01) ) ) ) )NRA. Número de casos possíveis: = 6 Números de casos favoráveis à senha apresentar na susa formação o número 13:

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1 PROVA OPCIONAL DE MATEMÁTICA TURMAS DO 3 o ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - SETEMBRO DE 0. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 0. Maria deve criar uma senha de dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos,, 3,, 5 e 6 podem ser usados e um mesmo algarismo não pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 3, isto é, o algarismo seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? 0) 3 0) 3 03) 336 0) 38 05)NRA Número de casos possíveis: = A 6, = Números de casos favoráveis à senha apresentar na susa formação o número 3: UM C D U Casos possíveis 3,,5 ou 6, 5 ou 6 3= UM C D U Casos possíveis,,5 ou 6 3, 5 ou 6 3= UM C D U Casos possíveis,,5 ou 6, 5 ou 6 3 3= Maria pode escolher a sua senha de (360 36) = 3. RESPOSTA: Alternativa 0. Questão 0. Um salão de festas tem a forma de um hexágono regular de lado m. A área hachurada representa uma pista de dança. Calcule a área desta pista sabendo que M, N, P e Q são pontos médios dos lados do hexágono. 0) 96 0) 03) 7 3 0) ) 8

2 O segmento AB é uma das diagonais maiores do hexágono regular, então sua medida é o dobro da medida do lado, m. O segmento MN é a base média do trapézio isósceles ABCD, logo sua medida é igual à semisoma das bases, ( + ) : = 8m. No triângulo retângulo BEC, o cateto EB = BC cos 60 = 6m. No mesmo triângulo, EC = BC sen 60 = 6 3 m A medida do segmento GN é a metade da medida de EB, então 3m e a medida de CG é a metade de CE, ou seja 3 3 m Os lados do retângulo GHIJ medem: GH = MN x = 8 6 = m e GJ = y = 6 3 m. A área do retângulo é S = 6 3 = 7 3 m. Questão 03. Sabendo que log = 0,30 e log 3 = 0,77, calcule quantos algarismos tem o número 5. 0) 6 0) 7 03) 8 0) 9 05) 50 5 x = log x = 5 log log x = 5 ( log + log3) ( 0,60 + 0,77) = 5,079 = 8,555 log x = 5 Como a característica do logaritmo de x é 8, então x tem 8 + = 9 algarismos. RESPOSTA: Alternativa 0. Questão 0. Numa PA de 6 termos, a soma dos termos de ordem par é igual a 39 e a soma dos termos de ordem ímpar é. Calcule a razão dessa progressão. 0) 6 0) 5 03) 0) 3 05) 8

3 a + r + a + 3r + a + 5r = 39 3a + 9r = 39 3r = 5 a + a + r + a + r = 3a + 6r = r = 5 RESPOSTA: Alternativa 0. Questão 05. Quatro rapazes e três moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os sete, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que os quatro rapazes fiquem juntos, um ao lado do outro, é igual a 0) 0 0) 03) 80 0) ) 70 R R R 3 R M M M 3 M R R R 3 R M M 3 M M R R R 3 R M 3 M M M 3 R R R 3 R Como os quatro rapazes devem sentar sempre juntos, resolve-se a questão, calculando!! = = 576. RESPOSTA: Alternativa 0. Questão 06. Numa PG de termos, o segundo termo é igual a 6 vezes o termo central. Calcule o quarto termo sabendo que a soma do segundo termo com o terceiro é igual a. 0) 0) / 03) 8 0) / 05) /8 Se a PG tem termos, então o termo central é o de número 6 = = 3a 8 5 q aq = 6aq 6q = a = 6 aq + aq = aq + aq = a a + = 3 aq = RESPOSTA: Alternativa 0. 3

4 Questão 07. Num determinado sorteio, o número n sorteado tinha três algarismos distintos e não nulos (x, y e w). A pessoa que possuísse o número sorteado só poderia receber o prêmio, que era em dólar, se soubesse calcular o valor desse prêmio. Sabendo que: I. o valor do prêmio era igual à soma de todos os números de 3 algarismos que se obtém permutando-se os algarismos de n (x, y e w) ; II. S = x + y + w (Soma dos algarismos de n). Então, o valor do prêmio em função de S é igual a: 0) S 0) S 03) 333S 0) 666S 05) NRA O total de números que podem ser formados é 3! =6 C D U x y w x w y y x w y w x w x y w y x TOTAL 00(x+y+z) = 00S 0(x+y+z) = 0S (x+y+z) = S Então o valor do prêmio é S RESPOSTA: Alternativa 0. Questão 08. A reta r, definida pela equação, x + y 6 = 0 passa nos pontos A = (, m) e B = (m, n). A reta t é perpendicular à reta r e passa no ponto médio M do segmento AB. Sendo C = (p, 0) o ponto de interseção da reta t com o eixo dos x, calcule p. 0) 0) 03) 3 0) 05) x y x + y 6 = 0 m +m 6 = 0 m = m n m + n 6 = 0 + n = 6 n = 8 Os pontos A e B são, respectivamente, determinados pelos pares ordenados (, ) e (, 8). A equação reta AB na forma reduzida é y = x + 6 que o coeficiente angular da + 8 reta t é a ' =. Esta reta passa por M =, = ( 7,), ponto médio do segmento AB.

5 Então a equação da reta t é: y = ( x 7) y = x 7 y x + 3 = 0. A interseção da reta t com o eixo dos x é o ponto C = (p, 0), assim: 0 p + 3 = 0 p = 3 Questão 09. Analise as afirmações, classificando-as em verdadeiras ou falsas: I) O número de maneiras que podemos distribuir 5 prêmios iguais para 8 pessoas, de modo que cada pessoa premiada receba no máximo um prêmio é 56. II) O número de maneiras que podemos distribuir 5 prêmios iguais para 8 pessoas, de modo que, e apenas, sejam premiadas é 80. III) O número de maneiras que podemos distribuir 5 prêmios, sendo carros iguais e 3 motos iguais, para 8 pessoas, de modo que cada pessoa premiada receba no máximo um prêmio é 560. Você conclui que: 0) apenas a afirmativa I é falsa. 0) apenas a afirmativa II é falsa. 03) apenas a afirmativa III é falsa. 0) apenas uma afirmativa é verdadeira. 05) todas as afirmativas são verdadeiras. I) VERDADEIRA n = C8,5 = C8, 3 = = 56 II) VERDADEIRA n = C8, = = 70 = 80 III) VERDADEIRA n = C8, C6, 3 = = 8 0 = 560. RESPOSTA: Alternativa 05. Questão 0. O triângulo ABC é o transformado do triângulo de vértices A = (0, 0), B = (, 0) e C = (0, ) por uma translação de vetor v = (3, 0). O triângulo A BC é o transformado do triângulo ABC por uma simetria de eixo Oy. O triângulo A 3B3C3 é o transformado do triângulo ABC por uma simetria de eixo y =. Pode-se afirmar que o triângulo A 3B3C3 está contido no: 0) o quadrante 0) o quadrante 03) 3 o quadrante 0) o quadrante 05) semiplano y 5

6 Analiticamente: A = (0+3, 0+0) = (3, 0); B = ( + 3, 0) = (5, 0) e C = (0+3, +0) = (3, ). c x A = (.0 3;.0 0) = ( 3; 0). B = (.0 5;.0 0) = ( 5; 0). C = (. 0 3;. ) = ( 3, ) Graficamente: A 3 = (.( 3) ( 3);.( ) 0) = ( 3; ) B 3 = (. ( 5) ( 5);. ( ) 0) = ( 5, ) C 3 = (.( 3) ( 3);. ( ) ) = ( 3; 6) Questão. Um banco contratou 9 funcionários novos para três de suas agências, sendo que cada uma delas vai receber três destes funcionários. Entre os novos funcionários contratados estão os irmãos José e João e o banco não deseja que eles fiquem na mesma agência. Levando isto em consideração, de quantas formas esta distribuição pode ser feita? 0) 60 0) 0 03) 560 0) ) NRA Número de casos possíveis: n = C9,3 C6,3 3 = = 8 0 = 680 Casos favoráveis a João e José trabalharem na mesma agência: 6 5 José e João juntos na primeira agência: m = C7, C6,3 3 = 7 = 7 0 = José e João juntos na segunda agência: p = C7, C6,3 3 = 7 = 7 0 = José e João juntos na terceira agência: q = C7, C6,3 3 = 7 = 7 0 = 0. Total: 0 = 0. Existem (680 0) = 60 formas de João e José não trabalharem na mesma agência. RESPOSTA: Alternativa 0. 6

7 Questão. Qual o conjunto imagem da função f: [ ; 7 ] R definida pela lei f(x) = x + 0x + 6? 0) [ 5 ; 37 ] 0) ] ; 37 ] 03) [ 5 ; ] 0) ] ; ] 05) NRA Sendo o coeficiente de x² menor que zero, a concavidade da parábola está voltada para baixo e y assume valor màximo no vértice dessa parábola. 0 (00 + 6) x v = = 5 e y v = =. f( ) = = 5 e f(7) = = 37. O conjunto imagem da função é o intervalo [5; ]. 7