RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 3 o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 22/05/10 PROFESSORES: CARIBÉ E ROBERTO CIDREIRA

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1 RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 3 o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 22/05/10 PROFESSORES: CARIBÉ E ROBERTO CIDREIRA Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E, respectivamente A medida do menor arco BE na circunferência construída é: 108º O 108º No pentágono regular ABCDE, cada ângulo interno mede 108º ( n 2) 180º 3 180º a i = = = 108º n 5 No pentágono OBCDE, onde O é o centro da circunferência, temos que: Soma dos ângulos internos: Si = (n 2) 180º = (5 2) 180º = 540º 108º + 108º + 90º + 90º + = 540º = 144º Resposta: 144º

2 Considere um heágono equiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura abaio Calcule a diferença entre as medidas dos segmentos EF e FA Soma dos ângulos internos do heágono: S i = (6 2) 180º = 720º Como o heágono é equiângulo, então cada ângulo interno mede 720º : 6 = 120º Prolongando os lados Neste triângulo temos: PN = MN = MP AB, CD e = Y = Y + X + 20 Logo, Y = 10 e X = 18 Portanto, X Y = 8 EF, formamos o triângulo equilátero MNP Resposta: 8

3 No Japão, numerosos lugares de peregrinação intoístas e budistas abrigam tabuletas matemáticas chamadas de Sangaku, onde estão registrados belos problemas, quase sempre geométricos, que eram oferecidos aos Deuses A figura a seguir, que é uma variante de um eemplar de Sangaku, é composta por cinco círculos que se tangenciam Sabendo que seus diâmetros satisfazem as relações AO = OB = 12 e DF = EC, pode-se concluir que DF é igual a: Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo em destaque, temos: ( + 6) 2 = (12 ) = = 144 = 4 12 F 6 6 Logo, DF = 8 Resposta: 8 Um jogo é formado por 52 fichas, divididas em quatro grupos de cores distintas vermelha, azul, verde e amarela e, em cada grupo, as fichas numeradas de 1 a 13 De quantos modos pode-se distribuir, aleatoriamente, um grupo de 5 fichas a um jogador, sendo que três delas estejam marcadas com o número 8 e as demais com números iguais? Primeiro vamos calcular quantos grupos podemos formar com três fichas 8 e duas fichas 1: C 4;3 C 4;2 = 4 6 = 24 Como as duas fichas com números iguais podem ser iguais a: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 12; 13 (todos os números, menos o oito), então podemos multiplicar o resultado obtido acima por 12 Portanto, temos = 288 possibilidades Resposta: 288

4 Uma partida de futebol entre as equipes A e B terminou com um placar de 3 a 2 para A Não conhecendo a ordem em que os gols foram feitos, pode-se afirmar que a probabilidade de que tenha sido ABABA é igual a: 3;2 5! Casos possíveis: P 5 = = 10 3! 2! Casos favoráveis: ABABA = 1 Probabilidade = 10 1 Resposta: 10 1 Uma caia tem 4 bolas brancas e 5 bolas pretas Qual a probabilidade de, sorteando-se 3 bolas desta caia, encontrarmos 2 bolas brancas e 1 bola preta? Probabilidade = B B P P 3 = Resposta: 14 5

5 Moedas idênticas de 10 centavos de real foram arrumadas sobre uma mesa, obedecendo à disposição apresentada no desenho: uma moeda no centro e as demais formando camadas tangentes Considerando que a última camada é composta por 84 moedas, calcule a quantia, em reais, do total de moedas usadas nessa arrumação 1 a camada: 1 moeda 2 a camada: 6 moedas 3 a camada: 12 moedas 4 a camada: 18 moedas Última camada: 84 moedas Podemos observar que a partir da 2 a camada temos a PA (6; 12; 18; ; 84) onde: a 1 = 6, r = 6 e a n = 84 a n = a 1 + (n 1) r 84 = 6 + (n 1) 6 n = = ( ) Soma: s n = 630 Portanto, com mais um moeda da 1 a camada, temos 631 moedas e R$ 63,10 Resposta: R$ 63,10

6 Para uma partida de futebol, foram colocados à venda três tipos de ingresso: para o setor verde, ao preço de R$ 12,00; para o setor azul, ao preço de R$ 18,00; e para o setor branco, ao preço de R$ 25,00 Sabendo que torcedores pagaram R$ ,00 para assistir essa partida, sendo que o número de ingressos vendidos para o setor verde foi o dobro do número de ingressos vendidos para o setor azul, podemos concluir que: FALTA RESOLUÇÃO Se = a, y = b, z = c é solução de + 5y + 2z = y = 1, então a + b + c vale: + 4y + 2z = 7 FALTA RESOLUÇÃO

7 Dispomos de 4 cores distintas e temos que colorir o mapa mostrado na figura com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras é possível colorir o mapa? Supondo que P e S tenham cores diferentes, temos: 4 (P) 3 (Q) 2 (S) 2 (R) = 48 maneiras Supondo que P e S tenham a mesma cor, temos: 4 (P) 3 (Q) 1 (S) 3 (R) = 36 maneiras Portanto, podemos colorir o mapa de 84 maneiras