ESTRATÉGIAS PARA CÁLCULO DE ÁREAS DESCONHECIDAS

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1 1 MATEMÁTICA III º ANO ESTRATÉGIAS PARA CÁLCULO DE ÁREAS DESCONHECIDAS 1. Após assistir ao programa Ecoprático, da TV Cultura, em que foi abordado o tema do aproveitamento da iluminação e da ventilação naturais do ambiente, Dona Maria decidiu ampliar a janela de sua cozinha. A janela retangular teve o seu comprimento dobrado e teve a sua altura aumentada em 50%, mantendo a forma retangular. Logo, a área da janela aumentou em 100%. 150%. c) 00%. d) 50%. e) 300%.. Nas construções, uma das funções das janelas é a de promover a ventilação natural dos ambientes, como recurso para o controle de temperatura e da qualidade do ar interior. De acordo com especificações técnicas de uma determinada cidade, a área da janela da sala de uma residência deve ser igual a, pelo menos, 0% da área do piso dessa sala. Em uma casa dessa cidade, na sala cujo piso tem a forma de um retângulo,5m x 6,0 m, será instalada uma janela retangular de N metros de largura por 1,80 m de altura. Nessas condições, para que as especificações mínimas sejam atendidas, o valor de N deve ser 1,0. 1,5. c),0. d),5. e) 3,0.. Se a área de um retângulo, cujos lados são denominados a e b, em que a > b, é igual a 10 m e seu perímetro é igual a 5 m, então, é correto afirmar que a b = 0. a b =. c) a b = 1. d) a b = A figura abaixo representa o vitral de uma janela quadrada ABCD de área S, em que cada lado esta dividido em três segmentos congruentes. Retirando-se os quatro triângulos sombreados, obtém-se um octógono, cuja área é 7 S 9 5 S 8 c) d) 3 S S 3 6. Na sequência de quadrados abaixo representada, as medidas dos lados dos quadrados são números consecutivos. Nesta sequência de quadrados, a soma das áreas dos três menores é igual à soma das áreas dos dois maiores. 3. O quadrado ABCD está dividido em nove quadrados iguais. Seu lado mede 15 cm. Simbolizando a medida do lado do quadrado menor por n, escreva a equação que descreve a propriedade mencionada no texto acima. Determine as medidas dos lados desses quadrados. Utilizando o Teorema de Pitágoras, determine a medida do lado do quadrado PQRS. Calcule a razão entre as áreas dos quadrados ABCD e PQRS, nesta ordem.

2 7. Um recurso visual muito utilizado para apresentar as quantidades relativas dos diferentes grupos de alimentos na composição de uma dieta equilibrada é a chamada pirâmide alimentar, que usualmente é representada por um triângulo dividido em regiões, como na figura a seguir. Considere que as regiões da figura dividem a altura do triângulo em partes iguais. No que se refere às áreas das regiões ocupadas por cada grupo de alimentos, o grupo com predominância de carboidratos ocupa sete terços da área do grupo com predominância de proteínas. cinco sétimos da área do grupo com predominância de fibras. c) um sétimo da área do grupo com predominância de lipídios. d) o dobro da área do grupo com predominância de proteínas. e) cinco sétimos da área do grupo com predominância de vitaminas e sais minerais. 8. Para preparar biscoitos circulares, após abrir a massa formando um retângulo de 0cm de largura por 0cm de comprimento, dona Maria usou um cortador circular de cm de diâmetro, dispondo-o lado a lado várias vezes sobre toda a massa para cortar os biscoitos, conforme a figura. Considere que: os círculos que estão lado a lado são tangentes entre si e completam todo o retângulo com o padrão apresentado; os círculos das bordas são tangentes aos lados do retângulo. Com a sobra de massa, dona Maria abre um novo retângulo, de mesma espessura que o anterior, para cortar mais biscoitos. Assim sendo, desconsiderando a espessura da massa, as dimensões desse novo retângulo podem ser 8cm x 30xm 8cm x 5cm c) 9cm x cm d) 10cm x cm e) 10cm x 1cm Dados: área do círculo de raio r:, adote: 9. Na figura abaixo, tem-se um portão em arco em que o triângulo ABE está inscrito na semicircunferência de diâmetro AB e as medidas dos segmentos AE, BE, e AD são, respectivamente, 0 dm, 3000 mm e 00 cm. Com base nesses dados, a área sombreada, em m, é de c) 5 0. d) A figura representa dois semicírculos com o diâmetro em dois lados consecutivos de um quadrado. Sabendo-se que a diagonal do quadrado mede 3 8 cm, a área da figura, em centímetros quadrados, é igual a (adote ) c) 5. d) 5. e) Um parque ecológico com formato circular, cujo diâmetro AC mede 500 metros, tem 3 entradas M, N e P que dão acesso ao espaço triangular ABC, reservado ao plantio de árvores, conforme figura abaixo. Considere. Se o lado BC do triângulo mede 300 m, então, a área do parque, externa ao espaço plantado, em, é igual a c) d)

3 3 1. Considere a área S da parte sombreada no triângulo retângulo isósceles OO1O. AD, AB e BC são arcos de circunferência com centros em O, O e O 1 respectivamente, cujos raios medem r. Das figuras abaixo, a única em que a área sombreada NÃO é igual a S, é Circunferência de diâmetro AB e semicircunferências de diâmetros OA e OB 1. Observe a figura abaixo. No quadrado ABCD de lado, os lados AB e BC são diâmetros dos semicírculos. A área da região sombreada é 3.. c) 3. d). e) Em.000 a. C, os egípcios já sabiam calcular o valor aproximado de. No documento conhecido hoje como Papiro de Rhind, o escriba Ahmes fez o registro de 6 problemas geométricos. Num deles, encontra-se descrito o procedimento utilizado, na época, para o cálculo da área de um círculo: Corte 1/9 do diâmetro de um círculo e construa um quadrado com o restante. Esse quadrado tem a mesma área do círculo. Circunferência de centro O c) Circunferência de centro O d) Circunferência de centro O inscrita num quadrado. Dois setores circulares de raio r 13. Uma circunferência de raio tangencia outra e dois de seus raios, conforme figura seguinte. O valor da área hachurada é 3 ( 1) c) ( 3) d) ( 1) Vamos verificar a precisão dos cálculos egípcios! Suponha que o diâmetro do círculo mede 18 cm. Calcule a medida da área do quadrado representado acima. Supondo que as áreas do quadrado e do círculo tenham a mesma medida, como admitiam os egípcios, encontre o valor de utilizado por eles, com aproximação até a ª casa decimal. c) Considerando o valor atual de, utilizamos frequentemente a aproximação 3,1. Qual a diferença percentual entre este valor e o utilizado pelos egípcios? (Escreva sua resposta com aproximação de duas casas decimais)

4 Resoluções Resposta da questão 1: [C] Resposta da questão 7: [A] A 1 = b.h A = b.1,5h = 3.bh Aumento de bh, ou seja, 00%. Resposta da questão : [E] 0% da área da sala deve ser igual à área da janela. 0% 5 6 = n 18 5, = 1,8 n n = 3m Resposta da questão 3: x = x = 5 5 cm = 9. 5 A 1 = (b.h)/ A = (b+.h/ = (3bh)/ A 3 = (b+3.h/ = (5bh)/ A = (3b+.h/ = (7bh)/ Portanto, a alternativa correta é a [A], sete terços da área do grupo com predominância de proteínas. Resposta da questão 8: [B] Resposta da questão : [C] { { { Substituindo (1) em (), temos Se, Se, (não convém, pois ) Portanto, a b = 0 6 = 1. Total de biscoitos retirados no comprimento: 0/ =10 Total de biscoitos retirados na largura: 0/ =5 Total de biscoitos retirados: 5/10 = 50 Área restante em cm : A = 0 0 = 00 cm Com 00 cm de massa será possível formar um retângulo de dimensões 8 por 5 cm, já que Resposta da questão 9: [A] cm. Resposta da questão 5: [A] S 9S S 7S S Resposta da questão 6: Resolvendo a equação do item a temos: n + n + n n + n + = n + 6n n + 8n n + 6n + 5 = n + 1n + 5 n - 8n 0 = 0, resolvendo temos: n =10 ou n = - (não convém) Logo, os lados são 10, 11, 1, 13 e 1. AB = + 3 AB = 5m 0 dm = m, 3000 mm = 3 m e 00 cm = m O Triângulo AEB é retângulo em B, inscrito na semicircunferência e um de seus lados como diâmetro. Área do semicírculo: Área do retângulo: 5 = 10 m Área da região assinalada: A = 10 m m, 8

5 5 Resposta da questão 10: [B] A área pedida é a soma das áreas do quadrado de lado cm e do círculo de raio r 3cm. Portanto, a área é igual a: r cm. Resposta da questão 11: [B] A = área do círculo área do triângulo A A A m Resposta da questão 1: [D] Área S é igual à área de um semicírculo de raio r Resposta da questão 13: [D] OB = (diagonal do quadrado) Logo, o raio do setor será +. Calculando a área assinalada: A.. A. 1 1 A. 1 Resposta da questão 1: [E] Considere a figura ao lado. Traçando EG AD e FH AB dividimos o quadrado ABCD em quatro quadrados de lado 1. Assim, a área da região sombreada corresponde à diferença entre o triplo da área do quadrado PFCG, e a área do semicírculo de raio 1, ou seja, Resposta da questão 15: m , 16 3,16 3,1 c) 0,6% 3,1 A figura da alternativa [D] é a única que não é equivalente a um semicírculo de raio r, pois é equivalente a um semicírculo de raio r.

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