ANÁLISE COMBINATÓRIA II E PROBABILIDADE

Transcrição

1 1. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2016) Suponha que nos Jogos Olímpicos de 2016 apenas um representante do Brasil faça parte do grupo de atletas que disputarão a final da prova de natação dos 100 metros livres. Considerando que todos os oito atletas participantes têm a mesma chance de vencer, a probabilidade de que o brasileiro receba uma das medalhas (ouro, prata ou bronze) é de: a) 12,75% b) 25,50% c) 37,50% d) 2,25% 2. (Unesp 2016) Está previsto que, a partir de 1º de janeiro de 2017, entrará em vigor um sistema único de emplacamento de veículos para todo o Mercosul, o que inclui o Brasil. As novas placas serão compostas por letras e 3 algarismos. Admita que no novo sistema possam ser usadas todas as 26 letras do alfabeto, incluindo repetições, e os 10 algarismos, também incluindo repetições. Admita ainda que, no novo sistema, cada carro do Mercosul tenha uma sequência diferente de letras e algarismos em qualquer ordem. Veja alguns exemplos das novas placas. No novo sistema descrito, calcule o total de placas possíveis com o formato Letra-Letra- Algarismo-Algarismo-Algarismo-Letra-Letra, nessa ordem. Em seguida, calcule o total geral de possibilidades de placas com letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa. Deixe suas respostas finais em notação de produto ou de fatorial. 3. (Mackenzie 2016) Se um dado honesto é arremessado vezes, a probabilidade de obtermos, pelo menos, 3 resultados iguais é a) 5 36 b) c) 5 5 d) 7 72 e) (Unifesp 2016) Em uma pesquisa de mercado realizada nas cidades de São Paulo e de Santos, cada entrevistado teve que escolher apenas uma dentre seis marcas de sabonete (A, B, C, D, E e F). Os gráficos de radar indicam os resultados dessa pesquisa nas duas cidades. Por exemplo, cinco pessoas escolheram a marca A em São Paulo, e três em Santos; três pessoas escolheram a marca B em São Paulo, e duas em Santos. Página 1 de 12

2 a) Sorteando-se ao acaso um dos entrevistados, considerando as duas cidades, qual é a probabilidade de que essa pessoa tenha escolhido ou a marca D ou a marca F? b) A mesma pesquisa foi realizada na cidade de Campinas, com 17 pessoas: a marca F foi a única mais votada, com seis escolhas; a marca C foi a única menos votada, com nenhuma escolha; nenhuma marca obteve apenas um voto. Levando em consideração apenas essas informações, calcule o total de configurações diferentes possíveis de um gráfico de radar (no mesmo formato das pesquisas de São Paulo e Santos) com os resultados da pesquisa realizada em Campinas. 5. (Ita 2016) Numa certa brincadeira, um menino dispõe de uma caixa contendo quatro bolas, cada qual marcada apenas com apenas uma destas letras: N, S, L e O. Ao retirar aleatoriamente uma bola, ele vê a letra correspondente e devolve a bola à caixa. Se essa letra for N, ele dá um passo na direção Norte, se S, em direção Sul, se L, na direção Leste e se O, na direção Oeste. Qual a probabilidade de ele voltar para a posição inicial no sexto passo? 6. (Fgv 2016) O torneio de futebol masculino nos Jogos Olímpicos de Verão 2016 contará com 16 times. Na Fase 1, serão formados quatro grupos com quatro times cada um. Cada time enfrentará, uma única vez, os demais times de seu próprio grupo. Suponha que os 16 times sejam sorteados aleatoriamente entre os grupos (qualquer combinação de times por grupo pode ocorrer, com igual probabilidade). Suponha, também, que os times do Brasil e da Alemanha participem do torneio. a) Qual será o número total de jogos na Fase 1 desse torneio? b) Nas condições estabelecidas no enunciado desta questão, qual é a probabilidade de que Brasil e Alemanha se enfrentem na Fase 1 do torneio? c) João é fã de futebol e conseguiu ingressos para dois jogos da Fase 1 do referido torneio. Considere que a chance de João obter ingresso para qualquer dos jogos da Fase 1 seja a mesma. Nessas condições, qual é a probabilidade de que João assista a pelo menos um jogo da seleção do Brasil? 7. (Mackenzie 2016) Se bolas são retiradas sucessivamente, ao acaso e sem reposição, de uma caixa contendo bolas numeradas de 1 a 100, a probabilidade de que a primeira bola retirada tenha um número maior que o da última é a) 1 2 b) 1 c) 1 8 d) 1 50 Página 2 de 12

3 e) (Unesp 2016) Uma colher foi solta 978 vezes ao acaso em direção ao chão. O registro da posição em que ela caiu sobre o chão está indicado na tabela total de lançamentos Usando as informações da tabela, é correto concluir que a probabilidade de a colher cair sobre o chão virada para cima é a mesma probabilidade de se obter, no lançamento de um dado convencional honesto de seis faces, um número a) maior que. b) primo. c) menor que 6. d) múltiplo de 5. e) maior que (Ita 2016) Escolhendo-se, aleatoriamente, três números inteiros distintos no intervalo [1, 20], a probabilidade de que eles estejam, em alguma ordem, em progressão geométrica é igual a 2 a). 285 b) c) d) e) (Fac. Albert Einstein - Medicin 2016) Em uma urna vazia foram colocadas fichas iguais, em cada uma das quais foi escrito apenas um dos anagramas da palavra HOSPITAL. A probabilidade de que, ao sortear-se uma única ficha dessa urna, no anagrama nela marcado as letras inicial e final sejam ambas consoantes é a) 5 1 b) 3 7 c) 7 d) (Fuvest 2016) Página 3 de 12

4 João e Maria jogam dados em uma mesa. São cinco dados em forma de poliedro regulares: um tetraedro, um cubo, um octaedro, um dodecaedro e um icosaedro. As faces são numeradas de 1 a no tetraedro, de 1 a 6 no cubo, etc. Os dados são honestos, ou seja, para cada um deles, a probabilidade de qualquer uma das faces ficar em contato com a mesa, após o repouso do dado, é a mesma. Num primeiro jogo, Maria sorteia, ao acaso, um dos cinco dados, João o lança e verifica o número da face que ficou em contato com a mesa. a) Qual é a probabilidade de que esse número seja maior do que 12? b) Qual é a probabilidade de que esse número seja menor do que 5? Num segundo jogo, João sorteia, ao acaso, dois dos cinco dados. Maria os lança e anota o valor da soma dos números das duas faces que ficaram em contato com a mesa, após o repouso dos dados. c) Qual é a probabilidade de que esse valor seja maior do que 30? Poliedros regulares Tetraedro faces Cubo 6 faces Octaedro 8 faces Dodecaedro 12 faces Icosaedro 20 faces 12. (Fuvest 2016) Em um experimento probabilístico, Joana retirará aleatoriamente 2 bolas de uma caixa contendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocam-se 6 bolas azuis na caixa. Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a probabilidade de Joana obter 2 azuis seja 1? 3 a) 2 b) c) 6 d) 8 e) (Fgv 2016) Um cubo possui aresta de medida 1 metro. Três vértices desse cubo são sorteados ao acaso para que, com eles, seja formado um triângulo. a) Calcule a probabilidade de que o triângulo formado seja retângulo. b) Admita que o triângulo formado após o sorteio tenha sido escaleno de vértices A, B e C, com AB sendo o menor dos seus lados. Calcule a área do triângulo ABC e, em seguida, calcule a medida dos segmentos determinados sobre AB quando esse lado do triângulo é intersectado pela bissetriz do ângulo oposto a ele. Página de 12

5 Vocabulário Triângulo escaleno: triângulo com três lados de medidas diferentes. Bissetriz de um ângulo: semirreta que divide o ângulo ao meio. 1. (Unicamp 2016) O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição da idade de um grupo de pessoas. a) Mostre que, nesse grupo, a média de idade dos homens é igual à média de idade das mulheres. b) Escolhendo ao acaso um homem e uma mulher desse grupo, determine a probabilidade de que a soma de suas idades seja igual a 9 anos. Página 5 de 12

6 Gabarito: Resposta da questão 1: [C] Número de maneiras de se escolher três nadadores medalhistas num total de 8. 8! C8,3 56 3! 5! Número de maneiras de se escolher três medalhistas de modo que um deles seja o brasileiro. 7! C7,2 21 2! 5! Portanto, a probabilidade pedida será dada por: 21 3 P 37,50% 56 8 Resposta da questão 2: Para calcular o total de placas possíveis com o formato Letra-Letra-Algarismo-Algarismo- Algarismo-Letra-Letra pode-se escrever, com base nas possibilidades de cada item: Para calcular o total geral de possibilidades de placas com letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa, deve-se primeiro considerar a posição das letras. Ou seja: C7 35. Assim, há 35 possíveis combinações de letras e 3 algarismos. Pelo princípio fundamental da contagem, para cada letra há 26 possibilidades e cada algarismo 10 possibilidades. Logo, o total geral de possibilidades de placas com letras (incluindo repetição) e 3 algarismos 3 (incluindo repetição) é de Resposta da questão 3: [D] Probabilidade dos quatro resultados serem iguais: Probabilidade de apenas três resultados serem iguais: P Portanto, a probabilidade pedida será dada por: P Resposta da questão : a) Observando-se os gráficos, percebe-se que em São Paulo foram entrevistadas 2 pessoas e em Santos 20 pessoas. Assim, foram entrevistadas um total de pessoas. A marca F foi escolhida por 5 pessoas em São Paulo e por 5 pessoas em Santos. A marca D foi escolhida apenas por 1 pessoa em São Paulo (nenhuma em Santos). Assim um total de 11 pessoas escolheu as marcas D ou F. Logo, a probabilidade de que essa pessoa tenha escolhido ou a marca D ou a marca F é de: 11 1 p p 25% b) Sabendo-se que o total de pessoas entrevistadas em Campinas foi de 17, que a marca F recebeu 6 escolhas e que a marca C não obteve nenhuma escolha, pode-se concluir que as Página 6 de 12

7 marcas A, B, D e E somam 11 votos. Sabendo que o mínimo de votos que uma destas marcas recebeu foi 2 (pois nenhuma recebeu um voto apenas), conclui-se que o máximo de votos que as marcas A, B, D e E receberam foram 5 votos. Assim, as opções de distribuição são permutações das seguintes possibilidades: Possibilidade 1) Possibilidade 2) Possibilidade 3) Como em todos os casos há repetição de elementos, o total de maneiras de distribuir os 11 votos das marcas A, B, D e E será:!!! Total maneiras 12 3! 2! 3! Total maneiras 20 Resposta da questão 5: Probabilidade se retirar 3 bolas N e 3 bolas S: ,3 1 P1 P6 20 Probabilidade de se retirar 3 bolas L e 3 bolas O: ,3 1 P2 P6 20 Probabilidade de se retirar 2 bolas N, 2 bolas S, 1 bola L e 1 bola O: ,2 1 P3 P6 180 Probabilidade de se retirar 2 bolas L, 2 bolas O, 1 bola N e 1 bola S: ,2 1 P P6 180 Portanto, a probabilidade pedida será dada por: P Resposta da questão 6: a) O número de jogos será o produto do número de jogos em cada fase pelo total de chaves.! C,2 2 2! ( 2) b) O número de possibilidades de distribuir os times nas chaves será dado por: N(E) C C C C 16, 12, 8,, O número de maneiras de Brasil e Alemanha se enfrentarem na primeira fase será dado por: N(A) = C1,2 C12, C8, C,. A multiplicação por garante que Brasil e Alemanha poderão pertencer a qualquer um dos quatro grupos: Portanto, a probabilidade pedida será dadas por: Página 7 de 12

8 1! C1,2 C12, C8, C, 12! 2! 1 P C16, C12, C8, C, 16! 5! 12! c) Vamos calcular a probabilidade de nenhum dos ingressos serem dos jogos do Brasil. Lembrando que o Brasil não participará apenas de 3 jogos na primeira fase P Portanto, a probabilidade de João assistir à pelo menos um dos jogos do Brasil será de: P Resposta da questão 7: [A] A probabilidade de se retirar uma bola é de Se a primeira bola a ser retirada for 1, a probabilidade dela ser maior que a segunda será 0 (zero). Se a primeira bola a ser retirada for o 2, o número da segunda bola poderá ser apenas 1. Se a primeira bola a ser retirada for o 3, os números associados à segunda bola poderão ser 1 ou 2 e assim por diante até quando a primeira bola a ser retirada for o 100, os números associados à segunda bola poderão ser 1, 2, 3,, 97, 98, 99,100. Portanto, a probabilidade pedida será dada por: P P P P P 2 Resposta da questão 8: [E] Calculando a probabilidade de a colher cair sobre o chão virada para cima, pode-se escrever: P(x) 0, Esta probabilidade é a mesma que se obtém, no lançamento de um dado convencional honesto de seis faces, um número maior que 2. Resposta da questão 9: ANULADA Página 8 de 12

9 Questão anulada no gabarito oficial. Número de maneiras distintas de se escolher três números no conjunto considerado: C20, As progressões geométricas de razões inteiras de três elementos escolhidos nos naturais de 1 a 10 são: (1, 2, ), (1, 3, 9), (1,,16), (2,, 8), (2, 6,18), (3, 6,12), (, 8,16) e (5,10, 20), ou seja, 8 PGs. Considerando apenas as progressões de razões inteiras, a probabilidade pedida seria: 8 2 P A questão foi anulada por haver mais três progressões com razões não inteiras. Neste caso, a questão ficaria sem resposta, são elas: (, 6, 9), (8,12,18) e (9,12,16). Resposta da questão 10: [A] O número total de anagramas da palavra HOSPITAL é igual a permutação de 8, ou seja, 8!. O número de anagramas que começam e terminam com consoantes é igual a: 5 P6 5 6! A probabilidade de que, ao sortear-se uma única ficha dessa urna, no anagrama nela marcado as letras inicial e final sejam ambas consoantes será de: 5 6! 5 6! ! 8 7 6! Resposta da questão 11: a) Como Maria jogou apenas um dado e pretende-se verificar a probabilidade do número lançado ser maior que 12, Maria só tem uma possibilidade de sorteio: o icosaedro. Este possui 8 faces numeradas com valores maiores que 12 (faces 13 até 20). Assim, a probabilidade do número lançado ser maior que 12 é: P(x 12) 8% b) Como pretende-se verificar a probabilidade do número lançado ser menor que 5, Maria poderia sortear qualquer um dos 5 dados, pois todos possuem faces com valores menores que 5. Assim, a probabilidade do número lançado ser menor que 5 é: 1 1 Tetraedro P(x 5) Cubo P(x 5) Octaedro P(x 5) P t(x 5) 5% Dodecaedro P(x 5) Icosaedro P(x 5) c) Como João jogou dois dados e pretende-se verificar a probabilidade de os números lançados apresentarem soma maior que 30, João só tem duas possibilidades de sorteio: o Página 9 de 12

10 dodecaedro e icosaedro. Isso porquê qualquer outra combinação não resulta em dados cujas faces somem números maiores que 30 (mesmo o icosaedro e o octaedro somariam no máximo 28). As possíveis somas do dodecaedro e icosaedro maior que 30 seriam: ; e Logo, 3 casos. Portanto, a probabilidade será: Escolha de dados P(x) P(x 30) 12,5% Soma de faces P(x) Resposta da questão 12: [B] Seja n o número de bolas vermelhas que deverão ser colocadas na caixa. Desse modo, como 6 n 6 o número de casos favoráveis é e o número de casos possíveis é, temos ! !! 3 n 6 3 (n 6)! 2 2! (n )! 2 n 11n 60 0 n. Resposta da questão 13: a) Número de triângulos retângulos: Em cada face podemos construir triângulos retângulos distintos, logo: 6 2 triângulos; Se selecionarmos a diagonal do cubo, a aresta e a diagonal da face, teremos 2 triângulos; Portanto, a probabilidade de que o triângulo formado seja retângulo é dada por: PΔRET b) Parte 01 Considere a figura a seguir onde: AB 1, BC 2 e AC 3 Logo, a área do triângulo ABC é: S Δ AB BC m 2 Página 10 de 12

11 Parte 02 Considere o ponto D pertencente ao lado AB. Pelo teorema das bissetrizes internas, temos: AD AC AD 3 AD k 3 DB BC DB 2 DB k 2 Portanto, AB AD DB 1 k 3 k 2 k 1 k Logo, AD k 3 AD AD (3 6) m DB k 2 DB AD ( 6 2) m Resposta da questão 1: a) Pelo gráfico, pode-se calcular a média de homens e mulheres: Mhomens Mhomens 22,5 anos Mmulheres Mmulheres 22,5 anos b) Pelo gráfico, sabe-se que o grupo possui 1 mulheres e 16 homens. Dadas as possibilidades de idade, a soma de idades de um homem e uma mulher escolhidos ao acaso será 9 somente se eles tiverem 2 e 25 anos. Assim, há de se considerar dois cenários: - Mulher com 25 anos e homem com 2 anos 1 P(M25) P(C1) P(H2) 16 - Homem com 25 anos e mulher com 2 anos 3 P(M2) P(C2) P(H25) 16 Logo, escolhendo ao acaso um homem e uma mulher desse grupo, a probabilidade de que a soma de suas idades seja igual a 9 anos será: Página 11 de 12

12 P(total) P(total) Página 12 de 12