ANÁLISE COMBINATÓRIA E PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

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1 1. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2016) Suponha que nos Jogos Olímpicos de 2016 apenas um representante do Brasil faça parte do grupo de atletas que disputarão a final da prova de natação dos 100 metros livres. Considerando que todos os oito atletas participantes têm a mesma chance de vencer, a probabilidade de que o brasileiro receba uma das medalhas (ouro, prata ou bronze) é de: a) 12,75% b) 25,50% c) 37,50% d) 42,25% 2. (Unesp 2016) Está previsto que, a partir de 1º de janeiro de 2017, entrará em vigor um sistema único de emplacamento de veículos para todo o Mercosul, o que inclui o Brasil. As novas placas serão compostas por 4 letras e 3 algarismos. Admita que no novo sistema possam ser usadas todas as 26 letras do alfabeto, incluindo repetições, e os 10 algarismos, também incluindo repetições. Admita ainda que, no novo sistema, cada carro do Mercosul tenha uma sequência diferente de letras e algarismos em qualquer ordem. Veja alguns exemplos das novas placas. No novo sistema descrito, calcule o total de placas possíveis com o formato Letra-Letra- Algarismo-Algarismo-Algarismo-Letra-Letra, nessa ordem. Em seguida, calcule o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa. Deixe suas respostas finais em notação de produto ou de fatorial. 3. (Fatec 2016) No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista tem à sua disposição quatro golpes básicos: o jab, o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que um pugilista, preparandose para os Jogos Olímpicos do Rio, em 2016, queira criar uma sequência com 6 golpes, empregando necessariamente dois jabs, dois diretos, um cruzado e um gancho. Assim, o número máximo de sequências que ele poderá criar será de Lembre-se de que: Permutação com repetição k 1,k 2,k 3,... n! Pn k 1!k 2!k 3!... a) 180. b) 160. c) 140. d) 120. e) 100. Página 1 de 9

2 4. (Espcex - Aman 2016) Da análise combinatória, pode-se afirmar que a) o número de múltiplos inteiros e positivos de 11, formados por três algarismos, é igual a 80. b) a quantidade de números ímpares de quatro algarismos distintos que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5 e 6 é igual a 24. c) o número de anagramas da palavra ESPCEX que têm as vogais juntas é igual a 60. d) no cinema, um casal vai sentar-se em uma fileira com dez cadeiras, todas vazias. O número de maneiras que poderão sentar-se em duas cadeiras vizinhas é igual a 90. e) a quantidade de funções injetoras definidas em A {1, 3, 5} com valores em B {2, 4, 6, 8} é igual a (IFSP 2016) Um banco está testando um novo produto e disponibilizou a alguns dos seus clientes acesso via internet para esse produto, por meio de senhas compostas por cinco vogais distintas e dois números pares distintos, de 2 a 8, nessa ordem, ou seja, primeiro as vogais e depois os números. O número de clientes que podem acessar esse novo produto, via internet, é: a) 22. b) c) d) 180. e) (Afa 2016) Uma caixa contém 10 bolas das quais 3 são amarelas e numeradas de 1 a 3; 3 verdes numeradas de 1 a 3 e mais 4 bolas de outras cores todas distintas e sem numeração. A quantidade de formas distintas de se enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas é a) 8 7! b) 7! c) 5 4! d) 10! 7. (Ita 2016) Pintam-se N cubos iguais utilizando-se 6 cores diferentes, uma para cada face. Considerando que cada cubo pode ser perfeitamente distinguido dos demais, o maior valor possível de N é igual a a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) (Fuvest 2016) João e Maria jogam dados em uma mesa. São cinco dados em forma de poliedro regulares: um tetraedro, um cubo, um octaedro, um dodecaedro e um icosaedro. Página 2 de 9

3 As faces são numeradas de 1 a 4 no tetraedro, de 1 a 6 no cubo, etc. Os dados são honestos, ou seja, para cada um deles, a probabilidade de qualquer uma das faces ficar em contato com a mesa, após o repouso do dado, é a mesma. Num primeiro jogo, Maria sorteia, ao acaso, um dos cinco dados, João o lança e verifica o número da face que ficou em contato com a mesa. a) Qual é a probabilidade de que esse número seja maior do que 12? b) Qual é a probabilidade de que esse número seja menor do que 5? Num segundo jogo, João sorteia, ao acaso, dois dos cinco dados. Maria os lança e anota o valor da soma dos números das duas faces que ficaram em contato com a mesa, após o repouso dos dados. c) Qual é a probabilidade de que esse valor seja maior do que 30? Poliedros regulares Tetraedro 4 faces Cubo 6 faces Octaedro 8 faces Dodecaedro 12 faces Icosaedro 20 faces 9. (Unifesp 2016) Em uma pesquisa de mercado realizada nas cidades de São Paulo e de Santos, cada entrevistado teve que escolher apenas uma dentre seis marcas de sabonete (A, B, C, D, E e F). Os gráficos de radar indicam os resultados dessa pesquisa nas duas cidades. Por exemplo, cinco pessoas escolheram a marca A em São Paulo, e três em Santos; três pessoas escolheram a marca B em São Paulo, e duas em Santos. a) Sorteando-se ao acaso um dos entrevistados, considerando as duas cidades, qual é a probabilidade de que essa pessoa tenha escolhido ou a marca D ou a marca F? b) A mesma pesquisa foi realizada na cidade de Campinas, com 17 pessoas: a marca F foi a única mais votada, com seis escolhas; a marca C foi a única menos votada, com nenhuma escolha; nenhuma marca obteve apenas um voto. Levando em consideração apenas essas informações, calcule o total de configurações diferentes possíveis de um gráfico de radar (no mesmo formato das pesquisas de São Paulo e Santos) com os resultados da pesquisa realizada em Campinas. Página 3 de 9

4 10. (Fgv 2016) Um cubo possui aresta de medida 1 metro. Três vértices desse cubo são sorteados ao acaso para que, com eles, seja formado um triângulo. a) Calcule a probabilidade de que o triângulo formado seja retângulo. b) Admita que o triângulo formado após o sorteio tenha sido escaleno de vértices A, B e C, com AB sendo o menor dos seus lados. Calcule a área do triângulo ABC e, em seguida, calcule a medida dos segmentos determinados sobre AB quando esse lado do triângulo é intersectado pela bissetriz do ângulo oposto a ele. Vocabulário Triângulo escaleno: triângulo com três lados de medidas diferentes. Bissetriz de um ângulo: semirreta que divide o ângulo ao meio. Página 4 de 9

5 Gabarito: Resposta da questão 1: [C] Número de maneiras de se escolher três nadadores medalhistas num total de 8. 8! C8,3 56 3! 5! Número de maneiras de se escolher três medalhistas de modo que um deles seja o brasileiro. 7! C7,2 21 2! 5! Portanto, a probabilidade pedida será dada por: 21 3 P 37,50% 56 8 Resposta da questão 2: Para calcular o total de placas possíveis com o formato Letra-Letra-Algarismo-Algarismo- Algarismo-Letra-Letra pode-se escrever, com base nas possibilidades de cada item: Para calcular o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa, deve-se primeiro considerar a 4 posição das letras. Ou seja: C7 35. Assim, há 35 possíveis combinações de 4 letras e 3 algarismos. Pelo princípio fundamental da contagem, para cada letra há 26 possibilidades e cada algarismo 10 possibilidades. Logo, o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos 4 3 (incluindo repetição) é de Resposta da questão 3: [A] Utilizando a permutação simples com repetição de elementos, pode-se escrever: 2;2 6! ! 2;2 P6 P ! 2! 1! 1! 2! 2 1 Resposta da questão 4: [E] [A] Falsa. O menor múltiplo de 11 de três algarismos é o 110 e o maior número múltiplo de 11 com 3 algarismos é 990. Temos então uma P.A. de n termos, de razão 11, primeiro termo igual a 110 e último termo igual a (n 1) 11 n 1 80 n 81. [B] Falsa, pois a quantidade correta é 48. Página 5 de 9

6 [C] Falsa. A quantidade correta é 5! 120. [D] Falsa, pois existem 9 lugares para o casal se sentar em duas cadeiras vizinhas, sem esquecer a permutação das pessoas que formam o casal, temos 9 2! 18. [E] Verdadeira. O número de funções injetoras de A em B será dado pelo arranjo de 4 elementos três a três: A ,3 Resposta da questão 5: [C] Considerando as vogais: a, e, i, o e u; existem P5 5! modos de dispor as vogais, 4 modos de escolher o primeiro algarismo par e 3 modos de escolher o segundo algarismo par. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 5! Resposta da questão 6: [A] Pode-se extrair do enunciado que: 3 bolas amarelas A 1, A 2, A3 3 bolas verdes V 1, V 2, V3 4 bolas coloridas C 1, C 2, C 3, C4 Importante ressaltar que, embora as 4 bolas coloridas não sejam numeradas, elas são todas distintas entre si. Matematicamente, não importa se estas são distintas por cores ou numeração, motivo pela qual elas foram nomeadas como C 1, C 2, C3 e C 4. Os conjuntos de mesmo número devem ficar juntos, porém o enunciado é claro em afirmar a quantidade de formas distintas ou seja, a ordem é importante. Pode-se reorganizar as 10 bolas, considerando que as de mesma numeração fiquem juntas, em 7 blocos. Para ilustrar melhor, pode-se identificar a primeira maneira de enfileirar as 10 bolas: A1V1 A2V2 A3V3 C1 C2 C3 C 4 Daí, nota-se que o número de maneiras de enfileirar estes 7 blocos identificados seria permutação de 7, ou seja 7!. Porém, é preciso lembrar que os blocos com elementos de mesma numeração também podem ser permutados, pois como já vimos, a ordem é importante. Assim, o número de maneiras que podemos permutar esses elementos isoladamente será: Página 6 de 9

7 AV 1 1 permutação de 2, ou seja, 2! A2V2 permutação de 2, ou seja, 2! A3V3 permutação de 2, ou seja, 2! Assim, o número de maneias distintas de se enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas será: ! 8 7! Resposta da questão 7: [E] Face superior do cubo: 6 possibilidades de cor Face interior do cubo: 5 possibilidades de cor. Faces Laterais do cubo: (4 1)! 6 (permutação circular) Considerando que cada uma das faces pode ser a face superior, o número de cubos possíveis é: N 30 6 Resposta da questão 8: a) Como Maria jogou apenas um dado e pretende-se verificar a probabilidade do número lançado ser maior que 12, Maria só tem uma possibilidade de sorteio: o icosaedro. Este possui 8 faces numeradas com valores maiores que 12 (faces 13 até 20). Assim, a probabilidade do número lançado ser maior que 12 é: P(x 12) 8% b) Como pretende-se verificar a probabilidade do número lançado ser menor que 5, Maria poderia sortear qualquer um dos 5 dados, pois todos possuem faces com valores menores que 5. Assim, a probabilidade do número lançado ser menor que 5 é: Tetraedro P(x 5) Cubo P(x 5) Octaedro P(x 5) P t(x 5) 54% Dodecaedro P(x 5) Icosaedro P(x 5) c) Como João jogou dois dados e pretende-se verificar a probabilidade de os números lançados apresentarem soma maior que 30, João só tem duas possibilidades de sorteio: o dodecaedro e icosaedro. Isso porquê qualquer outra combinação não resulta em dados cujas faces somem números maiores que 30 (mesmo o icosaedro e o octaedro somariam no máximo 28). As possíveis somas do dodecaedro e icosaedro maior que 30 seriam: ; e Logo, 3 casos. Portanto, a probabilidade será: Página 7 de 9

8 Escolha de dados P(x) P(x 30) 12,5% Soma de faces P(x) Resposta da questão 9: a) Observando-se os gráficos, percebe-se que em São Paulo foram entrevistadas 24 pessoas e em Santos 20 pessoas. Assim, foram entrevistadas um total de 44 pessoas. A marca F foi escolhida por 5 pessoas em São Paulo e por 5 pessoas em Santos. A marca D foi escolhida apenas por 1 pessoa em São Paulo (nenhuma em Santos). Assim um total de 11 pessoas escolheu as marcas D ou F. Logo, a probabilidade de que essa pessoa tenha escolhido ou a marca D ou a marca F é de: 11 1 p p 25% 44 4 b) Sabendo-se que o total de pessoas entrevistadas em Campinas foi de 17, que a marca F recebeu 6 escolhas e que a marca C não obteve nenhuma escolha, pode-se concluir que as marcas A, B, D e E somam 11 votos. Sabendo que o mínimo de votos que uma destas marcas recebeu foi 2 (pois nenhuma recebeu um voto apenas), conclui-se que o máximo de votos que as marcas A, B, D e E receberam foram 5 votos. Assim, as opções de distribuição são permutações das seguintes possibilidades: Possibilidade 1) Possibilidade 2) Possibilidade 3) Como em todos os casos há repetição de elementos, o total de maneiras de distribuir os 11 votos das marcas A, B, D e E será: 4! 4! 4! Total maneiras ! 2! 3! Total maneiras 20 Resposta da questão 10: a) Número de triângulos retângulos: Em cada face podemos construir 4 triângulos retângulos distintos, logo: triângulos; Se selecionarmos a diagonal do cubo, a aresta e a diagonal da face, teremos 24 triângulos; Portanto, a probabilidade de que o triângulo formado seja retângulo é dada por: P ΔRET b) Parte 01 Considere a figura a seguir onde: AB 1, BC 2 e AC 3 Página 8 de 9

9 Logo, a área do triângulo ABC é: S Δ AB BC m 2 Parte 02 Considere o ponto D pertencente ao lado AB. Pelo teorema das bissetrizes internas, temos: AD AC AD 3 AD k 3 DB BC DB 2 DB k 2 Portanto, AB AD DB 1 k 3 k 2 k 1 k Logo, AD k 3 AD AD (3 6) m DB k 2 DB AD ( 6 2) m Página 9 de 9