Análise Combinatória 2

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Benedicta de Barros Martinho
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1. Um estudante possui dez figurinhas, cada uma com o escudo de um único time de futebol, distribuídas de acordo com a tabela: Para presentear um colega, o estudante deseja formar um conjunto com

1 1. Um estudante possui dez figurinhas, cada uma com o escudo de um único time de futebol, distribuídas de acordo com a tabela: Para presentear um colega, o estudante deseja formar um conjunto com cinco dessas figurinhas, atendendo, simultaneamente, aos seguintes critérios: - duas figurinhas deverão ter o mesmo escudo; - três figurinhas deverão ter escudos diferentes entre si e também das outras duas. De acordo com esses critérios, o número máximo de conjuntos distintos entre si que podem ser formados é igual a: a) 32 b) 40 c) 56 d) (UERJ) Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do Candidato do Vestibular Estadual Um desses grupos está apresentado a seguir. Considere que cada grupo de quatro figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente. Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a:

grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a: a) 24 b) 35 c) 70 d) 140 3. Quantos anagramas da palavra ARATACA começam por consoante 4.

2 grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a: a) 24 b) 35 c) 70 d) Quantos anagramas da palavra ARATACA começam por consoante 4. (UERJ) A tabela abaixo apresenta os critérios adotados por dois países para a formação de placas de automóveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto romano. Considere o número máximo de placas distintas que podem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y igual a p. A razão corresponde p n a : a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 5. (UFF) Quinze pessoas, sendo 5 homens de alturas diferentes e 10 mulheres também de alturas diferentes, devem ser dispostas em fila, obedecendo ao critério: homens em ordem crescente de altura e mulheres em ordem decrescente de altura. Determine de quantos modos diferentes essas 15 pessoas podem ser dispostas em fila. 6. Com relação aos anagramas com as letras da palavra VESTIBULAR, pergunta-se: a) Quantos começam e terminam por consoante? b) Quantos começam por consoante e terminam por vogal? c) Quantos apresentam as vogais juntas?

3 d) Quantos apresentam o vocábulo LUTA? e) Quantos apresentam a sílaba LU e não apresenta a sílaba TA? 7. Há cinco pontos sobre uma reta R e oito pontos sobre uma reta R paralela a R. Quantos são os triângulos e os quadriláteros convexos com vértices nesses pontos? 8.Um campeonato de futebol foi disputado por 10 equipes em um único turno, de modo que cada time enfrentou cada um dos outros apenas uma vez. O vencedor de uma partida ganha três pontos e o perdedor não ganha ponto algum; em caso de empate, cada equipe ganha um ponto. Ao final do campeonato, tivemos a seguinte pontuação: Equipe 1-20 pontos Equipe 2-10 pontos Equipe 3-14 pontos Equipe 4-9 pontos Equipe 5-12 pontos Equipe 6-17 pontos Equipe 7-9 pontos Equipe 8-13 pontos Equipe 9-4 pontos Equipe pontos Determine quantos jogos desse campeonato terminaram empatados. 9. Duas amigas chegam de férias a uma pequena cidade do litoral norte. As ruas da cidade interceptam-se em ângulos retos, como mostra a figura. Certo dia, elas decidem almoçar no único restaurante da cidade. Quantos caminhos diferentes elas podem escolher para ir do hotel ao restaurante? Elas caminham somente para o norte ou para o leste. A figura indica um possível caminho. a) 120 b) 160 c) 200 d) 210

4 10. Em cada ingresso vendido para um show de música, é impresso o número da mesa onde o comprador deverá se sentar. Cada mesa possui seis lugares, dispostos conforme o esquema a seguir. O lugar da mesa em que cada comprador se sentará não vem especificado no ingresso, devendo os seis ocupantes entrar em acordo. Os ingressos para uma dessas mesas foram adquiridos por um casal de namorados e quatro membros de uma mesma família. Eles acordaram que os namorados poderiam sentar-se um ao lado do outro. Nessas condições, o número de maneiras distintas em que as seis pessoas poderão ocupar os lugares da mesa é a) 96 b) 120 c) 192 d) 384

5 Gabarito 1. B 2. B B a) A escolha da consoante inicial pode ser feita de seis modos e, depois disso, a consoante final pode ser escolhida de cinco modos. As restantes oito letras podem ser arrumadas entre essas consoantes selecionadas de P8 = 8! = modos. A resposta é 6 x 5 x = b) A escolha da consoante inicial pode ser feita de seis modos e, depois disso, a vogal final pode ser escolhida de quatro modos. As restantes oito letras podem ser arrumadas entre essa consoante e essa vogal selecionadas de P8 = 8! = modos. A resposta é 6 x 4 x = c) Uma vez feita a ordem das letras A, E, O, U, que pode ser feito de 4! = 24 modos. O bloco formado por estas letras se passa como se fosse uma letra só, portanto devemos arrumar sete objetos, o bloco formado pelas vogais e as seis letras V, S, T, B, L, R. A resposta é 24 x 7! = 24 x = d) O vocábulo LUTA se comporta como uma única letra. Daí, devemos arrumar sete objetos, o bloco LUTA e as seis letras restantes. A resposta é 7! = e) O número de anagramas que apresentam a sílaba LU é igual ao número de anagramas das nove letras LU (a sílaba LU se comporta como se fosse uma letra só), V, E, S, T, I, B, A, R, isto é, 9! = Analogamente, o número de anagramas que apresentam a sílaba LU e a sílaba TA é igual ao número de anagramas das oito letras LU, TA, V, E, S, I, B, R, ou seja, 8! = A resposta é = triângulos e 280 quadriláteros C

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