Aula 14 - Erivaldo ANÁLISE COMBINATÓRIA
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- Nicholas Veiga Minho
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1 Aula 14 - Erivaldo ANÁLISE COMBINATÓRIA
2 Análise Combinatória Arranjo e Combinação Arranjo Combinação A n,p = A n p = n! (n p)! n! C n,p = C p n = p!.(n p)!
3 Exemplo 01 Quantos números de três algarismos distintos pode-se formar com os algarismos ímpares do nosso sistema de numerção.
4 Exemplo 02 Quantos subconjuntos de três elementos distintos pode-se formar com os elementos do conjunto { 1, 3, 5, 7, 9 }.
5 Exemplo 03 Sobre uma circunferência são marcados 12 pontos distintos. Quantas retas, semi-retas e segmentos de reta podem ser obtidos unindo-se dois desses pontos.
6 Exemplo 04 Quantos números de três algarismos distintos pode-se formar com os algarismos pares do nosso sistema de numerção.
7 Exemplo 05 Quantos números de três algarismos pode-se formar com os algarismos ímpares do nosso sistema de numerção.
8 Problema 01 (FUVEST) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas? a) 71 b) 75 c) 80 d)83 e)87
9 Problema 02 (UFSC 2009) Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Com esse número de profissionais é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e quatro enfermeiros. 5 médicos e 10 enfermeiros 1 médicos e 4 enfermeiros C 5 1 x 4 C 10 5! 1!.(5 1)! x 10! 4!.(10 4)! 5.4! 1.4! x ! ! 5 x 210 = 1050 Incorreto
10 Problema 03 (ACAFE) Com 5 números positivos diferentes e 3 números negativos diferentes a quantidade de produtos positivos com 3 fatores distintos será: a) 8 b) 15 c) 20 d) 25 e)63
11 Problema 04 Sobre uma reta são marcados 7 pontos, e sobre uma outra reta, paralela à primeira, 3 pontos. O número de triângulos, com vértices em três desses pontos é: A B C D E F G H I J 3 3 C 10 - C 7 - C 3 3 = 10! 3!.7! 7! 3!.4! 3! 3!.0! = = 84
12 Problema 05 Sobre uma reta são marcados 7 pontos, e sobre uma outra reta, paralela à primeira, 5 pontos. O número de quadriláteros convexos, com vértices em quatro desses pontos é: A B C D E F G C 7 2 H I J K L C 5 2 (2 pontos em cima) e ( 2 pontos em baixo) C 7 2. C 5 2 7! 2!.5!. 5! 2!.3! = 2100
13 Problema 06 Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens, podem ser formadas? Comissões de interesse: (3H e 2M) ou (4H e 1M) ou (5H) C 5 3 x C 4 2 C 5 4 C x + C 5 5 5! 3!.2! x 4! 2!.2! + 5! 4!.1! x 4! 1!.3! + 5! 5!.0! 10 x 6 + 5x 4 +1= 81
14 Problema 07 (FUVEST SP) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens distintos cada, para distribuir entre a população carente. Esses 4 itens devem ser escolhidos entre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de alimentos não perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos um item que seja alimento não perecível e pelo menos um item que seja produto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem ser feitos? 8 de limpeza e 5 de alimentos Escolher 4 itens Tipos de Sacolas: LLAA, AAAL, LLLL, ALLL, AAAA,... 4 C 13 - C C 5 4 = 13! 4!.9! 8! 4!.4! 5! 4!.1! = = 640
15 Problema 08 (FUVEST SP) Uma turma de Educação Física de um colégio é formada de 10 estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem crescente serão designados por h 1, h 2,..., h 10, (h 1 < h 2 <... < h 10 ). O professor escolherá cinco desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles se apresentarão alinhados, em ordem crescente de suas alturas. Dos grupos que podem ser escolhidos, quantos o estudante cuja altura é h 7 ocupará a posição central durante a demonstração? Alunos: h 1, h 2, h 3, h 4, h 5, h 6, h 7, h 8, h 9, h 10 h 5 alunos: 7 C 6 2. C 3 2 6! 2!.4!. 3! 2!.1! = 45
16 Problema 09 (ACAFE) João Apostador passou em frente a uma lotérica e resolveu fazer uma fezinha. Entre todas as loterias disponíveis, escolheu a Mega Sena e fez uma aposta simples. Porém, ao as- sinalar os números cometeu um equívoco, assi- nalando 7 números no cartão.sabendo que os jogos da Mega Sena são compostos de 6 números, e cada aposta com 6 números custa R$ 2,00, o custo do cartão pre- enchido por João Apostador foi de: a) R$ 12,00, pois é possível formar 6 combinações. b) R$ 4,00, pois como ele assinalou um número a mais, é possível formar apenas duas combinações. c) R$ 42,00, pois como ele assinalou 7 números, é possível fazer 21 jogos diferentes. d) R$ 14,00, pois é possível formar 7 combinações.
17 Problema 10 (ACAFE) Considerando ainda o caso da questão anterior, João Apostador conferiu o resultado do sorteio no seu cartão e verificou que havia acertado 4 números (quadra), tendo assinalado 7 no cartão da Mega Sena. O prêmio pago pela quadra naquele dia foi R$ 64,32. Sendo assim, nosso ganhador recebeu: a) R$ 64,32, pois ele acertou apenas 4 números. b) R$ 192,96, pois com aquele cartão ele acertou 3 quadras. c) R$ 128,63, pois com aquele cartão ele acertou 2 quadras. d) R$ 221,60, pois com aquele cartão ele acertou 5 quadras.
18 Aula 14 - Erivaldo FIM
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