Lista - Matemática. w: e: Princípio Multiplicativo. Princípio Multiplicativo e permutações.

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1 p: João Alvaro w: e: Princípio Multiplicativo e permutações. 1. Dispondo das letras A, B e C e dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantas placas de automóveis formadas por 3 letras seguidas de 4 algarismos podemos formar 2. Responda o que se pede: a) Quantos anagramas podemos formar juntas as letras da palavra UNI- CAMP b) Em quantos desses anagramas aparecem as letras AMP juntas em qualquer ordem c) Quantos têm letras AMP juntas nesta ordem 3. Com relação aos algarismos 1,2,3,4,5,6 e 7, perguntamos: a) Quantos números naturais de 3 algarismos podemos formar b) Desses, quantos são ímpares 4. São dados os conjuntos A = {a, b, c} e B = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantas funções injetoras distintas de A em B podemos formar 5. Chamamos de anagrama qualquer formação com um conjunto de letras, tendo sentido ou não. Nessas condições perguntamos: a) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra FU- VEST Lista - Matemática Análise Combinatória. Princípio Multiplicativo. Permutações. Combinações Simples. b) Desses anagramas formados, quantos começam pela letra V c) Quantos começam com a letra T e terminam em S d) Quantos começam por vogal e) Quantos teminam em consoante f) Quantos começam e terminam com consoante 6. Um grupo de seis pessoas, entre as quais estão Américo e Lays, deve formar uma fila para que sejam atendidos em um consultório médico. a) Em quantas ordens diferentes pode ser formada essa fila b) Em quantas dessas filas, Américo e Lays aparecem juntos c) Em quantas eles aparecem separados 7. É possível formar 120 números naturais de 5 algarismos sem repetição, com os algarismos 2,3,4,7 e 9. Colocando-os em ordem crescente, que posição ocupa o número Determinar o número de divisores positivos de cada um dos seguintes números, dados através de suas decomposições em fatores primos: a) b) c)

2 d) x a.y b.z c 9. uma bandeira é formada de sete listras que devem ser pintadas de três cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor Permutações e Arranjos Simples. 10. De quantas maneiras podemos distribuir as onze camisas de um time de futebol, numeradas de um a onze, entre onze jogadores 11. Supondo que escalar um time de futebol seja distribuir as onze camisas entre os jogadores, determine quantos times é possível escalar dispondo de 20 jogadores. 12. Responda ao que se pede: a) Quantos números naturais de 5 algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 b) Quantos desses são pares c) Quantos são ímpares 13. Dipondo dos algarismos do sistema de base 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), pergunta-se: a) Quantos são os números naturais de 4 algarismos, sem repetição, podem ser formados b) Desses, quantos são ímpares c) Quantos são pares 14. Quantos número naturais, com algarismos distintos menores que 800, podemos formar com os algarismos, 1,2,3,...,9 15. Quantos números naturais de 6 algarismos, sem repetição, podemos formar de modo que comece por 7 e tenham dezena 48, dispondo dos elementos do conjunto A = {1, 2,..., 9} 16. Sendo dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 3, 5, 7} pergunta-se: a) Quantas funções de A em B é possível formar b) Quantas dessas não são injetoras 17. Responda: a) Quantoas anagramas podemos formar com as letras da palavra FUTE- BOL b) Desses, quantos terminam em F c) Quantos terminam em BOL d) Quantos começam por vogal e) Quantos começam e terminam por consoante f) Quantos apresentam as letras BOTE juntas e nesta ordem g) Quantos apresentam as letras FUL juntas 18. De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas (P 1, P 2,..., P 10 ) em fila de modo que: a) P 1 e P 2 fiquem juntas b) P 8, P 9 e P 10 fiquem juntas c) P 5 fique em uma das extremidades d) P 2 e P 9 fiquem nas extremidades da fila e) As extremidades estejam ocupadas por P 4 ou P 5 ou P 6 ou P Colocando em ordem decrescente todos os números obtidos a partir de , permutando-se os seus algarismos, que posição ocupa o número Permutando-se os algarismos do número 124 e somando-se todos os números assim obtidos, qual será o valor dessa soma 21. De quantos modos três rapazes e duas moças podem ocupar sete lugares em fila, de forma que as moças se sentem juntas uma da outra e os rapazes juntos uns dos outros 2

3 22. Considere os números obtidos a partir de efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando-se esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupa o número Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Dentre esses, determine quantos são divisíveis por Um show de música será constituído de três canções e duas danças. De quantas maneiras distintas pode-se montar o programa, de forma que o show comece com uma canção e termine com uma canção e duas danças não sejam em seguida 25. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra VESTIBULAR tais que comece com a letra V 26. Considere os algarismos 1,2,3,4 e 5. Uma das permutações possíveis destes algarismos origina o número Determine a soma dos números formados quando os algarismos acima são permutados de todos os modos possíveis. 27. De quantos modos diferentes podemos vestir 3 meninos, cada um com uma calça, uma camisa e um paletó, dispondo para isso de, 5 calças, 6 camisas e 4 paletós Combinações simples. 28. Quantas comissões de 4 pessoas podemos formar escolhendo-se de um grupo total de 6 pessoas 29. Considere 5 pontos distindos sobre uma reta r. Quantos segmentos de reta é possível determinar com extremidades nesses 5 pontos 30. São dadas duas retas paralelas r e s, 5 pontos distintos sobre r e 6 pontos distintos sobre s. Nessas condições, e considerando somente esses 11 pontos, pergunta-se: a) Quantos segmentos com uma extremidade em r e outra em s é possível formar b) Quantos triângulos com um e somente um vértice em r é possível formar c) Quantos triângulos com vértices nesses pontos é possível formar b) Quantos quadriláteros com vértice nesses pontos é possível formar 31. De um grupo de 3 engenheiros e 5 administradores, queremos escolher comissões de 4 pessoas, sendo 1 engenheiro e 3 administradores. Quantas comissões deste tipo poderemos formar 32. Em um grupo de 10 pessoas, 6 são brasileiras e 4 são de outras nacionalidades. Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar de modo que pelo menos 3 pessoas sejam brasileiras 33. De quantos modos podemos distribuir 10 bolas, numeradas de 1 a 10, em três gavetas que comportam, respectivamente, 3 bolas, 2 bolas e 5 bolas 34. Queremos alojar 8 pessoas em duas barradas de camping, com capacidade, respectivamente, para 5 e 3 pessoas. De quantos formas isso pode ser feito 35. Queremos colocar 6 etiquetas com a letra A (idênticas entre si) e 4 com a letra B (também indistinguíveis) nas costas de dez pessoas que estão em fila. De quantos modos podemos fazê-lo 36. Quantos anagramas distintos podemos formar com as letras da palavra ARARA 37. Em um congresso comparecem 15 professores, dos quais 4 lecionam matemática. Quantas comissões de 5 membros podemos formar de modo que em cada uma compareça pelo menos um professor de matemática 3

4 38. Quantos subconjuntos de 5 cartas contendo exatamente 3 ases podem ser formados com um baralho de 52 cartas 39. Lançando-se uma moeda 12 vezes, de quantas maneiras podemos obter 7 caras e 5 coroas 40. Dados 10 pontos em um plano, dos quais 3 quaisquer nunca estão alinhados, pergunta-se: a) Quantas retas determinam b) Quantos triângulos c) Quantos quadriláteros 41. Dados 12 pontos de um plano tais que 5 estão sobre uma reta r e os 7 restante, fora dela, pergunta-se: a) Qual é o número máximo de retas determinadas por esses 12 pontos b) Qual é o número máximo de triângulos determinados 42. Determine o números de diagonais (não de faces) dos prismas heptagonal. 43. Sobre os lados de um triângulo marcamse, respectivamente,3, 4 e 5 pontos distintos, não coincidindo com os vértices. Quantos segmentos de reta podemos obter, unindo, 2 a 2, os centros de todas as circunferências que passam por 3 quaisquer dos pontos marcados 44. Calucle: a) A 6,5 + 2P 3 C 5,4 b) 4P 3 + 7A 5,3 15C 7,4 1 c) + 1 A 6,2 A 5,2 d) A 10,7 A 9,7 45. Determine x: a) C 4x,x 1 C 8,x+1 = 2 5 b) C 8,x+2 = 2C 8,x+1 c) A x,3 C x,4 = A 4,2 d) C x,x 4 = 5C x,x Duas sociedades esportivas, com 100 esgrimistas cada, devem escolher um espadachim de cada uma para participar de uma competição. De quantos modos pode ser feita a seleção 47. Temos cinco tipos de envelopes sem selos e quatro tipos de selos de um mesmo valor. De quantas maneiras podemos escolher um envelope com selo para enviar uma carta 48. De um baralho de 52 cartas, são retiradas 10. a) Em quantos casos haverá pelo menos um ás entre as cartas retiradas b) Em quantos haverá somente um ás c) Em quantos haverá não menos que dois ases d) Em quantos, exatamente 2 ases 49. Em um vagão de passageiros de um trem, há 2 bancos opostos com 5 lugares cada. De 10 passageiros, quatro desejam se sentar de frente para a locomotiva, três de costas para ela e os três restantes são indiferentes à posição. De quantas maneiras os passageiros podem se instalar 50. Em um sindicato, são escolhidas 9 pessoas. Dentre elas, há que se eleger o presidente, o vice-presidente, o secretário e o teosureiro. De quantos modos isso pode ser feito 51. Dentre os integrantes de uma conferência em que tomam parte 52 pessoas, deve-se escolher uma delegação formada por 5 pessoas. De quantas formas a escolha pode ser feita 4

5 52. Uma mãe tem 2 maçãs e 3 peras. A cada dia, durante 5 dias seguidos, ela dá ao filho uma fruta. De quantas maneiras isso pode ser feito 53. Um pai tem cinco moedas diferentes, que distribui entre seus 8 filhos de modo que cada filho receba uma ou nenhuma moeda. De quantos modos diferentes ele pode fazer essa doação 54. Em quantos números de 0 a 999 aparece: a) o algarismo 9 b) o algarismo 9 duas vezes c) o algarismo 0 d) o algarismo 0 duas vezes e) os algarismos 0 e 9 f) os algarismos 8 e 9 GABARITO a) 5040 b) 1 a fase: escolher a ordem para AMP 2 a fase: escolher uma ordem para AMP, U, N, I, C. Portanto (3.2.1).( ) = 720 c) a) b) a) 720 b) 120 c) 24 d) 240 e) 480 f) 192 g) a) b) 240 c) a) divisor = 5 a.7 6 onde a = 0, 1 ou 2(1 a fase de escolha) e b = 0, 1 (2 a fase de escolha) a = (2+1).(1+1) = 6 b) = 24 c) = 90 d) (a + 1)(b + 1)(c + 1) bandeiras de três cores 10. P 11 = 11! 11. A 20, a) b) 6720 c) a) b) c) a) 256 b) a) b) 720 c) 24 d) e) f) 24 g) a) b) c) d) e) o o A 5,3.A 6,3.A 4,3 = comissões segmentos. 30. a) 30 segmentos. b) 75 triângulos c) 135 triângulos. d) 150 quadriláteros comissões. 5

6 comissões anagramas a) 45 b) 120 c) a) 57 b) a) 727 b) -921 c) 1 2 d) a) x=3 b) x=1 c) x= d) não existe 48. a) C 52,10 C 48,10 b) C 4,1.C 48,10 c) C 52,10 C 48,10 C 48,9 d) C 4,2.C 48, a) 271 b) 27 c) 181 d) 9 e) 36 f) 54 6