deputados sendo trinta e um governistas e os demais, oposicionistas. Quantas comissões de sete deputados podem ser formadas com quatro membros do governo e três da oposição? IETAV System - G: / Fone/Fax: () Suporte online: IQ

13 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e Escolhidos três deputados oposicionistas, com eles podemos formar tantas comissões quantas são as combinações dos deputados do governo tomados a (taxa ), isto é:,. Podemos escolher oposicionistas, entre os 6 existentes, de 6, maneiras distintas; portanto o número total de comissões é igual a 6,., = , ou seja, quase oitenta e dois milhões de comissões distintas!. EXERIIOS PROPOSTOS - om 0 espécies frutas quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes, podem ser feitos? R. 0 - Qual o número de diagonais de um hexágono? R. 9 - Numa sala, temos 5 rapazes e 6 moças Quantos grupos podemos formar de rapazes e moças? R Seja A um conjunto de 0 pessoas, dessas. apenas têm maioridade. alcule o número de comissões de elementos que podemos formar com elementos de A, tendo cada comissão pelo menos uma pessoa com maioridade. R Uma empresa e formada por 6 sócios brasileiros e japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 sócios sendo brasileiros e japoneses? R De quantos modos podemos guardar bolas distintas em caixas, se a primeira caixa deve conter bolas, a a caixa, 5 bolas, a a caixa, bolas e a a caixa, bola? R Em um congresso há 0 físicos e 0 matemáticos. Quantas comissões podemos formar, contendo físicos e matemáticos? R. 0,. 0, 7 - (FEI-SP) Resolva a equação A5, x = 6. 5, 5 x. R. { } 9 - alcule o número de diagonais do dodecágono. R Num plano temos 6 pontos; 9 deles pertencem a uma reta. Quantas circunferências IETAV System - G: / Fone/Fax: () Suporte online: IQ

14 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e podem passar por quaisquer daqueles pontos? R De quantas maneiras podemos escolher 5 cartas de um baralho de 5 cartas: a) indistintamente? R b) as 5 do mesmo naipe? R (ENE-RJ) Numa embaixada trabalham 8 brasileiros e 6 estrangeiros. Quantas comissões de 5 funcionários podem ser formadas, devendo cada comissão ser constituída de brasileiros e estrangeiros? R Uma urna contém bolas aos quais 7 são pretas e 5 brancas. De quantos modos podemos tirar 6 bolas da urna, aos quais duas sejam brancas? R. 50 Um examinador dispõe de 6 questões de Álgebra e de Geometria para montar uma prova de questões. Quantas provas diferentes ele pode montar usando questões de Álgebra e de Geometria? R São dados pontos em um plano dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos triângulos podem ser formados com vértices em dos pontos? R. 0 6 Numa cidade, os números dos telefones têm a 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três primeiros constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, determine o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias. R alcule o número de placas de carros que se pode formar com letras e quatro algarismos. onsidere o alfabeto com letras. R Entre os 0 professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de diretor. vice-diretor e orientador pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser feita? R Resolva a equação Am, = m, m- + 0 m. R. { 5} m, n = 78 0 alcule m e n no sistema Am, n = 56 R. m = e n= IETAV System - G: / Fone/Fax: () Suporte online: IQ

15 urso destinado à preparação para oncursos Públicos e (FUVEST-SP) Num carro com 5 lugares e mais o lugar do motorista viajam 6 pessoas, dos quais sabem dirigir. De quantas maneiras se podem dispor essas 6 pessoas em viagem? R.60 (EEM-SP) Reunindo-se os objetos de uma certa coleção (todos diferentes entre si a ) o numero total de grupamentos coincide com o total de grupamentos desses mesmos objetos reunidos 6 a 6. Sabendo que os grupamentos se distinguem peia presença de ao menos um objeto diferente em cada um deles. Determine o número de objetos da coleção. R. 0 (Faap-SP) Em um campeonato ao dois turnos, em que devem jogar equipes de futebol, qual o número total de jogos a serem realizados? R. Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos pode-se ilumina-la se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa? R. 6 5 (FGV-SP) Quantos são os números maiores que 00, pares de três algarismos, que podem ser formados com os algarismos,,,. 5, 6, 7 e 8? a) 60 b)60 x c) 60 d)50 e)08 6 (UEMT) Sobre uma circunferência marcam-se 7 pontos, distintos a. alcule o número de triângulos que podemos formar com vértices nos pontos marcados. a) b)7 c)0 x d)5 e)0 7 (ITA-SP) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 (cinco) algarismos distintos, obtidos com,,, 6 e 7, a posição do numero 6.7 será: o o o o x a) 76 b) 78 c) 80 d) 8 e) n.d.a 8 (FGV-SP) Quantos anagramas da palavra SUESSO começam com S e terminam com O? a) 7! b) 5! c) 0 x d) 60 e) 90 IETAV System - G: / Fone/Fax: () Suporte online: IQ