BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS

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BANCO DE EXERCÍCIOS - HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 1 GABARITO COMENTADO 1) OBS: Dado um

são equivalentes. Percebe-se que a área da região hachurada é equivalente à área de um setor circular de 5.

e DBM são iguais. É fácil observar que o ângulo MBN mede 60.

Como BN = ( ) + ( 6 ) 3 BN = 1 ; daí, a área do triângulo BMN = ( 1) = 1 3 cm 5 Como BN = ( )+ ( 6) 3 BN = 1 ; daí, a área do triângulo

Pelo teorema de Ptolomeu temos: bc / + ab / = 6b. daí temos: a + c = 6. A área de ABCO = ac + b.

1 BANCO DE EXERCÍCIOS - HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 1 GABARITO COMENTADO 1) OBS: Dado um trapézio, quando traçamos as diagonais, o mesmo fica decomposto em triângulos sendo que os triângulos que contém os lados não paralelos são equivalentes. Percebe-se que a área da região hachurada é equivalente à área de um setor circular de 5. Daí; S setor = π 6 ; s = 5, π 8 ) Observe que o triângulo BDF é equilátero e os triângulos BMD e BFN são congruentes, onde os ângulos FBN e DBM são iguais. É fácil observar que o ângulo MBN mede 60. Como BM =BN e o ângulo formado por eles é de 60, pode-se afirmar que BM = BN = MN. Como BN = ( ) + ( 6 ) 3 BN = 1 ; daí, a área do triângulo BMN = ( 1) = 1 3 cm 5 Como BN = ( )+ ( 6) 3 BN = 1 ; daí, a área do triângulo BMN = ( 1) = 1 3 cm 5 3) Observe que o quadrilátero ABCO é inscritível. Sejam a, b e c os lados do triângulo retângulo ABC. Pelo teorema de Ptolomeu temos: bc / + ab / = 6b. daí temos: a + c = 6. A área de ABCO = ac + b. 1/ = ac b + A área de ABCO = 1 6 ( ) ( a + c) = 18 u.a. ) Unindo se os pontos médios dos lados, é fácil observar que: Note que a Área (BFD) = Área (AFE) = Área (CED) = Área (EFD) = 1 Os triângulos BFD e FAE são congruentes; O triângulo EDM é congruente com o triângulo FBH; E o triângulo FGE também é congruente ao triângulo BHD. Então Área (EGFHDM) = Área (EFD) + Área (FBD) =

2 5) Como a área do triângulo PCD é igual a área do triângulo PBO, podemos afirmar que a área da região hachurada é igual a área do setor circular de 5. Daí, S = 36 π/8 =,5 π cm 6) A área do octógono é dado pela expressão S = a 8 S = 3 5 ou seja: ( ) /8 = 5 8 = 15/16 7) Utilizando o teorema dos cossenos, temos: o x = cos10 x = 3 o y = cos10 y = 7 A = A1+ A + A x. 3 y. 3 S = S = + + = 1. 3 B = = B 13 Logo, = =. S ) A área do triângulo PBC é dada por: (PBC) = PC BC senpcb. ˆ k Além disso, se AM = BM AM =, temos: BM + AM = 3 AM + AM = AM = k. 3 3k BM = Como AC é diagonal do quadrado ABCD, segue que PCB ˆ = 5 e AC = k. Os triângulos NQC e NMB são semelhantes por AAA. Desse modo, QC NC QC k 3k = = QC =. BM NB 3k k 8 Os triângulos APM e PQC são semelhantes por AAA. Logo, 3k PC QC PC = = 8 AP = PC. Daí, AP AM AP k 3 3k AC = AP + PC = PC + PC = k PC =. Por conseguinte, k 3k (PBC) = k sen5 = e, assim, a porcentagem pedida é: k (PBC) = 10 = 100% 30%. (ABCD) k

3 3 9) Seja S a área do triângulo BOP. Como PC = BP, segue que (OPC) =. (BOP) e (APC) =. (BAP). Além disso, como ABC é isósceles de base AB, e M é ponto médio de AB, temos que (BOP) = (AOQ), (COP) = (COQ) e (BOM) = (AOM). Portanto, (APC) = (BAP) (AOQ) + (COP) = [ (BOM) + (BOP)] S+ S = ( 5+ S) 9S = 0 + S S = 8cm. 10) Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de D sobre BE. Sabendo que AF = 15cm, AG = 1cm e AB = EG = 6cm, pelo Teorema de Pitágoras, vem EF = GF + EG EF = Logo, dado que DF EF = 3 5 EF = 3 5 cm. = 5 5 cm, obtemos ED = = 5cm. Assim, como os triângulos FGE e EHD são semelhantes, encontramos DH DE DH 5 = = EG EF DH = cm. Desse modo, a área pedida, em cm, é dada por (15 + 1) (1 + 3) (ABEF) + (BCDE) = 6 + = = 111. Por conseguinte, se x é a área real da APP, então = x x = x = km. OPÇÃO E 11) Calculando o valor de x, temos: x+ x + x = 6 x( + ) = 6 6 x = + x = 3 ( ) Portanto, a área do octógono será calculada por : A = 6 x.x (área do quadrado) (área dos triângulos retângulos de catetos x) A = 36 x A = 36 (3 ( )) A = 36 18( + ) A = 7 ( 1)

1) AB 1, 5 0, 0, 68 1, 1, 55 ABD ~ DEC : = AB = 0,68 e A = = 0,51 m,5 5,5 ABD FG 1 1 FGH ~ HIC : FG 0,667 e = 3 = A 0,667 1 = = 0,33 m FGH Área da

1 = 3,75 m Área não coberta pela câmera em porcentagem: 3, 75 051, 0, 33 3, 75 = 96,6% 13) Cálculo da área do octógono regular: x + x = x =

4 1) AB 1, 5 0, 0, 68 1, 1, 55 ABD ~ DEC : = AB = 0,68 e A = = 0,51 m,5 5,5 ABD FG 1 1 FGH ~ HIC : FG 0,667 e = 3 = A 0,667 1 = = 0,33 m FGH Área da loja: A =. 7 1,5. 1 = 3,75 m Área não coberta pela câmera em porcentagem: 3, , 0, 33 3, 75 = 96,6% 13) Cálculo da área do octógono regular: x + x = x = Portanto, a área A 1 do octógono regular será dada por: x A1 = ( + x) A1 = ( + ) = Cálculo da área A dos oito semicírculos: π 1 A = 8 = π Logo, a área da figura será dada por: A = A 1 + A A = π. 1) Prolongue BE até CD em F. Prolongue BE até CD em F. E fácil ver que S (AEC) = S (BAE) = 0,5 pois F é o ponto médio de CD > S (BCF) = S (BDF) = S (CEF) = -0,5 = 1,5 Como CEF é semelhante ao CAD, assim, as proporções das áreas é de = > S (CAD) = 6 S (ABCD) = S (ABC) + S (CAD) = = ) = N N = N = 11, Ou seja, N é aproximadamente 11.

5 5 16) Importante observar que a figura não mostra o círculo circunscrito ao pentágono regular, mas, sim, cinco segmentos circulares, como o da figura abaixo. Tirando a área do triângulo equilátero da área do setor circular, encontra-se a área do segmento circular. Multiplicando este resultado por cinco, tem-se a área pedida. π.a.60 a. 3 5.a π 3 AT = 5. = ) A área do quadrado ABCD é igual a 1 = 1 u.a. 3 A figura escura é constituída por 16 losangos de diagonais 3 e. Logo, sua área é dada por 16 = 8 u.a. 8 1 Portanto, o resultado é = ) A razão pedida é dada por DB π. 1 DB =.. π.oc OC 1 Sabemos que AC = BC e AC = OC. Logo, BC = OC. Além disso, AB = AC BC 1 = OC OC 3 = OC. Como AC é diâmetro da semicircunferência de centro em O, segue que o triângulo ADC é retângulo em D. Consequentemente, pelas relações métricas no triângulo retângulo, vem BD = AB BC 3 1 = OC OC 3 = OC. Portanto, a razão pedida é igual a 3 OC 1 DB 1 3 = =. OC OC 8 19) Total de biscoitos retirados no comprimento: 0/ =10 Total de biscoitos retirados na largura: 0/ =5 Total de biscoitos retirados: 5/10 = 50 Área restante em cm : A = = 00 cm Com 00 cm de massa será possível formar um retângulo de dimensões 8 por 5 cm, já que 8. 5 = 00 cm.

6 6 0) A = (1.6,5) = cm = 55 m. 1) Calculando as áreas dos ambientes, obtemos S = 8 5 = 0 m, I S = (1 8) 5 = 30 m, II S = (1 8) (9 5) = m III e (1 8) + SIV = 7 = 35 m. Desse modo, como Jorge quer gastar o mínimo com gás, ele deverá instalar duas unidades do tipo A (ambientes II e III) e duas unidades do tipo B (ambientes I e IV). ) A razão da P.G. formada pelos raios será dada por 3r = 3, portanto o raio da terceira circunferência será 9r. r Calculando agora as áreas assinaladas A 1 e A : A = A 1 + A ( r r ) A = + 9 π π 5π 61π A = π r + = 8 8 ( r ) π 3 3) AC = AC = 0 AOD ACM R 1 = 16 R R = 6 0 Área que será pintada. A = A = 50.πR = = 8600 cm Número de potes = = 9 ) Sejam r I, r II e r III os raios das tampas. 1 Como os círculos são tangentes, segue que o raio de cada um dos três tipos de tampa é dado por =, n n em que n é o número de círculos tangentes a um dos lados da chapa. Desse modo, as sobras de cada chapa são respectivamente iguais a 1 π ri = π = π, 1 1 π rii = π = π e 1 16 π riii = 16 π = π. Portanto, as três entidades recebem iguais quantidades de material. OPÇÃO E

7 5) Área do lote: 0.(1 + 18) = 600 m Área construída: ( x + 1 ). 0 = 10x + 10 De acordo com o enunciado, temos: 0 100 600 10x+ 10 60 600 0 10 10 360 10 10 0 1 100 x+ x x Portanto, x [1,].

7 7 5) Área do lote: 0.(1 + 18) = 600 m Área construída: ( x + 1 ). 0 = 10x + 10 De acordo com o enunciado, temos: x x+ x x Portanto, x [1,]. OPÇÃO E 6) Admitindo x, y e z os raios das circunferências de centros A,B e C, respectivamente, temos: x+ y = 9 y + z = 8 x + z = 6 Resolvendo o sistema, temos: x = 3/, y = 11/ e z = 5/. Calculando, agora, a soma das áreas de todos os círculos, temos: A = + + π 7 π 11 π 5 = 195π km. 7) Sabendo que o ângulo interno de um octógono regular mede 135, segue-se que os quatro triângulos, resultantes 8) da decomposição do octógono, são retângulos isósceles de catetos iguais a a. Logo, como a área do quadrado destacado no centro do octógono é S = a, tem-se que o resultado pedido é 1 a a + a a S = a + a + S = S + S = S( + 1). h + 5 = 10 h = h = 75 h = 5 3cm Portanto, a área da bandeirinha será: A = = = 5(6 3)cm

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