Estatística Básica Capítulo 2 Ayrton Barboni. Anotamos n(x) o número de elementos do conjunto X. Vejamos algumas situações:

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1 2. TÉCNICAS DE CONTAGEM Capítulo 2 Para resolver problemas de probabilidades, que serão estudados adiante, é necessário, em alguns casos, contar os elementos de um conjunto finito REGRAS DE CONTAGEM Anotamos n(x) o número de elementos do conjunto X. Vejamos algumas situações: REGRA DA SOMA Sejam A e B conjuntos finitos, ambos subconjuntos de um conjunto universo U. Considerando x o número de elementos de A não pertencentes a A B y o número de elementos de A B z o número de elementos de B não pertencentes a A B U temos, n(a B) x + y + z n(a B) (x + y) + (y + z) y (adicionou e subtraiu y) n(a B) n(a) + n(b) - n(a B) Observação: Caso A B, teremos n(a B) 0 e a fórmula acima será: n(a B) n(a) + n(b). Aplicando o mesmo raciocínio para três conjuntos A, B e C quaisquer (subconjuntos de um mesmo universo U), teremos: n(a B C) n(a) + n(b) + n(c) n(a B) n(a C) n(b C) + n(a B C) Exemplos: 1) João deseja ir de um ponto L1 a outro ponto L2 por dois caminhos distintos. Pelo primeiro deve passar por três cidades R, S e T e pelo segundo por duas cidades V e W. Por quantas cidades poderá passar? n(a B) n(a) + n(b) cidades. 27

2 2) As pessoas de uma família estudam Matemática ou Física. Sabendo-se que 6 estudam Matemática, 7 estudam Física e 4 estudam ambas disciplinas, deseja-se saber a quantidade de pessoas que a família possui. n(m F) n(m) + n(f) - n(m F) pessoas na família REGRA DO PRODUTO Sejam A e B dois conjuntos finitos e não vazios (subconjuntos do universo U ). Consideremos o produto cartesiano de A e B: AXB {(x,y) / x A e y B}. O número de elementos (pares ordenados) do produto cartesiano A B é dado por: n(axb) n(a). n(b), essa fórmula constitui a regra do produto para dois conjuntos. Observação: Supondo n conjuntos: A 1, A 2, A 3,..., A n subconjuntos de um mesmo conjunto U, n( A1 X A2 X A3 X... X An) n(a1). n(a2). n(a3)...n(an) Exemplos: 3) Numa sala estão presentes 3 rapazes e 4 moças. Quantos casais podem ser formados? Solução Sejam A conjunto das moças { M 1,M 2,M 3,M 4} e B conjunto dos rapazes { R 1,R 2,R 3}. Temos que n(a) 4 e n(b) 3, logo, n(axb) n(a). n(b) casais. R R R M 1 M 2 M 3 M 4 4) Considere as placas de automóvel que possuem, da esquerda para a direita, três letras, que são vogais, e quatro dígitos: onde o 1 é múltiplo de 3, o 2 é par, o 3 é primo e o 4 é impar. Quantas placas distintas deste tipo podem ser fabricadas? Placa: A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 1 conjunto das vogais.. n(a 1) 5 A 4 conjunto de dígitos múltiplo de 3 {3,6,9}, n(a 4) 3 A 2 conjunto das vogais.. n(a 2) 5 A 5 conjunto de dígitos pares {0,2,4,6,8}, n(a 5) 5 A 3 conjunto das vogais.. n(a 3) 5 A 6 conjunto de dígitos primos {2,3,5,7}, n(a 6) 4 A 7 conjunto de dígitos ímpares {1,3,5,7,9} n(a 7) 5 n(a 1 X A 2 X A 3 X A 4 X A 5 X A 6 X A 7) n(a 1). n(a 2)..n(A 3). n(a 4). n(a 5). n(a 6)..n(A 7)

3 Existem problemas que envolvem ambas as regras da Soma e do Produto: 5) Uma pessoa possui para traje esporte 2 calças e 5 camisas e para traje social 2 ternos, 3 camisas e 2 gravatas. De quantos modos poderá se vestir de maneira esporte ou social? E traje esporte: A1 : conjunto de 2 calças n(a1)2 A2 : conjunto de 5 camisas n(a2)5 S traje social: A3 : conjunto de 2 ternos n(a3)2 A4 : conjunto de 3 camisas n(a4)3 A5 : conjunto de 2 gravatas n(a5)2 n(e S) n(e) + n(s) - n(e S) ( sabemos que E S, logo, n(e S)0 ) n(a1 X A2) + n(a3 X A4 A5) n(a1). n(a2) + n(a3). n(a4). n(a5) Calças Camisas modos c 1 1 c 2 2 ca 1 c 3 3 Traje c 4 4 c 5 5 E c 1 6 c 2 7 ca 2 c 3 8 c 4 9 c 5 10 Gravatas Ternos c 1 g 1 11 g 2 12 T 1 c 2 g 1 13 g 2 14 c 3 g 1 15 S g 2 16 c 1 g 1 17 g 2 18 T 2 c 2 g 1 19 g 2 20 c 3 g 1 21 g

4 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 2.1 1) Uma caixa contém 3 bolas: 1 amarela, 1 vermelha e 1 branca. Uma outra caixa contém 2 bolas: 1 azul e 1 verde. Retirando-se uma bola da 1ª caixa e outra da 2ª caixa, quantas são as possibilidades de duas cores? R. 6 2) Da cidade A até a cidade B pode-se fazer a viagem de trem ou de ônibus. Em A, existem 5 companhias ferroviárias e 4 rodoviárias a disposição do usuário e em todas elas as passagens são de três categorias: 1ª, 2ª e 3ª. De quantos modos uma pessoa pode fazer sua escolha de viagem de A para B? R. 27 3) Para ir de uma cidade A a uma cidade B tem-se que optar: ou passa por uma cidade X ou por Y. Se de A para X existem 6 caminhos possíveis, de A para Y existem 8, de X para B existem 7 e de Y para B existem 5, então, quantos são os possíveis caminhos de A para B? R. 82 4) Feita a consulta a respeito do uso de três marcas de um determinado produto, verificou-se que o produto da marca I é usado por 25 pessoas, da marca II por 27 e da marca III por 20. Sabendo-se, ainda, que 15 usam produtos das marcas I e II, 14 usam II e III, 13 usam I e III e 10 usam todas as marcas, pergunta-se o número de pessoas consultadas. R. 40 5) De quantas maneiras 5 pessoas podem sentar em um banco de 5 lugares? R.120 6) De quantos modos diferentes podemos arrumar 6 livros em uma prateleira da estante? R.720 7) De quantos modos diferentes podemos arrumar 6 livros em uma prateleira da estante, sabendo-se que dois desses livros deverão ficar sempre juntos? R.240 8) De quantos modos diferentes um casal e seus três filhos podem sentar em um automóvel, sabendo-se que o pai senta sempre no banco do motorista? R.24 9) De quantos modos diferentes um casal e seus três filhos podem se sentar em um automóvel, sabendo-se que o casal ocupa os bancos dianteiros e os filhos o traseiro? R.12 10) Quatro rapazes e uma garota foram juntos visitar uma exposição de quadros de arte. Um dos rapazes é perfeito cavalheiro e só entra no recinto depois que a garota o tenha feito. De quantos modos (em fila) eles podem passar pela porta de entrada? R

5 2.2. ARRANJOS Consideremos um conjunto L com m elementos e dele vamos extrair um subconjunto S com r elementos (r m). E, com este subconjunto, estabelecer grupamentos com determinada característica. Se a característica for: ao trocar a ordem de dois elementos distintos o grupamento deixa de ser o mesmo, então, cada grupamento é um ARRANJO. Vejamos de forma prática: Seja L {1,2,3,4,5} e o subconjunto S {1,2,3}. Assim, teremos um grupamento (1,2,3), representando o número 123. Mudando-se a ordem de dois elementos teremos, por exemplo, o novo grupamento (2,1,3), que representa o número 213, diferente de 123. Portanto, cada um dos grupamentos assim obtido é um ARRANJO. O problema que se apresenta agora é o de contar o número de arranjos com r elementos que podem ser formados com os m elementos de L ARRANJOS SIMPLES Os arranjos formados com r elementos distintos a partir de L serão chamados de arranjos simples (r m). 1) No exemplo prático acima, desejamos saber a quantidade de números de três algarismos distintos que podem ser formados com os dígitos de L {1,2,3,4,5}. Se a cada grupamento (a,b,c) associarmos o número de três dígitos distintos abc, então, neste caso, serão excluídos os grupamentos tais como: (1,1,2), (1,4,4), (5,5,5),..., visto que algum de seus dígitos foi repetido. Forma do grupamento desejado é (a1, a2, a3), onde a1 A1, A1 conjunto de todos os dígitos de L...n(A1) 5 a2 A2, A2 conjunto dos dígitos de L, excluí o fixado na centena...n(a2) 4 a3 A3, A3 conjunto dos dígitos de L, excluí os fixados na centena e na dezena...n(a3)3 Pela regra do produto: n(a1 X A2 X A3) n(a1). n(a2). n(a3) números Vejamos quais são os arranjos simples:

6 Notação: Indicaremos por Am,r o número de arranjos simples dos m elementos de L tomados r a r. Assim, pela regra do produto, Am,r m(m-1)(m-2)(m-3)...[m-(r-1)] No exemplo 1: A5, (Prática: decresce r 3 fatores a partir de m5) ARRANJOS COM REPETIÇÃO Os arranjos formados com r elementos não necessariamente distintos a partir de L serão chamados de arranjos com repetição. Exemplo: 2) Com os dígitos de L {1,2,3,4,5} quantos números de três algarismos podemos formar? Agora, grupamentos como (1,1,2), (1,4,4), (5,5,5),... devem ser considerados. Portanto, a forma do grupamento desejado é (a1, a2, a3), onde a1 A1, A1 conjunto de todos os dígitos de L... n(a1) 5 a2 A2, A2 conjunto de todos os dígitos de L... n(a2) 5 a3 A3, A3 conjunto de todos os dígitos de L... n(a3) 5 Pela regra do produto: n(a1 X A2 A3) n(a1). n(a2). n(a3) números Indicaremos por ARm,r o número de arranjos com repetição dos m elementos de L tomados r a r. Neste caso, r pode ser maior do que m. Assim, pela regra do produto, ARm,r m.m.m.m.... m m r No exemplo: AR5, ( r3 fatores iguais a m5) 2.3. PERMUTAÇÕES Consideremos um conjunto L com m elementos. Queremos formar grupamentos apenas permutando (mudando) a ordem dos m elementos. Temos os seguintes casos: PERMUTAÇÕES SIMPLES Permutações simples são arranjos simples com o mesmo número de elementos de L, isto é, m r. 32

7 Exemplo: 3) Com os dígitos de L { 1,2,3,4,5} quantos números de 5 algarismos, sem repetição de dígitos, podem ser formados? A forma do grupamento desejado é (a1, a2, a3, a4, a5), onde ai Ai, i 1,2,3,4,5 A1 conjunto de todos os dígitos de L... n(a1) 5 A2 conjunto dos dígitos de L, menos o fixado na ordem de A1... n(a2) 4 A3 conjunto dos dígitos de L, menos os fixados na ordem de A1 e A2... n(a3) 3 A4 conjunto dos dígitos de L, menos os fixados na ordem de A1 e A2 e A3... n(a4) 2 A5 conjunto dos dígitos de L, menos os fixados na ordem de A1 e A2 e A3 e A4. n(a5) 1 Pela regra do produto: n(a1 A2 A3 A4, A5) n(a1). n(a2). n(a3). n(a4). n(a5) números. Indicaremos por Pm o número de permutações simples de elementos de L. Assim, Pm m! m(m-1)(m-2)(m-3)... 1 No exemplo: P5 5! Observação: A fórmula Am,r pode ser escrita com a notação fatorial Am,r m r m!! 5! 5 3! No exemplo 1: A5,3 5! 2! PERMUTAÇÕES SIMPLES COM REPETIÇÃO Seja L um conjunto com m elementos. Queremos formar arranjos simples com m elementos, podendo existir alguns com repetições. Exemplo: Os anagramas (transposição de letras ou números) da palavra ARARA, formam agrupamentos com sentido ou não: AAARR, RARAA, RAARA,... etc. Observe que a permutação, entre si, das letras A ou R na palavra ARARA não geram novos agrupamentos, pois elas não se distinguem. Seja o grupamento: (a1,a2,...a b1,b2...b... t1,t2,...t ), onde os a são iguais entre si, também os b são iguais e assim por diante, tal que m.,,..., m! A fórmula P m!.!...! determina o número de grupamentos distintos e possíveis de se formar com os elementos de L, evitando as repetições dos elementos correspondentes aos,,.... Exemplos: 4) Quantos anagramas podem ser formados com a palavra AMAR? Temos duas letras A, uma M e uma R. 33

8 Portanto, 2,1,1 P 4 4! 2!.1!.1! anagramas Veja os 12 anagramas: AMAR, ARAM, AMRA, ARMA, MARA, RAMA, AAMR, AARM, MAAR, RAAM, MRAA e RMAA. Observação: O anagrama AMAR, por exemplo, só é contado uma vez, visto que não há distinção para os A permutados. 5). Quantos números de 6 algarismos podemos formar com os dígitos de ? Temos quatro dígitos iguais a 3 e dois dígitos iguais a 2. Portanto, 4,2 P 6 6! 4!.2! números distintos EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 2.2 1) Calcule: a) AR5,4 b) AR5,1 c) AR8,2 d) A5,4 e) A5,1 f) A8,2 g) P1 h) P2 i) P5 Respostas: a) 625 b) 5 c) 64 d) 120 e) 5 f) 56 g) 1 h) 2 i) 120 2) Quantos números de três algarismos podemos formar, usando os dígitos 2 e 3? R. 8 3) Dez carros disputam uma corrida. Quantos são os resultados possíveis para os três primeiros lugares? R ) Quantos anagramas pode-se formar com a palavra AMIGO? R ) De quantos modos distintos podemos arrumar 6 livros em uma prateleira de uma estante, sabendo-se que três desses livros deverão ficar sempre juntos? R 144 6) De quantos modos diferentes um casal e seus três filhos podem sentar em um automóvel, sabendo-se que o casal ocupa os bancos dianteiros e os filhos o traseiro? R 12 7) Quantos números ímpares de quatro algarismos podemos formar com os dígitos 1,2,3 e 4?. R ) Um banco de jardim possui 4 lugares e 6 amigos pretendem ocupá-lo. De quantos modos distintos poderão sentar? R

9 2.4. COMBINAÇÕES SIMPLES Consideremos um conjunto L com m elementos e um subconjunto S com r elementos de L (r m). E, com este subconjunto, estabelecer grupamentos com determinada característica. Se a característica for: ao trocar a ordem de dois elementos distintos o grupamento permanece o mesmo, então, cada grupamento é uma combinação simples. Vejamos de forma prática: 1) Suponha que você esteja participando de um jogo que consiste em lançar um dado três vezes e registrar cada um dos pontos das faces superiores expostas. Neste caso, teremos L {1,2,3,4,5,6}. Se você estiver apostando em faces pares distintas, isto é, no subconjunto S {2,4,6} de L, então é evidente que estará concorrendo com os grupamentos: (2,4,6), (2,6,4), (4,2,6), (4,6,2), (6,2,4), (6,4,2), visto que não importa a ordem de saída dos números sorteados. Queremos dizer que não há distinção para estes grupamentos ou que constituem a mesma combinação. Caso a ordem de saída dos números sorteados fosse relevante, cada grupamento seria um arranjo, logo, todos distintos. 2) Se considerarmos três pessoas formando uma comissão a ordem com que anunciamos os nomes dos participantes não é importante, pois trata-se da mesma comissão, isto é, de uma mesma combinação. Porém, se as pessoas tiverem funções (presidente, secretário, tesoureiro) a ordem passa a ser considerada, pois assim teremos nova diretoria com os mesmos elementos e, neste caso, cada diretoria formada é um arranjo. 3) Para não deixar dúvidas: em cada sorteio da loto são extraídos cinco números de um total de cem números. Se você escolher um jogo simples (de 6 números distintos) e ocorrer nele os números das cinco extrações, então, você ganhou a quina independente da ordem dos números sorteados. O outro apostador pode escolher, em outra ordem, os mesmos números que você escolheu, isto é, a mesma combinação e, assim, também fazer a quina. Infelizmente, neste caso, você deverá dividir o prêmio com ele. Certo? O problema que enfrentaremos agora é o da contagem das combinações simples distintas. Indicaremos por tomados r a r. Cm,r o número de combinações simples dos m elementos de L Vejamos um exemplo: Seja L {1,2,3,4}. Queremos obter a quantidade de combinações simples com os elementos de L tomados 2 a 2, isto é, obter C4,2. Conhecendo-se as combinações: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4) e (3,4) torna-se fácil dizer que C4,2 indica 6 combinações distintas. Alertamos que nem sempre é imediato conhecer todas as combinações. Procuremos uma fórmula que nos permita obter o número de combinações distintas sem a necessidade de escrevê-las. Vejamos: Primeiro, o número de subconjuntos (combinações) de L com 2 elementos é C4,2. Segundo, temos que a mudança de ordem (permutação) dos elementos em cada subconjunto forma novos grupamentos que são os arranjos simples. Sabendo-se que o 35

10 número total destes arranjos é A4,2, podemos entender que A4,2 é igual ao produto do número de combinações C4,2 com o número de permutações P2 em cada combinação. Assim, A4,2 C4,2. P2 ou que C4,2 Logo, C4,2 A 4,2 P Generalizando : C m,r Exemplos: C4,2 C7, ! A m, r P r 4! (4 2)!. 2! 7! (7 3)!. 3! ou, C m,r ! 4.3 2!. 2! 2! ! 4!. 3! A 4,2 P 2 m! ( m r)! r! ! EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ) Determinar: a) C5,2 b) C5,3 c) C10,2 d) C10,8 Respostas: a) 10 b) 10 c) 45 d) 45 2) Resolva a equação: Cn,2 15, n {2,3,4,...} R. 6 3) Quantas diagonais possui um hexágono convexo? R.9 Sugestão: Sabe-se que em um polígono convexo de n vértices : Cn,2 n + d, sendo d o número de diagonais (n número de lados número de vértices). 4) Sobre uma reta marcam-se 5 pontos e sobre outra paralela à primeira marcam-se 8 pontos. Quantos triângulos podem ser construídos? R.220 5) Em um plano marcam-se 12 pontos dos quais 5 estão sobre uma mesma reta. Quantos triângulos podem ser formados unindo-se estes pontos? R ) Quantas retas são determinadas pelos vértices de um hexágono regular? R.15 7) De um conjunto de 3 elementos quantos subconjuntos de 2 elementos podem ser formados? R.3 8) Qual o número de quinas possíveis de ocorrer na extração da Loto? R ) Quantas comissões de 3 elementos podem ser formadas com um grupo de 5 pessoas? R.10 10) Quantas comissões de 8 pessoas podem ser formadas com 10 deputados e 6 senadores, de maneira que em cada comissão tenha pelo menos 3 senadores? R