QUESTÕES DE 01 A 08. Assinale as proposições verdadeiras, some os resultados obtidos e marque na Folha de Respostas.

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1 PROVA APLICADA ÀS TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO ANCHIETA AGOSTO_UIII_ DE 9. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÕES DE A 8. Assinale as proposições verdadeiras, some os resultados obtidos e marque na Folha de Respostas. QUESTÃO. Uma das glebas de um loteamento é constituída pelos lotes I, II e III, cujas dimensões, na escala :, estão indicadas na figura ao lado. È verdade que: () A área da gleba é de m². () Se as áreas dos lotes I, II e III, forem proporcionais, respectivamente, aos números, e, então a área do lote III é 4m. (4) Se na proposição anterior as áreas forem inversamente proporcionais aos números, e, respectivamente, então a área do lote III será m. (8) Se a área do lote I é % a mais que a área do lote II que por sua ve, é 8% da área do lote III, então a área deste lote é superior a 4m. (6) Se as áreas dos lotes I, II e III, formam, nesta ordem, uma progressão aritmética, então a área do lote II é maior que m. () Se, na proporção anterior, a progressão for geométrica de raão, então a área do lote I será superior a 4m. () VERDADEIRA Cálculo da área integral do terreno. I. Cálculo das dimensões do terreno representado, na figura à direita, pelo retângulo ABCD onde AB = e BC =. Se a escala representa a raão entre a dimensão da planta e a sua correspondente no terreno. cm m e cm m II. Cálculo da área do terreno: S = ( ) m² = m². () VERDADEIRA. Sendo as áreas dos lotes I, II e III, proporcionais, respectivamente, aos números, e, então podem ser representadas por a, a e a. Logo: a + a + a = m a = m² a = m² a = 4m². 9-9(M)_ªAval-Matem-ºEM-U(prof)_-4_ado

2 (4) FALSA. Sendo as áreas dos lotes I, II e III, inversamente proporcionais aos números, e, então podem ser a a representadas, respectivamente, por a, e. a a a Logo: a a a a a m². (8) FALSA. Pelos dados tem-se: S II =,8S III e S I =,S II =,,8S III =,96 S III. Logo:,96 S III +,8 S III + S III =,6 S III = S III 6, m² < 4m². (6) VERDADEIRA. Se as áreas dos lotes I, II e III, formam, nesta ordem, uma progressão aritmética, então pode-se representalas, respectivamente, por a r, a e a + r. Logo: a r + a + a + r = a = a,. Assim a área do lote II é maior que m. () VERDADEIRA. Se as áreas dos lotes I, II e III, formam, nesta ordem, uma progressão for geométrica de raão, então podem ser representadas por a, a e 4a. Logo: a + a + 4a = a = a 4,86 m² >4m. QUESTÃO. (FCC-Adaptada) Numa ilha dos mares do Sul convivem três raças distintas de ilhéus: os el(s) só mentem, os del(s) só falam a verdade e os mel(s) alternadamente falam verdades e mentiras ou seja, uma verdade, uma mentira, uma verdade, uma mentira, mas não se sabe se começaram falando uma ou outra. Nos encontramos com três nativos, Sr. A, Sr. B, Sr. C, um de cada uma das raças. Observe bem o diálogo que travamos com o Sr. C. Nós: Sr. C, o senhor é da raça el, del ou mel? Sr. C: Eu sou mel. (ª resposta) Nós: Sr. C, e o senhor A, de que raça é? Sr. C: Ele é el. (ª resposta) Nós: Mas então o Sr. B é Del, não é isso, Sr. C? Sr. C: Claro, senhor! (ª resposta) Nessas condições é verdade que: () O Sr. A é da raça el () O Sr. A é da raça del (4) O Sr. A é da raça mel (8) O Sr. B é da raça el (6) O Sr. B é da raça del () O Sr. B é da raça mel (64) Com base nas informações do enunciado da questão e no dialogo travado com o Sr. C nada podemos concluir sobre as raças dos senhores A e B ) Supondo que o Sr. C seja DEL (somente falam a verdade). Ao responder à primeira pergunta: Eu sou MEL, estaria mentindo. O que leva a uma contradição. Logo o Sr. C não é DEL. ) Supondo que o Sr. C seja MEL (falam alternadamente verdades e mentiras). i) Ao responder à primeira pergunta: Eu sou MEL: A N B N C N N S 9-9(M)_ªAval-Matem-ºEM-U(prof)_-4_ado

3 ii) Supondo que falou a verdade, a sua próima resposta será mentira, e ao responder à segunda pergunta: A é ZEL, estará mentindo, ou seja A não é ZEL: A S N N B N C N S S iii) Ao responder à terceira pergunta afirmando que o Sr. B é DEL: A S N N B S N C N S S Analisando a tabela final observamos uma contradição. Logo o argumento não é válido. ) Supondo que o Sr. C seja ZEL (somente falam mentiras). i) Ao responder à primeira pergunta: Eu sou MEL estaria mentindo: A B C N S N ii) Ao responder à segunda pergunta: A é ZEL, mentiu, ou seja A não é ZEL: A S N B N N C N S N iii) Ao responder à terceira pergunta afirmando que o Sr. B é DEL, mentiu, ou seja B não é DEL: A S N N B N N S C N S N Analisando a tabela final observamos que não há contradição. Logo o argumento é válido. ) VERDADEIRA. () FALSA. (4) FALSA. (8) FALSA. (6) FALSA. () VERDADEIRA. (64) FALSA. QUESTÃO. Considere as sequências (an) =, 6, 9,,,... e (bn) = (, /, /9, /,...). È correto afirmar: () O centésimo termo de (an) é. () A soma dos primeiros termos de (an) é igual a.. (4) A soma dos primeiros termos de (bn) é igual a. (8) O limite da soma dos termos de (b n ) é igual a /. (6) Se a soma dos n primeiros termos de (a n ) é igual a 6, então n é um dos termos de (a n ). () Eiste termo a n que é igual ao número n vees o termo b n (M)_ªAval-Matem-ºEM-U(prof)_-4_ado

4 ()VERDADEIRA. A sequência (a n ) =, 6, 9,,,... é uma P.A. na qual a = e r =. A epressão do termo geral de uma P.A. é a n = a + (n ) r, logo a = + ( ) =. () VERDADEIRA. A epressão da soma dos n primeiros termos de uma P.A. é S S (4) FALSA. n a a n A sequência (b n ) = (, /, /9, /,...). é uma P.G., na qual a = e q =. n aq A epressão da soma dos n primeiros termos de uma P.G. é S termos de (b n ) é S. n q n, logo (8) VERDADEIRA. O limite da soma dos termos de uma P.G. decrescente e infinita é dada pela relação: a Sn. q (6) VERDADEIRA. S n n a a (n ) r n 6 (n ) n 6 n n, então a soma dos primeiros 96 n 4 n n n (n ), e é o quinto termo de (a n ). () VERDADEIRA. (n ) n n n n n n n n. QUESTÃO 4. Sobre Lógica é verdade que : () A negação da sentença Todo baiano é bonito e inteligente é Algum baiano não é bonito e não é inteligente () A proposição composta (p q) (~p q) é uma tautologia. (4) Se a proposição p (r s) é falsa então a proposição (t s) (p t) é verdadeira independente da valoração de t. (8) Q e Q ( + ) Q (6) O argumento abaio é válido. 9-9(M)_ªAval-Matem-ºEM-U(prof)_-4_ado 4

5 Se Paulo recebe dinheiro então ele sai a noite. Se o Pai de Paulo está em casa então Paulo sai a noite. Hoje, o pai de Paulo está em casa. Logo, hoje Paulo recebe dinheiro. () O argumento abaio é válido. Se Pedro recebe dinheiro então ele sai a noite. Ou o Pai de Pedro está em casa ou está viajando. Se o pai de Pedro está viajando então a mãe de Pedro fica infeli. Se o pai de Pedro está em casa então Pedro recebe dinheiro. Hoje, a mãe de Pedro está Feli. Logo, hoje Pedro sai a noite. () FALSA. A negação da sentença Todo baiano é bonito e inteligente é Algum baiano não é bonito ou não é inteligente () VERDADEIRA. A coluna da tabela abaio mostra que a proposição composta (p q) (~p q) é uma tautologia. P q ~p (pq) (~pq) V V F V V V V F F F V F F V V V V V F F V V V V (4) VERDADEIRA. p r s p (r s) (t s) (p t) V V V V V V V V F V V V V F V V V V V F F V F F F F F V V F F F V V F V V F V F F V V F F V F V V F F F F V F V V F V V V V Analisando a tabela da esquerda conclui-se que a proposição p (r s) é falsa na linha amarela (linha 4) na qual os valores lógicos de p e s são, respectivamente, V e F. Preenchendo agora na tabela à direita, as duas linhas relacionadas à linha amarela da primeira tabela chegase à conclusão final de que a proposição (t s) (p t) é verdadeira independente da valoração de t. (8) VERDADEIRA. (6) FALSA. p: Se Paulo recebe dinheiro então ele sai a noite. q: Se o Pai de Paulo está em casa então Paulo sai a noite. r: Hoje, o pai de Paulo está em casa. s: Logo, hoje Paulo recebe dinheiro. p q r s não é um argumento válido. (O pai de Paulo estar em casa não implica em Paulo receber dinheiro ou não). 9-9(M)_ªAval-Matem-ºEM-U(prof)_-4_ado

6 () VERDADEIRA. Ou o Pai de Pedro está em casa ou está viajando. Se o pai de Pedro está viajando então a mãe de Pedro fica infeli. Se hoje a mãe de Pedro está Feli, é porque o pai de Pedro está em casa. Se o pai de Pedro está em casa então Pedro recebe dinheiro. Se Pedro recebe dinheiro então ele sai a noite. Logo, hoje Pedro sai a noite. (argumento válido) QUESTÃO. Numa olaria, um vaso cerâmico tem a forma de sólido obtido pela rotação completa em torno da reta r, da região hachurada na figura ao lado. Considerando =, é verdade que: () O volume de argila necessário para a confecção do vaso é.cm. () A área da parte interna do vaso é igual a 8cm. (4) Da parte eterna do vaso consta uma coroa circular de área cm. (8) A área da base do vaso é igual a 6cm. (6) A área total do vaso é cm. () A área da parte interna é menos de % da área da parte eterna. () FALSA. V= R²H r²h = ( ² ² ) cm³ = ( ) cm³ = cm³. () VERDADEIRA. S = r² + rh = ( ² + ) cm = ( + ) cm = 8cm. (4) VERDADEIRA. R² r² = ( ² ²) cm = cm. (8) FALSA. R² = 6 cm. (6) VERDADEIRA. S interna + S base + S coroa + S lateral = ( ) cm = cm. () VERDADEIRA. S S INTERNA EXTERNA 8 48 % 9-9(M)_ªAval-Matem-ºEM-U(prof)_-4_ado 6

7 QUESTÃO 6. Sobre o binômio n (k ) sabe-se que tem oito termos e que a soma dos coeficientes é igual a 8, sendo k uma constante. Sendo assim, sobre o desenvolvimento deste binômio, segundo as potências decrescentes de, podemos afirmar que: () Apresenta termo médio. () Apresenta termo independente. (4) O coeficiente do termo - é um divisor de 4. (8) O quarto termo é 8. (6) Os coeficientes dos termos equidistantes dos etremos tem sempre o mesmo sinal. Se o desenvolvimento do binômio n (k ) tem oito termos, então n + = 8 n =. Se a soma dos seus coeficientes é igual a 8 (k ) 8 (k ) k k Tem-se então (k () FALSA. ) O desenvolvimento de () FALSA. n. tem 8 termos, logo não eiste termo médio. p p p p p -p Termo geral: Tp ( ) p p. No termo independente o grau de é ero. Logo, p 4 p p 4 p p 4 p N. (4) VERDADEIRA. p p p 4 p 4 p 8 p 6 6 T6 ( ) 6. é divisor de 4. (8) VERDADEIRA. 4 T ( ) 8 8 (6) FALSA. 6 Eemplo: T ( ) 9 e dos etremos e seus sinais são diferentes. 6 T são termos equidistantes 9-9(M)_ªAval-Matem-ºEM-U(prof)_-4_ado

8 9-9(M)_ªAval-Matem-ºEM-U(prof)_-4_ado 8 QUESTÃO. Considere as matries A = e B = É verdade que: () deta + detb. () deta é igual ao determinante da matri C =. (4) Se j se i, a j se i j, i a j i j i, então deta =. (8) Se i, j; a i, j = i j, então o sistema homogêneo AX = é determinado. (6) Se =, a matri B é simétrica. () FALSA. Como as linhas e da matri A são, respectivamente, as linhas e da matri B, então os seus determinantes são números siméticos e deta + detb =. () VERDADEIRA. A det e C det det A e det C (4) FALSA. A= 4 4 deta = 6+6= (8) FALSA. deta A. (6) FALSA. B =. Se = : B que não é simétrica porque a, a,.

9 QUESTÃO 8. Sobre polinômios é verdade que: () Se p() é um polinômio de grau 6 e q() é de grau 4, então o quociente da divisão de [p()] por [q()] é de grau 4. () O polinômio é divisível por. (4) Se n é um número par positivo então o resto da divisão de p() = n + n por + é 4. (8) Se a soma de duas raíes da equação 4 + m + n = é igual a, então uma das raíes dessa equação é. (6) O gráfico ao lado representa o polinômio p() = ( ) ( ). () VERDADEIRA. Se p() é um polinômio de grau 6 e q() é de grau 4, então os polinômios [p()] e [q()], são, [p()] respectivamente, de grau e grau 8, logo o quociente [q()] () FALSA. é de grau 4. Se polinômio é divisível por = ( ).( + ), então p( ) = e p() =. p( ) = + =. (4) VERDADEIRA. Se n é um número par positivo então n + é um número ímpar positivo. Logo o resto da divisão de p() = n + n por + é p( ) = ( ) n + ( ) n = = 4. (8) VERDADEIRA. Se a soma de duas raíes da equação 4 + m + n = é igual a, então uma das raíes dessa b + + = + = =. a (6) FALSA. p() = ( ) ( ) = + o gráfico dessa função intercepta o eio O no ponto (,) portanto acima do eio O. O seu gráfico tem a representação ao lado. 9-9(M)_ªAval-Matem-ºEM-U(prof)_-4_ado 9

10 QUESTÕES 9 E. Faça os cálculos necessários e marque os resultados na Folha de Respostas. QUESTÃO 9. Um copinho de volume 9 de sorvete cujas medidas estão indicadas na figura ao lado. Quantas dessas porções de sorvete cabem no copinho? O cone de raio cm e altura ( + )cm e o cone de raio cm e altura cm são semelhantes. Então vale a relação R r 6 6 H h 9π9 4π 6 O volume da porção de sorvete é: 9π cm³. Assim, como o volume do copinho é 9o número de porções que ele comporta é 9 :9=. RESPOSTA: porções. QUESTÃO. De quantas maneiras diferentes podemos distribuir 6 bolas idênticas para crianças (Huguinho, Zeinho e Luiinho) de modo que cada uma delas receba pelo menos 4 bolas? Huguinho Zeinho Luiinho N o de possibilidades 4 4 8! P, =! 4 P =! = 6 Distribuição das bolas! P, =! 6! P, =! TOTAL DE POSSIBILIDADES = RESPOSTA: De maneiras diferentes. 9-9(M)_ªAval-Matem-ºEM-U(prof)_-4_ado