MATEMÁTICA Revisão II Módulo 2. Professor Marcelo Gonzalez Badin

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1 MATEMÁTICA Revisão II Módulo 2 Professor Marcelo Gonzalez Badin

2 1.(Unicamp-2009) Em uma bandeja retangular, uma pessoa dispôs brigadeiros formando n colunas, cada qual com m brigadeiros, como mostra a figura abaixo. Os brigadeiros foram divididos em dois grupos. Os que estavam mais próximos das bordas da bandeja foram postos em forminhas azuis, enquanto os brigadeiros do interior da bandeja foram postos em forminhas vermelhas. a) Sabendo que m = 3n/4 e que a pessoa gastou o mesmo número de forminhas vermelhas e azuis, determine o número de brigadeiros da bandeja. b) Se a pessoa compra a massa do brigadeiro já pronta, em latas de 1 litro, e se cada brigadeiro, antes de receber o chocolate granulado que o cobre, tem o formato de uma esfera de 2 cm de diâmetro, quantas latas ela tem que comprar para produzir 400 brigadeiros? (Dica: lembre-se de que 1 litro corresponde a 1000 cm3.)

3 1.(Unicamp-2009) a) Número de formas azuis = 2n + 2(m 2) 2n + 2(3n/4 2) = (n 2).(3n/4 2) 2n + 3n/2 4 = 3n 2 /4 2n 3n/2 + 4 (x4) 8n + 6n 16 = 3n 2 8n 6n n 2 28n + 32 = 0 = ( 28) = = 400 n = 28 ± 20 6 Número de formas vermelhas =(n 2).(m 2) A pessoa gastou o mesmo número de forminhas vermelhas e azuis: 2n + 2(m 2) = (n 2).(m 2) Sendo m = 3n/4, temos: n = 4/3 (não convém, pois n é natural) n = 8 m = 3.8/4 fim = 6 Como n = 8 e m = 6, a bandeja tem 6.8 = 48 brigadeiros

4 1.(Unicamp-2009) b) O raio de cada brigadeiro esfera é 1cm. Sendo assim, o volume de cada um é 4 4 π cm = πcm que é, aproximadamente, 4,2cm 3. Desse modo, para produzir 400 brigadeiros é necessário 400.4,2cm 3 = 1680cm 3 = 1,68 litros Como cada lata de massa possui 1 litro, a pessoa tem que comprar 2 latas para produzir 400 brigadeiros.

5 2. (Fuvest-2011) a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos, escolhidos sem repetição, entre 1, 3, 5, 6, 8 e 9? 6 x 5 x 4 x 3 = 360 Podem ser formados 360 números b) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 5? 5 5 x 4 x 3 x 1 = 60 Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos dígitos for um múltiplo de 4 60 números são divisíveis por 5 c) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 4? Finais convenientes:16,36, 56,68, 96 4 x 3 x 5 = números são divisíveis por 4

6 3. (Unifesp-2004) As figuras A e B representam dois retângulos de perímetros iguais a 100cm, porém de áreas diferentes, iguais a 400 cm 2 e 600 cm 2, respectivamente. A figura C exibe um retângulo de dimensões (50 x) cm e x cm, de mesmo perímetro que os retângulos das figuras A e B. a) Determine a lei, f(x), que expressa a área do retângulo da figura C e exiba os valores de x que fornecem a área do retângulo da figura A. b) Determine a maior área possível para um retângulo nas condições da figura C. a) f(x) = x.(50 x) = x x b) A área de um retângulo nas condições da figura C é f(x) = 400 x x = 400 x 2 50x = 0 S = 50 P = 400 x = 10 x = 40 f(x) = x x e os valores de x que fornecem a área de A são 10cm e 40cm f(x) = x x f(x) assume seu valor máximo para x = x v = O valor máximo é f(25) = = 625 A maior área para um retângulo nas condições da figura C é 625cm 2 b = 25 2a

7 4.(Unicamp-2009) Um casal convidou seis amigos para assistirem a uma peça teatral. Chegando ao teatro, descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a poltrona 1 de uma fila era sucedida pela poltrona 2 da mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e assim por diante. a) Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com numeração consecutiva de uma mesma fila e que os ingressos foram distribuídos entre elas de forma aleatória. Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas? b) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a segunda fila tenha 2 cadeiras a mais que a primeira, a terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim sucessivamente até a última fila. Determine o número de cadeiras da sala em função de n, o número de filas que a sala contém. Em seguida, considerando que a sala tem 144 cadeiras, calcule o valor de n.

8 4.(Unicamp-2009) a) Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com numeração consecutiva de uma mesma fila e que os ingressos foram distribuídos entre elas de forma aleatória. Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas? Sejam A e B o casal e C, D, E, F, G e H os seis convidados O número de casos possíveis é igual ao número de permutações da sequência A B C D E F G H 8! O número de casos favoráveis é igual ao número de permutações da sequência A B C D E F G H com A e B juntos 7! 2! Assim, a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas é 7!2! = 8! 2 8 = 1 4 = 25%

9 4.(Unicamp-2009) b) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a segunda fila tenha 2 cadeiras a mais que a primeira, a terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim sucessivamente até a última fila. Determine o número de cadeiras da sala em função de n, o número de filas que a sala contém. Em seguida, considerando que a sala tem 144 cadeiras, calcule o valor de n. Temos uma progressão aritmética de primeiro termo a 1 = 8 e razão r = 2. O termo geral dessa PA é: a n = a 1 + (n 1)r = 8 + (n 1).2 a n = 2n + 6 O número de cadeiras é a soma dos n primeiros termos da referida PA. S n = (a 1 + a n ).n (8 + 2n + 6).n (14 + 2n).n = = = n 2 + 7n S n = n 2 + 7n Para S n = 144, temos: n 2 + 7n = 144 n = 9 n 2 + 7n 144 = 0 S = 7 n = 16 (não convém) P = 144 O valor de n é 9

10 5. (Fuvest-2011) Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas 14 questões. a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas? b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova como sendo aquelas que seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última deve ser uma questão de Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática não podem aparecer em posições consecutivas. Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas? c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português, qual é a probabilidade de que ele receba uma versão classe A?

11 5. (Fuvest-2011) Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas 14 questões. a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas? Podemos permutar as 14 questões de 14! modos diferentes. Sendo assim, podem ser produzidas 14! versões distintas da prova.

12 5. b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova como sendo aquelas que seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última deve ser uma questão de Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática não podem aparecer em posições consecutivas. Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas? 7! = 7!.864 Temos 7! possibilidades de colocar as 7 primeiras de Português, 3 possibilidades para a última questão (Matemática), e 4 opções para a penúltima questão (Geografia). Resta ainda posicionarmos as 5 questões restantes, não podendo as de Matemática ocupar posições consecutivas. Para isso, podemos permutar todas as 5 e descontar os casos em que as 2 de Matemática ocupam posições consecutivas. M 1 M 2 G 1 G 2 G 3 M 1 M 2 G 1 G 2 G 3 5! 4! 2! = = 72 Poderão ser produzidas 864.7! versões classe A

13 5. c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português, qual é a probabilidade de que ele receba uma versão classe A? Muda o espaço amostral Número de casos possíveis: 7!. 7! = 7!.7! O número de casos favoráveis é igual a 864.7! (item b) Assim, a probabilidade pedida é 864.7! 7!.7! = 35 6

14 6. (Fuvest-2009) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é ½. Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. Nessas condições, determine: a) A razão da PG. b) A soma dos três primeiros termos da PG. a) Sendo a 1 o primeiro termo e q a razão da PG, do enunciado temos: S 5 = ½ 1 5 ( ) a q 1 q 1 = a 7 a 2 = ( ) a q 1 = a 1 q 6 a 1 q = 3 (Fatora!) a 1 q(q 5 1) = 3 qa 1 (q 5 1) = 3 ( I I ) q 1 ( I ) 2 Substituindo ( I ) em ( I I ), temos: q 1 q = 3 2 q 2 q 6 = 0 S = 1 P = 6 q = 3 q = 2 (não convém, pois q < 0) A razão da PG é 2

15 6. (Fuvest-2009) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é ½. Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. Nessas condições, determine: a) A razão da PG. b) A soma dos três primeiros termos da PG. b) Para determinar a 1 vamos substituir q = 2 em ( I ): 1 5 (( ) ) a 2 1 = 1 ( ) a 33 3 = Assim, a soma dos três primeiros termos dessa PG é: = 3 22 a 1 = 1 22

16 7. (Unicamp 2010) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda. O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc. a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos membros? Site A: ( ) Site B: ( )

17 7. (Unicamp 2010) Site A: ( ) Site B: ( ) a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos membros? a) O número de novos membros do site A forma uma progressão geométrica de primeiro termo a 1 = 100 e razão q = 2. a 6 = a 1.q 5 = = 3200 Na sexta semana, o site pretende atrair 3200 membros novos e espera ter daqui a 6 semanas = 6450 associados

18 7. (Unicamp 2010) Site A: ( ) Site B: ( ) a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos membros? a) A entrada de novos membros em B forma uma progressão aritmética de primeiro termo a 1 = 100 e razão r =100. Em n semanas, o número de associados de B deve ser igual a 2200 mais a soma dos n primeiros termos da referida PA Devemos ter S n = S n = 7800 n 2 + n = 156 (a 1 + a n ).n n 2 + n 156 = 0 = S = 1 ( n).n P = 156 = n = 12 n = 13 a n = a 1 + (n 1)r a n = (n 1)100 a n = 100n (não convém) Em 12 semanas

19 8.(Fuvest-2005) Uma sequência de números reais a 1, a 2, a 3, satisfaz à lei de formação a n+1 = 6a n, se n é ímpar, 1 a n+1 = a n, se n é par. 3 a = 2 a) a a a a a a a 1 2 = 6a a 3 = a = a 5 = a = a 7 = a = 7 8 a = 6 2 a = 2 2 a = 12 2 a = 4 2 a = 24 2 a = 8 2 a = 48 2 Sabendo-se que a 1 = 2 a) escreva os oito primeiros termos da seqüência. b) determine a 37 e a 38. b) Os termos de ordem ímpar a 1, a 3, a 5, a 7,... Formam uma progressão geométrica de primeiro termo 2 e razão 2. Note que a 37 é o 19º termo dessa P.G. Assim, temos: a a = a q = a37 = = 6a37 38 a = 6 2 2

20 9.(Unicamp-2006) O gráfico ao lado mostra o total de acidentes de trânsito na cidade de Campinas e o total de acidentes sem vítimas, por veículos, no período entre 1997 e Sabe-se que a frota da cidade de Campinas era composta por veículos em 2003 e era 4% menor em2002. a) Calcule o número total de acidentes de trânsito ocorridos em Campinas em No gráfico vemos que o número total de acidentes de trânsito ocorridos em Campinas no ano de 2003 é 296 por veículos. Assim, como a frota era composta de veículos, o números de acidentes ocorridos foi =

21 9.(Unicamp-2006) O gráfico ao lado mostra o total de acidentes de trânsito na cidade de Campinas e o total de acidentes sem vítimas, por veículos, no período entre 1997 e Sabe-se que a frota da cidade de Campinas era composta por veículos em 2003 e era 4% menor em2002. b) Calcule o número de acidentes com vítimas ocorridos em Campinas em b) Em 2002, a frota era 4% menor que em 2003, isto é: o número de veículos era 0, = Do gráfico concluímos que o número de acidentes com vítimas em 2002 foi 334 (total de acidentes) 274 (acidentes sem vítimas) = 60 por veículos. Logo, o número de acidentes com vítimas em 2002 foi =

22 10. (Fuvest 2007) Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço do que possui Maria. Quanto possui cada uma das meninas Amélia, Lúcia e Maria? Sejam x, y e z as quantias (em R$) respectivas de Amélia, Lúcia e Maria. Temos: x 3 = y + 3 x y = 6 1 z + y = x x = z z = x y x = 36 x = z = 12 z = y = 6 y = 18 Amélia tem R$ 24,00, Lúcia R$ 18,00 e Maria R$ 36,00

23 11. (Unifesp-2007) Colocam-se n 3 cubinhos de arestas unitárias juntos, formando um cubo de aresta n, onde n > 2. Esse cubo tem as suas faces pintadas e depois é desfeito, separandose os cubinhos. a) Obtenha os valores de n para os quais o número de cubinhos sem nenhuma face pintada é igual ao número de cubinhos com exatamente uma face pintada. b) Obtenha os valores de n para os quais o número de cubinhos com pelo menos uma face pintada é igual a 56. a) (n 2) 3 = 6(n 2) 2 n 2 = 6 n = 8 O valor de n é 8 Observando uma face do cubo de volume n 3, temos (n 2) cubinhos que ficam internos àqueles que estão nos vértices ou nas arestas. Essa face interna representa a face dos cubinhos (internos) sem nenhuma face pintada Assim, o número de cubinhos sem nenhuma face pintada é (n 2) 3 e o número de cubinhos com exatamente uma face pintada é 6(n 2) 2. total de cubinhos cubinhos sem face pintada n 2 2n 8 = 0 b) n 3 (n 2) 3 = 56 n 3 (n 3 6n n 8) = 56 6n 2 12n 48 = 0 n = 2 n = 4 S = 2 P = 8 O valor de n é 4

24 12.(Unicamp-2010) Suponha que f : IR IR seja uma função ímpar (isto é, f( x) = f(x)) e periódica, com período 10 (isto é, f(x) = f(x+10)). O gráfico da função no intervalo [0, 5] é apresentado abaixo. sinx.gph a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [ 10, 10], e calcule o valor de f(99). b) Dadas as funções g(y) = y 2 4y e h(x)=g(f(x)), calcule h(3) e determine a expressão de h(x) para 2,5 x 5 2,5 2,5 a) Como f( x) = f(x), podemos completar o trecho correspondente a [ 5, 0], a partir do intervalo [0, 5]. Como o período da função é 10, temos: o gráfico no intervalo [5, 10] pode ser obtido a partir do intervalo [ 5, 0]. o gráfico no intervalo [ 5, 10] pode ser obtido a partir do intervalo [0, 5]. f(2,5) = 5 e f( 2,5) = 5 Assim, para x [ 2,5; 2,5] temos f(x) = 2x f( 1) = 2. Como f(x) = f(x+10), temos: f( 1) = f(9) = f(19) =... = f(99) f(99) = 2. b) Para x [2,5; 5] f(x) = ax + b. O gráfico de f(x) passa pelos pontos (2,5; 5) e (5; 0) Temos: 2,5a + b = 5 e 5a + b = 0. Resolvendo o sistema, encontramos a = 2 e b = 10. Assim, para x [2,5; 5], f(x) = 2x Como h(x) = g(f(x)) = g( 2x + 10) h(x) = ( 2x + 10) 2 4( 2x + 10) = 4x 2 40x x 40 h(x) = 4x 2 32x + 60 e h(3) = = 0 Portanto, h(3) = 0 e a expressão de h(x) para 2,5 x 5 é h(x) = 4x 2 32x + 60

25 13.(Vunesp-2005) Uma pessoa resolve caminhar todos os finais de tarde. No 1º dia de caminhada, ela percorre uma distância de x metros. No 2º dia, ela caminha o dobro do que caminhou no 1º dia; no 3º dia, caminha o triplo do que caminhou no 1º dia, e assim por diante. Considerando o período do 1º ao 25º dia, ininterruptos, ela caminhou um total de metros. a) Encontre a distância x percorrida no 1º dia. b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30º dia. a) As distâncias percorridas formam a progressão aritmética x, 2x, 3x,..., 25x De acordo com o texto, temos: x + 2x + 3x x = PA a 1 = x r = x S 25 = S 25 = (a 1 + a 25 )25 = (x+ 25x)25 = x.25 = x = 750 A distância percorrida no 1º dia foi 750m b) A distância percorrida no 30º dia é 30x 30x = = No 30º dia a pessoa percorreu 22500m

26 14. ( Unicamp 2007) Dois prêmios iguais serão sorteados entre dez pessoas, sendo sete mulheres e três homens. Admitindo que uma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, responda às perguntas abaixo. a) De quantas maneiras diferentes os prêmios podem ser distribuídos entre as dez pessoas? b) Qual é a probabilidade de que dois homens sejam premiados? c) Qual é a probabilidade de que ao menos uma mulher receba um prêmio? a) c) P = 1º 2º ! M 7 10 = 45 H P = Há 45 maneiras de distribuir os 2 prêmios. 7M H H b) 10 P = 3. 2 = 1 3H A probabilidade de dois homens serem premiados é 1/15. ou 2! + = M M 6 9 Outro modo: H P = A probabilidade de que ao menos uma mulher seja premiada é 14/15. H 2 9 = 14 15

27 15. (Fuvest 2007) Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas ao acaso, sucessivamente, sem reposição. Determine a) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca. b) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendo-se que as três bolas retiradas não são da mesma cor. 5B P P B Outro modo Nº de casos possíveis 3P 8 bolas a) ! = ! 56 Número de permutações da sequência PPB = 56 3! Nº de casos favoráveis 2P 1B A probabilidade é ! 3qq 5. = 15

28 15. (Fuvest 2007) Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas ao acaso, sucessivamente, sem reposição. Determine Muda o espaço amostral a) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca. b) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendo-se que as três bolas retiradas não são da mesma cor. Nº de casos possíveis 3qq 3B 3P Nº de casos favoráveis 2P 1B ! ! ! 1 = ! 5. = 15 A probabilidade é = 1 3