SIMULADO_2009 DE MATEMÁTICA APLICADO ÀS TURMAS DO 3 O ANO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO ANCHIETA EM MARÇO DE 2009.

Transcrição

1 SIMULADO_9 DE MATEMÁTICA APLICADO ÀS TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO ANCHIETA EM MARÇO DE 9 ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C GOUVEIA QUESTÕES DE A 8 Identifique as proposições verdadeiras, some os resultados obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas: Na figura, os círculos de raios R = cm e r = cm, são tangentes eteriormente, e a reta AC é tangente comum a esses círculos É verdade que: QUESTÃO () CM = CP () CP = cm () O ângulo A ĈM mede 5 (8) AB = () O comprimento do arco AN de medida menor que 9 o é cm () A área do trapéio ABPM é inferior a 9% da área do triângulo ACM ) (BC) = (CQ)(CP) () VERDADEIRA (justificativa acima) () VERDADEIRA (Idem) Os triângulos retângulos CAM e CBP são semelhantes pois m(a ĈM) m(bĉp), logo os lados homólogos (correspondentes) são proporcionais: 8 CP = = cm Assim, no triângulo retângulo CBP: = + = + BC = = cm Sendo a raão entre os lados correspondentes dos triângulos CAM e CBP, então AC = = cm () Falsa, pois o triângulo retângulo ACM não é isósceles

2 (8) VERDADEIRA Pela figura original vê-se que: AB = AC BC AB = () Falsa No triângulo retângulo CAM, tem-se cos = o comprimento do arco AN é ( ) cm () VERDADEIRA A área do trapéio ABPM é: AM BP AB A área do triângulo CAM é: S = cm S = AM MC sen 8 cm S S ABPM CAM 8 =, % < 9% 8 9 () Falsa CM = ; CQ = CM PM = ( + ) = e CP = (BC) = (CQ)(CP) = = Logo, (BC) (CQ)(CP)

3 QUESTÃO O gráfico ao lado representa um polinômio do terceiro grau e é tangente ao eio dos no ponto de abscissa Sabe-se que o resto da divisão de p() por ( ) é igual a Pode-se afirmar que: ) O coeficiente do termo em é ) O resto da divisão de p() por ( ) é 8 ) A medida de OA é igual ao termo independente de p() e é igual a 8) p 5 ) p() = 8 + ) A soma das raíes do polinômio q() = p() + é igual a /8 Como o gráfico de p() corta o eio O no ponto de abscissa e o tangencia no ponto de abscissa, então é uma rai simples e, uma rai de multiplicidade desse polinômio, pode-se escrever: p() = a ( +)( ) Como o resto da divisão de p() por ( ) igual a : p() = a( + )( ) = 5a = a = p() = ( +)( ) = 8 + () Falsa O coeficiente do termo em é () VERDADEIRA p() = () () 8() + = 8 () VERDADEIRA Sendo o ponto A = (, ) AO = (8) Falsa p Sendo positivos os três fatores de p, então o produto é maior que ero 5 () VERDADEIRA Desenvolvimento inicial da resolução ) VERDADEIRA q() = p() + = = + q() = + Então a soma dos inversos de suas raíes é: 8

4 QUESTÃO Considere as matries A = É verdade que: e B = () Se A é inversível, então = () Se deta = e detb =, então () detb (8) Se a matri A não é inversível então det(a) = 9 () Se detb, então = () (A + I) = A A + AI + I = A A = I () Falsa Se A é inversível, então deta = + () Falsa Sendo deta = = = = = / Sendo detb = + = = = / Desenvolvendo a igualdade: 5 Substituindo, na última igualdade, por / e por /: + = 7

5 () VERDADEIRA detb (8) Falsa Se a matri A de ordem não é inversível, então seu determinante é nulo e então det(a) = deta = = () VERDADEIRA detb = 8 B det () VERDADEIRA (A + I) = A A + AI + I = A A + I = A = I A = I QUESTÃO Sobre determinantes e matries é verdade que: ) A soma dos elementos da matri X solução da equação AX = B, onde A = e B = é igual a ) O sistema homogêneo a é indeterminado se a = ) O sistema equivale ao sistema escalonado 8) (,, );, é solução geral do sistema ) O sistema a a é determinado a ) Se A e B são matries inversíveis e A é simétrica, então (A t B ) = BA ) VERDADEIRA AX = B A AX = A B X = A B X = X = cuja soma dos elementos é igual a

6 ) Falsa Um sistema homogêneo é indeterminado quando além da solução trivial apresenta outras infinitas soluções, isto é, quando o determinante da matri formada pelos coeficientes das suas variáveis é nulo Assim a a a a a ) Falsa Escalonando o sistema: Substituindo a linha por L + L e a linha por L + L tem-se: Nesta última matri substituindo a linha por: L + L tem-se o sistema: (8) VERDADEIRA No sistema,repetindo L e substituindo L por L + L : Faendo = : S = (,, ); () VERDADEIRA Para o sistema a a ser determinado, a, a a a que é verdadeiro para a () VERDADEIRA Se A e B são matries inversíveis e A é simétrica, então (A t B ) = BA Sendo A uma matri simétrica, A t = A, então (A t B ) = (A B ) (A t B ) = (A B ) Como a matri (M N ) = N M, então (A B ) = (B ) A = BA

7 QUESTÃO 5 O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realiados no Rio de Janeiro foi, sendo 8 países da América Central, da América do Norte, da América do Sul e 9 do Caribe Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem () Há, no máimo, 9 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7 países diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo da América do Sul, da América Central e do Caribe () Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central participantes dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos países da América Central é inferior a 8 () Considerando-se que, no judô, havia eatamente atleta de cada país da América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois atletas desse continente competirem entre si é igual a (8) Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas atletas, sendo de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de classificação no o, o e o lugares foi igual a () Considere que um decorador deva usar 7 faias coloridas de dimensões iguais, pendurando-as lado a lado verticalmente na entrada de um estádio para produir diversas formas Nessa situação, se faias são verdes e indistinguíveis, faias são amarelas e indistinguíveis e faia é branca, esse decorador conseguirá produir, no máimo, formas diferentes com essas faias () Falsa Na formação das equipes desse item, a ordem dos elementos não é importante, mas apenas a naturea dos elementos, portanto: n = C, C8, C9, () Falsa C8,5 C8, C, C8, C, 5 8 () VERDADEIRA C, (8) VERDADEIRA O número de possibilidades diferentes de classificação no o, o e o lugares é determinado por A, ou P =! = =

8 () VERDADEIRA Se das 7 faias são verdes e indistinguíveis e outras são amarelas e indistinguíveis, e somente uma delas é branca então o decorador o decorador conseguirá produir, no P7 7! 7 5 máimo, n = formas diferentes com essas faias P P!! QUESTÃO Foram colocadas numa caia 9 bolas brancas, numeradas de a 9; 9 bolas vermelhas, numeradas de a 9 e 9 bolas auis, numeradas de a 9 Podemos afirmar: () A probabilidade de, sorteando-se uma bola desta caia, encontrarmos uma bola ímpar é 9 5 () A probabilidade de, sorteando-se uma bola desta caia, encontrarmos a bola branca de número 7 é 9 () A probabilidade de, sorteando-se uma bola desta caia, encontrarmos bola par ou vermelha é 9 7 (8) A probabilidade de, sorteando-se três bolas desta caia, encontrarmos uma bola de 8 cada cor é 5 () A probabilidade de, sorteando-se três bolas brancas desta caia, encontrarmos três números cuja soma seja ímpar é () VERDADEIRA Na caia eistem 7 bolas numeradas, com números pares (,,, 8) e 5 com números ímpares (,, 5, 7, 9), logo a probabilidade de sorteando-se bola desta caia, 5 5 encontrarmos bola ímpar é p = 7 9 () Falsa A probabilidade de, sorteando-se bola desta caia, encontrarmos a bola branca de número 7 é 7

9 () Falsa A probabilidade de, sorteando-se bola desta caia, encontrarmos bola par ou vermelha é: 9 7 p(a B) p(a) p(b) p(a B) (8) VERDADEIRA ! () Falsa Para que a soma de três números inteiros seja ímpar é necessário que os três sejam ímpares ou então que dois sejam pares e um ímpar P P I P I P I P P I I I QUESTÃO 7 Sobre o desenvolvimento do binômio de, podemos afirmar que:, segundo as potências decrescentes () Apresenta sete termos () A soma dos coeficientes é () Os coeficientes dos termos eqüidistantes dos etremos são iguais (8) O termo médio é () O termo independente é () VERDADEIRA Pois + = 7 () Falsa A soma dos coeficientes de p() = é p() =

10 () Falsa No eemplo em questão é falso pois somente são iguais os coeficientes polinomiais dos termos equidistantes dos etremos são iguais Por eemplo: T = T + = e 5-9 T = T 5+ = 9 5 (8) VERDADEIRA 5 Como o desenvolvimento de tem 7 termos, o termo médio é o de ordem 7, logo, T = T + = 8 () VERDADEIRA p p p p p p T p+ = p é o termo geral do desenvolvimento de p p No termo independente de, p p p Assim o termo independente é T + = 5 QUESTÃO 8 Sejam e dois planos perpendiculares e r = a reta de interseção desses planos É verdade que: () Se uma reta é paralela ao plano, então é paralela ao plano () Se t // ( ), t, t, então t // e t // () Se A e B, então a reta definida pelos pontos A e B é reversa à reta r = (8) Se s, s, então s // () Se P e as retas distintas s e t possuem o ponto P e são paralelas ao plano, então o plano definido por essas retas é perpendicular ao plano () Se o plano é paralelo à reta r =, então as retas e são paralelas

11 () Falsa A reta s ( figura ao lado) é paralela ao plano, mas é concorrente com o plano () VERDADEIRA t // r = ( ), t, t, e t // e t // () Falsa A e B, mas a reta definida pelos pontos A e B (figura ao lado) é concorrente à reta r = no ponto B (8) VERDADEIRA A reta s é concorrente à reta u no ponto P; s t, s u,, s, então s // () VERDADEIRA P e as retas distintas s e t possuem o ponto P e são paralelas ao plano, logo o plano definido por essas retas é paralelo ao plano e portanto é perpendicular ao plano

12 () Falsa FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA : // r =, mas =, pois //; (contra-eemplo) FIGURA : // r =, mas =, pois //; (contra-eemplo) FIGURA : // r = e s = e t = são paralelas (eemplo) QUESTÃO 9 Considere as matries C e B, A Sabendo que a matri AB C t não tem inversa, calcule o quádruplo do produto dos possíveis valores de Se a matri AB C t não tem inversa, então det(ab C t ) = det(ab C t ) = det(a)det(b )det C t = detadet(b )det C = deta =, detb = det(b ) = det C = detadet(b )det C = 8 (+) (+) = (+)((+) = = ou = = RESPOSTA:

13 QUESTÃO Uma pessoa aplica % de seu capital, na data de hoje, a uma taa de juros simples de % ao ano, durante meses Aplica o restante, na mesma data, à taa de juros compostos de % ao trimestre, durante semestre Sabendo-se que a soma dos montantes obtidos através destas duas operações é igual a R$ 5,, calcule o valor do capital inicial total que esta pessoa possui na data de hoje, em milhares de reais Na primeira informação, como o capital foi aplicado a uma taa de juros simples anual e por meses, o montante será então calculado por uma das seguintes relações: Cim Cis M C ou M C Na segunda informação, como o capital foi aplicado a uma taa de juros compostos trimestral por meses, o montante será calculado pela relação: M C i t CAPITAL De,C aplicado a juros simples,c aplicado a juros compostos MONTANTE M =,C +,C (,/) M =,C,,C +,C,5 +,C, = 5 55 RESPOSTA: O capital inicial total foi de R$55,, portanto 55 milhares de reais