Análise Combinatória 1 3 o ano Blaidi/Walter ago/09. Nome: Nº: Turma:

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1 Matemática Análise Combinatória 1 3 o ano Blaidi/Walter ago/09 Nome: Nº: Turma: 1. (U. F. Viçosa MG) Para controlar o estoque de um produto, uma empresa usa etiquetas formadas por uma parte literal e outra numérica, nesta ordem. A parte literal é formada de três letras do nosso alfabeto, incluindo y, k, w, e a parte numérica é formada por quatro dos algarismos de 0 a 9. Sabendo-se que pode haver repetição das letras e dos números, a quantidade do produto que pode ser etiquetado sem que haja coincidência de etiquetas é: a) b) c) d) e) (Uneb-BA) Uma senhora idosa foi retirar dinheiro em um caixa automático, mas se esqueceu da senha. Lembrava que não havia o algarismo 0, que o primeiro algarismo era 8, o segundo era par, o terceiro era menor que 5 e o quarto e último era ímpar. Qual o maior número de tentativas que ela pode fazer, no intuito de acertar a senha? a) 13 b) 60 c) 75 d) 78 e) (U. Passo Fundo-RS) O(s) valor(es) de x na equação A x, 2 C P x x, 2 = 1 x! é(são): a) { 2, 1} b) {2, 1} c) 2 d) 1 e) 4 4. (Fuvest-SP) Quantos são os números inteiros positivos de cinco algarismos que não têm algarismos adjacentes iguais? a) 5 9 b) c) d) 8 5 e) 9 5

2 5. (PUC-RS) Se ( n 1)! = ( n + 1)! n! 1 81, então n é igual a: a) 13 b) 11 c) 9 d) 8 e) 6 6. (Unirio-RJ) Um fiscal do Ministério do Trabalho faz uma visita mensal a cada uma das cinco empresas de construção civil existentes no município. Para evitar que os donos dessas empresas saibam quando o fiscal as inspecionará, ele varia a ordem de suas visitas. De quantas formas diferentes esse fiscal pode organizar o calendário de visita mensal a essas empresas? a) 180 b) 120 c) 100 d) 48 e) (UFF-RJ) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante. Os valores de x e y são, respectivamente: a) 48 e 36 b) 48 e 72 c) 72 e 36 d) 24 e 36 e) 72 e (Fatec-SP) Dispomos de 10 produtos para a montagem de cestas básicas. O número de cestas que podemos formar com 6 desses produtos, de modo que um determinado produto seja sempre incluído, é: a) 252 b) 210 c) 126 d) 120 e) (UF-AL) Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os elementos do conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4}? a) 60 b) 48 c) 36 d) 24 e) 18 2

3 10. (Unisinos-RS) No vestibular de inverno da Unisinos, João conheceu Maria, que lhe informou seu telefone. João não anotou o número, mas sabe que Maria mora em São Leopoldo e que este número começa por 59. Lembra ainda que o 3 algarismo é 1 ou 2 e os outros quatro algarismos são 0, 3, 6, 8, mas não sabe sua ordem. As possibilidades de João descobrir o telefone de Maria são: a) 4 b) 12 c) 20 d) 24 e) (Vunesp-SP) Uma pessoa quer trocar duas cédulas de 100 reais por cédulas de 5, 10 e 50 reais, recebendo cédulas de todos esses valores e o maior número possível de cédulas de 50 reais. Nessas condições, qual é o número mínimo de cédulas que ela poderá receber? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) (Unirio-RJ) Com os algarismos de 1 a 9, o total de números de 4 algarismos diferentes, formados por 2 algarismos pares e 2 ímpares, é igual a: a) 126 b) 504 c) 720 d) e) (UF-SE) Uma classe tem 17 alunos, sendo 10 rapazes e 7 moças. Quantas comissões de 4 alunos podem ser formadas com os alunos dessa classe, nas quais participa somente uma moça? a) 70 b) 140 c) 560 d) 840 e)

4 14. (Uneb-BA) Três prêmios iguais vão ser sorteados entre as 45 pessoas presentes a uma festa. Se, desse total, 18 são homens e as restantes são mulheres, de quantas formas diferentes pode ser feita essa distribuição, de forma que entre os premiados exatamente dois sejam do mesmo sexo? a) b) c) d) e) (Fuvest-SP) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas? a) 3 b) 5 c) 8 d) 12 e) (UF-MG) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras diferentes de se fazer a programação dessa semana é: a) 144 b) 576 c) 720 d) (Unesp-SP) Quatro amigos vão ocupar as poltronas a, b, c, d de um ônibus dispostas na mesma fila horizontal, mas em lados diferentes em relação ao corredor, conforme a ilustração. 4

5 Dois deles desejam sentar-se juntos, seja do mesmo lado do corredor, seja em lados diferentes. Nessas condições, de quantas maneiras distintas os quatro podem ocupar as poltronas referidas, considerando-se distintas as posições em que pelo menos dois dos amigos ocupem poltronas diferentes? a) 24 b) 18 c) 16 d) 12 e) (PUC-RJ) Um polígono regular de n lados tem 90 diagonais. O valor de n é: a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) (Unifor-CE) Numa urna estão seis bolinhas, numeradas de 1 a 6. Serão sorteadas 3 dessas bolinhas para formar um número de três algarismos. Quantos números diferentes podem ser formados se, após cada sorteio, a bola sorteada é reposta na urna? a) 216 b) 240 c) 496 d) 720 e) (PUC-SP) Para ter acesso a certo arquivo de um microcomputador, o usuário deve realizar duas operações: digitar uma senha composta por três algarismos distintos e, se a senha digitada for aceita, digitar uma segunda senha, composta por duas letras distintas, escolhidas num alfabeto de 26 letras. Quem não conhece as senhas pode fazer tentativas. O número máximo de digitações necessárias para ter acesso ao arquivo é: a) b) c) d) e)

6 21. (Ucsal-BA) Uma prova de Matemática deve ter apenas 6 questões escolhidas entre 5 questões de Álgebra, 4 de Geometria e 3 de Trigonometria. Um aluno pretende escolher 3 de Álgebra, 2 de Geometria e 1 de Trigonometria. O número de provas que esse aluno poderá montar é: a) 270 b) 210 c) 180 d) 90 e) (UCDB-MT) O número de permutações das letras da palavra AMIGA nas quais não aparece o grupo AA é: a) 36 b) 24 c) 60 d) 120 e) (UFF-RJ) O produto é equivalente a: 20! a) 2 b) 2 10! 20! c) 10 2 d) ! 20! e) (Unifor-CE) O comprador de certo modelo de automóvel pode escolher entre 6 cores e 4 itens opcionais. O número total de opções distintas, com pelo menos um item opcional, é: a) 24 b) 36 c) 48 d) 72 e) 90 6

7 25. (UF-ES) Uma lanchonete faz vitaminas com uma, duas, três, quatro ou cinco frutas diferentes, a saber: laranja, mamão, banana, morango e maçã. As vitaminas podem ser feitas com um só tipo de fruta ou misturando-se os tipos de fruta de acordo com o gosto do freguês. Desse modo, quantas opções de vitaminas a lanchonete oferece? a) 10 b) 25 c) 31 d) 35 e) (Funrei-MG) Se a razão entre o número de arranjos de n elementos agrupados 4 a 4 e o número de combinações de n elementos agrupados 2 a 2 é 24, então n é igual a: a) 8 b) 5 c) 7 d) (U. F. Uberlândia MG) De quantas maneiras três mães e seus respectivos três filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada mãe sente junto de seu filho? a) 6 b) 18 c) 12 d) 36 e) (Mackenzie-SP) Cada um dos círculos da figura abaixo deverá ser pintado com uma cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os círculos é: a) 3 7! b) 4 7 c) d) 7 4 e) 7! 4! 7

8 29. (Fuvest-SP) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6! = 720 palavras (anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas palavras forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário, a 250ª palavra começa com: a) EV b) FU c) FV d) SE e) SF 30. (U. F. Uberlândia MG) Considere 12 cartas distintas de um baralho, sendo 4 delas ases. Determine o número de possibilidades de se dividir essas 12 cartas em 2 partes iguais, de maneira que em cada uma dessas partes existam exatamente 2 ases. a) 420 b) 210 c) 105 d) 48 e) (UF-MG) Nessa figura, o número de triângulos que se obtêm com vértices nos pontos D, E, F, G, H, I e J é: a) 20 b) 21 c) 25 d) 31 e) (ITA-SP) O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO que não apresentam as cinco vogais juntas é: a) 12! b) (8!) (5!) c) 12! - (8!) (5!) d) 12! - 8! e) 12! - (7!) (5!) 8

9 33. (U. F. Juiz de Fora MG) Uma tribo indígena utiliza uma linguagem escrita que possui duas letras : e, e cada palavra pode ter 1 a 5 letras. O número máximo de palavras desta linguagem é: a) 10 b) 20 c) 62 d) 32 e) (PUC-RS) O maior número de retas definidas por 12 pontos, dos quais sete são colineares, é: a) 44 b) 45 c) 46 d) 90 e) (Fuvest-SP) Uma classe de Educação Física de um colégio é formada por dez estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem crescente, serão designadas por h 1, h 2,..., h 10 (h 1 < h 2 <... < h 9 < h 10 ). O professor vai escolher cinco desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles se apresentarão alinhados, em ordem crescente de suas alturas. 10 Dos = 252 grupos que podem ser escolhidos, em quantos o estudante cuja 5 altura é h 7 ocupará a posição central durante a demonstração? a) 7 b) 10 c) 21 d) 45 e) (Mackenzie-SP) O número de formas de 8 pessoas ocuparem duas salas distintas, devendo uma das salas conter exatamente 3 pessoas, é: a) 112 b) 144 c) 160 d) 182 e) 252 9

10 37. (Unifor-CE) Dispõe-se de 6 cores distintas, 3 das quais serão escolhidas para pintar as faces de um cubo. De quantos modos a pintura poderá ser feita se faces opostas devem ter a mesma cor? a) 720 b) 150 c) 120 d) 24 e) (UPE-PE) Uma empresa tem doze diretores, entre os quais Júnior, Daniela e Maria Eduarda. Quantas comissões de seis diretores podem ser formadas, sempre contendo Júnior, Daniela e Maria Eduarda como membros? a) 48 b) 84 c) 112 d) 108 e) (PUC-MG) Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número de modos de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma lâmpada, é: a) 63 b) 79 c) 127 d) 182 e)

11 40. (PUC-SP) Um debate político será realizado por uma rede de televisão com 5 candidatos à prefeitura de uma cidade. O debate será formado por duas partes: 1ª parte: O jornalista que coordenará o debate escolherá, de todas as formas possíveis, dois candidatos: ao primeiro, o jornalista formulará uma pergunta e, ao segundo, ele pedirá que comente a resposta do primeiro. 2ª parte: Cada candidato escolherá, também, de todas as formas possíveis, dois outros candidatos: ao primeiro, o candidato formulará uma pergunta e, ao segundo, ele pedirá que comente a resposta do primeiro. Qual é o número mínimo de perguntas que devem ser elaboradas pelo jornalista e pelos candidatos, admitindo que uma mesma pergunta não seja formulada mais que uma vez? a) 36 b) 72 c) 80 d) 20 e) 64 11

12 Gabarito 1. d 11. b 21. c 31. d 2. e 12. d 22. a 32. c 3. c 13. d 23. d 33. c 4. e 14. a 24. e 34. c 5. c 15. c 25. c 35. d 6. b 16. c 26. d 36. a 7. a 17. d 27. e 37. c 8. c 18. c 28. c 38. b 9. a 19. a 29. d 39. a 10. e 20. e 30. a 40. c 12