Matemática B Extensivo V. 7

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Matemática B Extensivo V. 7"

Transcrição

1 Matemática Etensivo V. 7 Eercícios ) D ) ) 6 Temos que: 6 e 6 Logo, C (, ) (, ). 6 Completando quadrado, temos: ( ) ( 6) ( ) ( 6 9) 9 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) Logo, C (, ) e r. Portanto, ( ). Já que C é o diâmetro da circunferência, então o centro é dado pelo ponto médio do segmento C. M C 6 M C Logo, C (, ) (, ). Raio é dado por: r d M ( ) ( ) Portanto, a equação da circunferência é dada por: ( ) ( ) ( ) ) C Raio é dado por: r d CP ( ) ( ) ( ) 8 Portanto, a equação é: ( ) ( ) ( 8 ) ( ) ( ) 8 5) E Ponto médio de A : M A 5 M A 6 Logo, M(, ). Portanto, o raio da circunferência é: r d MO ( ) ( ) 9 6) E ( ) ( ) 9 9 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 5 Do gráfico, obtemos A (5, 5). Logo, A Matemática

2 GAARITO 7) D ² A² C Para que represente uma equação de circunferência temos: A e, reescrevendo a equação: ² ² C (I) ² ² ² ² R² (II) Sabemos que d, então R 5. Comparando I e II, temos: a) b) c) ² ² R² C ( )² ()² (5)² C 5 C C Logo, A C ( ). 8) D Nossa equação é dada por: ² ² p q m, que, ao completar quadrados, fica: p p q q m ou seja, p q p q m. p q Logo, o centro é C,. A distância entre C e K é p d d C, K q p q d 9 p 9 q p q. Ilustrando os três pontos dados no plano, temos: Note, pelo gráfico, que o centro dessa circunferência é o ponto médio entre (, ) e (, ). Assim: C M e C M Logo, C (, ). Como o centro da circunferência pela nossa equação é,, temos que: p p q p q q E a distância entre C e K fica: p q ( ) ( ). 5 5 d. Falta encontrar m, mas como o ponto (, ) está na circunferência, ele satisfaz a equação da circunferência, ou seja, ² ² ( ). ( ). m m. Portanto, d. m ( ) Matemática

3 GAARITO 9) d P, C ( ) ( ( )), que é, por sinal, o dobro do raio da circunferência que tem raio. ) A A M ² ² 6 p ( ) ( ) 9 p ( ) ( ) p Devemos ter: p > > p Portanto, o maior número p é. ) A Ponto médio: M A M A Logo, M(, ). O raio da circunferência é dado por: r d MA ( ) ( ) r ) A ( ) ( ) 5 Portanto, a equação da circunferência é: ( ) ( ) ( 5 ) 5 5 A intersecção de L e L é dada por: 5.( ) 5 8 Assim, P L L (, ). Por outro lado, o centro da circunferência é o ponto C (, ) e a distância entre P e C é: ² ² 8 k (I) ² ² ² ² r² (II) Comparando I e II, temos: a) b) 8 8 c) ² r² k ² ( )² r² k 6 r² k k r² Como r² >, temos k > k >.( ) k < ) a) R < b) R 6 R ( ) ( ) 9 R ( ) ( ) 9 R a) Devemos ter: 9 R > R > R < b) Devemos ter: 9 R R R Matemática

4 GAARITO ) Temos que o ponto P é simétrico ao ponto (, ), ou seja, P(, ). O centro da circunferência λ é dado por: ( ) ( ) 5 Logo, C(, 5). Temos ainda que o raio da circunferência é: r d CF ( ) 5 ( ) ( ) ( ) r ( ) ( 5 ) r 5)D ( ) ( ) r 6 r 7 Portanto, a equação da circunferência é dada por: ( ) ( 5) ( 7 ) Note que o ponto médio M é o centro da circunferência. Assim: C M A 6 8 C M A 5 7 Raio é dado por: 7 r d MA ( ) 5 r ( ) Portanto, a equação é dada por: ( ) ( 7 ) ( 5 ) ) a) A(, ); (, ); C(, 5) b) s: 7 7 c) λ: ( ) ( 5) 5 7) a) A(, ) (, ) C(, 5) b) Equação da reta s: ( ) 7 7 c) r d C ( ) ( 5 ) r ( ) 5 Portanto, a equação da circunferência é: ( ) ( 5) ( 5 ) ( ) ( 5) 5 Da equação ² ² temos que: ² ² ², e assim o raio é igual a. Logo, o octógono é formado por 8 triângulos isósceles de lados côngruos iguais a. r 9 r 5 r 5 Mas note que o ponto (, ), com >, é um vértice do octógono e é pertencente a essa circunferência. Matemática

5 GAARITO 8) Logo, ² ² ² ² ±, e como >,. Ou seja, P (, ) pertence à circunferência. Assim, o lado do octógono é dado por: d P, (, ) ( ) ( ) 8. Assim, como a área de um octógono de lado a é dada por a². ( ), temos que: ( ) A. 8. ( ). (8 ). ( ). ( ). ( ) 8. ² ² ² ² ² ( )² ² ( )². Então o centro é (, ) e o raio é. Agora, note que, como é um triângulo equilátero, todo ângulo interno do triângulo é 6. E, assim, tomando AC como a seguir: 9) C: ( )² ( )² 6 e r:. Verdadeiro. Quando, em C temos: ( )² ( )² 6 ² ² 8 9 ( 8 ) ± ± 8 8 ± 7 ' 7 '' 7 Quando, em C temos: ( )² ( )² 6 6 ² ² 6 9 ( 6 ) ± ± Note que temos dois valores de intersecção para e um valor para.. Verdadeiro. C(, ), pois ( C ) ( C ) R.. Verdadeiro. AC C C d rc A d rc d rc d rc 5 Temos que AC e, assim, como A, o triângulo retângulo tem lado C igual a: A tg A C C C C d rc 5 5 d rc 8. Falso. Do item temos que d rc < R, com isso podemos afirmar que r é secante, logo r C. 6. Verdadeiro. r:, note que <, logo é decrescente. Logo, o lado do triângulo é. C. Matemática 5

6 GAARITO ) 8. Falso. Primeiro vamos descobrir o centro da circunferência: ² ² 6 9. a) b) 6 6 C(, ) Se as circunferências são concêntricas, então elas têm o mesmo centro: ( ( ))² ( )² ² ( )² ( )² 9 ² ² ² ² 6. Verdadeiro. m( ) ( ) m( ( )) m( ) 6m m 6 m. Falso. Substituindo o ponto P(, ) na equação da circunferência, temos: > Portanto, o ponto P é eterior. 8. Falso. r: 5 s: m r Então, r // s. m s 6 6. Verdadeiro. d AP d P ( ) ( ) ( ) ( ) A P A P P P ( p)² ( )² ( p)² ( )² 9 6p p p p ) 9 6p 8 p p p p. Correta. Temos que Centro: C(6, ) Raio: r Logo, a equação da circunferência é dada por: ( 6) ( ) Correta. Equação da reta determinada pelos pontos A e C ( ) 6 ( ). Incorreta. d AC, 8 ( ) Incorreta. Caso os pontos (7; ), (; ) e (; 6) sejam colineares, então satisfazem a mesma equação de reta. No item (), calculamos a equação da reta que passa pelos pontos (, ) e (; 6), isto é,. Assim, o ponto (7, ) deve satisfazer a equação para que os pontos sejam colineares.. 7. (ok!) Portanto, os pontos são colineares. 6 Matemática

7 GAARITO 6. Correta. O valor real do raio é: R r.. m Área A π. R π. () π m ) F V V F F (F) Ponto (, ). ( ). ( ). 8 < Logo, o ponto (, ) é interior. (V) Ponto (, 6) > Logo, o ponto (6, ) é eterior. (V) Ponto (, ). ( ) ( ). ( ). ( ) Logo, o ponto pertence a c. (F) Ponto ( 5, ). ( 5). ( 5). 5 > Logo, o ponto ( 5, ) é eterior a c. (F) Ponto (, )... 7 < Logo, o ponto (, ) é interior. ) E ) Verdadeira. P(, ) ( ) ( ) 5 ( ) Logo, o ponto P pertence a c. ) Falso. ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( 5 ) Logo, o raio é r 5. ) Verdadeira. Centro C(, ) ) (ok!) Logo, a reta passa pelo ponto C(, ).. Correta. 6 Completando quadrado, temos: ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) Note que a ordenada é e o raio é r. Portanto, a circunferência é tangente ao eio das abscissas.. Correta. 6 9 Completando quadrado, temos: ( ) ( ) 9 9 ( ) ( ) ( ) ( ) Note que a abscissa é e o raio é r. Portanto, a circunferência é tangente ao eio da ordenada.. Correta. Para Q(, ) ( ) ( ). ( ) 6. ( ) (ok!) Portanto, o ponto Q pertence à circunferência de centro (, ). 8. Correta. Centro: (, ) Para C(, ) ( ) 9 (ok!) Portanto, a circunferência passa pelo ponto C(, ). 6. Correta. 6 Completanto quadrado, temos: ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Logo, o raio é r. Matemática 7

8 GAARITO 5) D Note que se P (, a), então substituindo as coordenadas de P em ( )² ( )² 5, temos: ( )² (a )² 5 9 a² a 5 a² a 5 a 5 ou a. Para P(, ), temos: 7) A Logo, se a (, 5), P é interior à circunferência. Se a ou a 5, P é ponto da circunferência. Se a < ou a > 5, P é eterno à circunferência. r 6) A R T t 7 C D(,o) ( ) Logo: C(, ) r Coeficiente angular da reta t: m TC T C T C m t m TC Logo, a reta t é dada por: ( ) ( ) ( ) ( )... C 7 R d r,c ( ) R 8 5 R 5 5 R 5 Portanto, a equação da circunferência é: ( 7) ( ) 5 ( 7) ( ) 5 8) D ² ² 6 7 ² ( )² 9 7 ² ( )² I. Falso. O raio é. II. Verdadeiro. III. Verdadeiro. Note que tem coeficiente angular m, enquanto que o coeficiente angular da reta que passa pelo centro (, ) e por P (, ) é: ( ) ( ). ( ). m Portanto, m. m, e, assim, é perpendicular. 8 Matemática

9 GAARITO 9) a) b) ( ) ( ) 5 λ: ² ² 6 λ: ( )² ( )² 6 Logo, C λ (, ) e r λ. a) Se é perpendicular à reta r, seu coeficiente angular é, pois m r. E como passa pelo centro C λ (, ), temos:. ( ). b) Como é tangente à reta r, o raio é a distância do centro até r, ou seja, d Cλ, r Logo, a equação da circunferência concêntrica a λ é: ( )² ( )² 5 5. ) D )D s: (I) l: ( )² ( )² ² ² ² ² ² 6 (II) Substituindo I em II, temos: ² ( )² 6( ) ² ² 6 ² (dividindo por ) ² 7 ( 7 ) ± 9 7 ± 9 7 ± 5 Substituindo em I, temos: C(, ) s: 8 C s a) ' b) '' 5 P (, ) P (5, ) Para encontrarmos o raio, precisamos calcular a distância entre C e s: AC C C d Cs A d Cs.. 8 ( ) d Cs d Cs 5 d Cs 5 r Então a equação da circunferência é: ( )² ( )² ² ( )² ( )² Por Pitágoras temos: ( PP ) ( 5)² ( )² ( PP ) ( )² ( )² PP 9 9 PP 8 Matemática 9

10 GAARITO ) C Para b ser tangente à circunferência de equação ² ², precisamos ter: ² ( b)² ² ² b b² ² b b² E Δ deve ser zero, ou seja: (b)².. (b² ) b² 8b² 8 b² 8 b² b ±. Como, pelo enunciado, queremos o valor positivo de b, tomamos b. s r P C ) A Substituindo k em, temos: (k ) (k ) k k k k (k k ) Como eiste um único ponto em comum, ou seja, são tangentes, então Δ. Δ ( k).. (k k ) k 8 (k k ) k 8k 6k 8 k 6k 8.( ¼) k k Resolvendo a equação acima, temos: k' ou k'' Portanto: k' k'' k' k'' ) 8 5 ( ) ( ) 6 5 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( 5 ) Logo: Centro: P(, ) Raio: r 5 m r P P Logo: m s m r Vamos encontrar o ponto A. Equação da reta r: Substituindo em 8 5, teremos: () 8. () (/5) Resolvendo a equação acima, obtemos: ' ou '' Substituindo ' em, temos:. Logo, A(, ). Portanto, a equação da reta s é dada por: m s ( ) ( ) ( ) 5 Matemática

11 GAARITO 5) C : ² ² 6 C (, ) e R 8 a) b) c) ² ² R² 6 ² ² 6 R² R² 8 R 8 r: 6. Falso.C (, ) e R d CC R R ( ) ( ). Falso. AC C C d Cr A d Cr.. 6 d Cr 6 d Cr d Cr.. d Cr Elas são tangentes.. Verdadeiro. A pr² A p( 8)² A 8p 8. Verdadeiro. Justificativa no começo da questão. 6) 9 6. Falso. d PC ( ) ( ) P C P C d PC ( ) ( ) d PC d PC d PC 5 < P é interior. C : ² ² C (, ) e R a) b) c) ² ² R² ( )² ( )² R² R² R² R R P(, ) e s:. Verdadeiro. d CP ( C P) ( C P) d CP ( ) ( ) d CP ( ) ( ) d CP 9 6 d CP 5 5 Note que 5 é a distância entre P e o centro da circunferência, então se descontarmos o raio teremos a distância de P à "borda" da circunferência; 5 u.c.. Falso. s: m s Se s r, sendo r a reta que passa por P, então m r. Logo, a equação de r é: P m r ( P ) ( ). Matemática

12 GAARITO. Falso. d Cs d Cs d Cs A C C C A.( ).( ) Vamos calcular d OP : d OP ( 8 ) ( ) d OP 6 7 d OP 6 9 d OP 85 No triângulo OAP, temos: d Cs 5. (d OP ) r (d PA ) (Teorema de Pitágoras) ( 85 ) (d PA ) d Cs 5. d Cs 5 > s é eterior. 8. Verdadeiro. P(, ) C(, ) Q(, ) 8) D (d PA ) 85 6 (d PA ) 69 d PA 69 C : ² ² 8 6 a) 8 8 7) D DP DS ( ) ( ) 8 A D 6 u. a 6 Completando quadrado, temos: ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 6 Logo, C(, ) e r. P d DP b) 6 6 c) ² ² R² ( )² ( )² R² 6 9 R² R² 5 R 5 R 5 Então, C (, ) e R 5. C : ² ² 6 a) r A d PA 8 b) 6 c) ² ² R² 8² 6² R² 6 6 R² R² R Matemática

13 GAARITO R ) A Então, C (8, 6) e R. Calculando a distância entre C e C, temos: d CC ( ) ( ) d CC C C C C ( 8) ( 6) d CC ) 8 ( ) ( 9 d CC d CC 5 d CC 5 C C (, o) Note que d CC R R 5 5, logo C e C são tangentes eternas. A (o, ) 9) C ² ² ( )² ( )² ( )² ( )² 9. Logo, o centro de C é (, ) e raio r. Agora, note que o raio de C é igual a d C, C raio de C, pois elas são tangentes. Logo, r C ( ) ( ) ) D De C temos: ² ² ( )² ( )² ( )² ( )². Logo, o centro de C é (, ) e o raio de C é r. De C temos: ² ² ( )² ( )² ( )² ( )² 8. Logo, o centro de C é (, ) e o raio de C e r 8. Assim, área de C A C π. r π. ( )² π e área de C A C π. r π. ( 8)² 8π. Da equação c, temos: 6 5 Ponto A(, ) Resolvendo a equação acima, obtemos: ' 5 ou '' (não serve) Portanto, A(, 5). Da equação c, temos: Ponto (, ) ( ) ' ou '' '' Portanto, (, ). Assim, d A é dada por: d A ( ) ( 5 ) d A ( ) ( 5) d A 5 d A 69 d A Portanto, a área hachurada é igual a A A C A C 8π π 6π. Matemática

14 GAARITO ) A,9. 5) Equação da elipse. h T ( ) ( ) b a Da figura, obtemos: C(, ) C( 5, 7) a b Logo, a equação é dada por: Ponto T é dado: Logo, T(, ) Portanto, a soma das coordenadas do ponto T: 6,9,9 )V F V F F (V) ( )² ² ² ² ² ² (F) Como o raio de λ é r λ, o seu comprimento é π. r λ π. π. (V) A reta A é: ( ). ( ). Se, A, devemos ter., logo pertence. (F) Pois A nem pertence a essa reta. (F) Pela lei dos senos temos que senα senβ ( senα ) ( senβ ). ) C Pela definição de elipse, a corda deverá medir a, como a, a corda deverá medir. m. 6) A 7) D ( ( 5 )) ( ) 7 ( 5 ) ( ) Equação da elipse centrada na origem. b a Temos que a e b. Portanto, a equação é dada por: 9 Pelas informações do gráfico temos que: a 5 e b 8. Logo, por Pitágoras, temos: a² b² c² 5² ² c² c² c. 8) Assim, como F F c, temos que a distância é de. c. 8 metros. Ecentricidade e : e c a Como a 5 e a b c 5 c 5 c c c. Matemática

15 GAARITO Portanto: e 5 Ecentricidade e : e c a Temos a 5 e a b c 5 6 c 5 6 c 9 c c. Portanto: e 5 Logo: e 5 5 e 5 5 9) Centro: C (, ); a 5, b ; focos F (, ), F (7, ) Centro (, ) Como a 5 e b, por Pitágoras c. Assim, os focos são: F (, ) (, ) F (, ) (7, ) e as medidas dos eios são: maior. a. 5 menor. b. 8 5) ( ) ( ) ; focos F (, ), F (, ) ² ² 6 ( )² ( )² 6 ( )² ( )² ( ) ( ) a b c² a² b² c. Logo, os focos são F (, ), F (, ). 5) ( ) ( ) ; focos F (, ), F (, 8) 6 9² 5² 5 9 ( 9)² 8 5 (² 8) 9 ( ( )) ² 5 ( )² 8 9 ( ) ² 5 ( )² 8 ( ) ( ) 6 b a 6 5) E Por Pitágoras, c² a² b² 6 6 c. Assim, F (, ), F (, 8) ( ) 5 ( ) 6 9 ( ) 6 5 ( ) ( ) 5 ( ) 5 ( 5) ( ) ( ) 5 9 5) a) Centro: C(, ). Portanto, incorreta. b) Eio maior: a. 5. Portanto, incorreta. c) Eio menor: b. 6. Portanto, incorreta. d) Distância focal. c a b c 5 9 c 6 c 6 c Logo, a distância focal é dada por: c. 8. Portanto, incorreta. e) Ecentricidade. e c a 5,8 Portanto, correta ( ) 6 9 ( 6) 88 ( ) 9 ( ) ( ) 9 ( ) 9 ( 9) ( ) ( ) 9 Portanto, o gráfico da circunferência é: Matemática 5

16 GAARITO 5) C 55) C b a Logo, a circunferência tangencia o eio das abscissas. E : 6 5 ( ) 5 6 Temos ainda: E : 6 9 ( ) Área E : E A E 5.. π π u.a. Área E : A E. π π u.a. E Logo, A A E A E π π 8π u.a. ( ) ( 5) 6 ( 6) ( ) ( 5) 6 9 Maior valor : 6 8 Maior valor : 5 Portanto, m n ) 9 ( 9) 9 9. Correta. Pois, a b.. Correta. Para. 9 9 ± 9 ± Logo, a cônica intercepta o eio das abscissas em (, ) e (, ).. Correta. Uma elipse é o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fios é constante a. Então, AD AE D E a. Portanto, o perímetro é dado: Δ DAE : p: AD AE DE a DE Δ DE : p: D E DE a DE Logo, os perímetros são iguais. 8. Incorreta. i () 9 () ii Fazendo (ii) (i), teremos: 7 7 ' 7 ou '' 7 Substituindo ' e '' em (i), obtemos: Matemática

17 GAARITO (Absurdo!) Portanto, não eiste ponto de intersecção, e assim não são tangentes. 6. Correta. Para ( ) ± ± Logo, o ponto (, ) pertence à cônica. 59) D Assim, P ( 5, 5) e, com isso, d O, P 5 5. ( ) ( ) Do enunciado temos a figura: A(,9) 9 6 F a 9 b? c 6 (,) 5 57) E 6 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 6 Logo, o centro é C(, ). Temos ainda, 5 ( ) 5 c a b c 5 c c Logo, os focos são F (, ) e F (, ). Portanto, a reta com menor coeficiente é determinada pelos pontos C(, ) e F (, ). 58) ( ) Note que P pertence à reta, logo P (k, k). Como (k, k) está na elipse, temos: k k k² k² 5k² k² 5 k 5, positivo pelo fato de P quadrante. 6) E 6 Temos que b² c² a² b² 6² 9² b² 5 b 5. Assim, a equação da elipse fica: 8 5. Como (, ) pertence à elipse, temos: 8 5. F Logo, a área do triângulo F F é:... Como está centrada na origem e passa pelos pontos (, ) e (, ), temos que a e b. Assim: c² a² b² ² ² c. Logo, a distância focal é. c e a ecentricidade c é e a. Matemática 7

Matemática B Extensivo V. 7

Matemática B Extensivo V. 7 GRITO Matemática Etensivo V. 7 Eercícios ) D ) D ) I. Falso. O diâmetro é dado por. r. cm. II. Verdadeiro. o volume é dado por π. r² π. ² π cm² III. Verdadeiro. (, ) (, ) e assim, ( )² + ( )² r² fica ²

Leia mais

Matemática B Intensivo V. 2

Matemática B Intensivo V. 2 Matemática Intensivo V. Eercícios ) ) C ( ) (5 7) Usando a fórmula do ponto médio: X + X Y + Y C + 5 + 7 6 8 ( ) ERRT: considere (6 ). Temos d () d (C). ssim: ( 6) + ( b ) ( ) + ( 6 b) 9 + b 9 + b b +

Leia mais

Matemática B Semi-Extensivo V. 3

Matemática B Semi-Extensivo V. 3 GRITO Matemática Semi-Etensivo V. (, e (, M, Então: M = M = M = M = Eercícios D Substituindo em I, temos: = =. = = Então, = ( = 8 M(, (, (, M = M = 8 M = M = D Sabendo que o eio é o da abcissa e que o

Leia mais

Matemática B Extensivo v. 8

Matemática B Extensivo v. 8 Etensivo v. 8 Eercícios 0) 9 6 = ; e = 3 centro Note que C = (0, 0). Também, c = e a = 3. Então, da equação c = b + a temos = b + 3 b = 4. Assim, a equação dessa hipérbole fica: = = 3 4 9 6 A ecentricidade

Leia mais

Matemática B Extensivo v. 8

Matemática B Extensivo v. 8 Matemática B Etensivo v. 8 Eercícios y = Eio real = a = a = C = A + B ( = ( + B B = a y b = D C y = y = 6 9 Daí, a = 6 e b = 9 c = a + b c = 9 + 6 c = c = c = Portanto, a distância focal é dada por: c

Leia mais

Geometria Analítica? Onde usar os conhecimentos. os sobre Geometria Analítica?

Geometria Analítica? Onde usar os conhecimentos. os sobre Geometria Analítica? X GEOMETRIA ANALÍTICA Por que aprender Geometria Analítica?... A Geometria Analítica estabelece relações entre a álgebra e a geometria por meio de equações e inequações. Isso permite transformar questões

Leia mais

Matemática B Extensivo V. 6

Matemática B Extensivo V. 6 GRITO Matemática Etensivo V. 6 Eercícios 0) E 0) 0) omo essas retas são perpendiculares, temos que o coeficiente angular de uma das retas é o oposto e inverso da outra, ou seja, m reta. m reta a + a a

Leia mais

Retas Tangentes à Circunferência

Retas Tangentes à Circunferência Retas Tangentes à Circunferência 1. (Fuvest 01) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (,6) e a circunferência C de equação um ponto Q. Então a distância de P a Q é a) 15 b) 17 c) 18

Leia mais

EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA

EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA - 015 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0),

Leia mais

3º trimestre SALA DE ESTUDOS Data: 11/17 Ensino Médio 3º ano A, B e C. Prof. Maurício Nome: nº

3º trimestre SALA DE ESTUDOS Data: 11/17 Ensino Médio 3º ano A, B e C. Prof. Maurício Nome: nº º trimestre SALA DE ESTUDOS Data: 11/17 Ensino Médio º ano A, B e C. Prof. Maurício Nome: nº CONTEÚDOS: EQUAÇÃO DA RETA E EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA. 1. (Eear 017) O triângulo ABC a) escaleno b) isósceles

Leia mais

Circunferências. λ : x y 4x 10y λ : x y 4x 5y 12 0

Circunferências. λ : x y 4x 10y λ : x y 4x 5y 12 0 Circunferências 1. (Espcex (Aman) 014) Sejam dados a circunferência λ : x y 4x 10y 5 0 e o ponto P, que é simétrico de ( 1, 1) em relação ao eixo das abscissas. Determine a equação da circunferência concêntrica

Leia mais

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3 01 Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b a) a = 3, b, b R b) a = 3 e b = 1 c) a = 3 e b 1 d) a 3 1 0 y = 3x + 1 m = 3 A equação que apresenta uma reta com o mesmo coeficiente angular

Leia mais

Matemática 2 Módulo 9

Matemática 2 Módulo 9 Matemática Módulo 9 GEOMETRIA ANALÍTICA VI COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA. Se duas circunferências são concêntricas, então os seus centros são coincidentes. Temos a circunferência λ : x + y 4x y + =

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA DEFINIÇÃO... EQUAÇÃO REDUZIDA... EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA... 3 RECONHECIMENTO... 3 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA... 1 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA... 17 PROBLEMAS

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento Matemática Geometria Analítica

Exercícios de Aprofundamento Matemática Geometria Analítica 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x t pertencente à reta

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M21 Geometria Analítica: Cônicas

Matemática. Resolução das atividades complementares. M21 Geometria Analítica: Cônicas Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: Cônicas p. FGV-SP) Determine a equação da elipse de centro na origem que passa pelos pontos A, 0), B, 0) e C0, ). O centro da elipse

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat Geo. Analítica

Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat Geo. Analítica Exercícios de Aprofundamento 015 Mat Geo. Analítica 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y. Para cada número real t tal que 0 t, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0)

Leia mais

Nome: nº Professor(a): UBERLAN / CRISTIANA Série: 3ª EM Turmas: 3301 / 3302 Data: / /2013

Nome: nº Professor(a): UBERLAN / CRISTIANA Série: 3ª EM Turmas: 3301 / 3302 Data: / /2013 Nome: nº Professor(a): UBERLAN / CRISTIANA Série: 3ª EM Turmas: 3301 / 3302 Data: / /2013 Sem limite para crescer Bateria de Exercícios de Matemática II 1) A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2),

Leia mais

T.D. - Resolução Comentada

T.D. - Resolução Comentada T.D. - Resolução Comentada Matéria: Série: Turmas: Professor: Matemática º Ano A, B, C, D e Olímpica Wilkson Linhares Bimestre: 3º Assunto: Geometria Analítica Questão: 01 Resposta: Item: c) O ponto P

Leia mais

RETA E CIRCUNFERÊNCIA

RETA E CIRCUNFERÊNCIA RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 1. (Unifesp 016) Na figura, as retas r, s e t estão em um mesmo plano cartesiano. Sabe-se que r e t passam pela origem desse sistema, e que PQRS é um trapézio. a) Determine

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica

Exercícios de Matemática Geometria Analítica Eercícios de Matemática Geometria Analítica. (UFRGS) Considere um sistema cartesiano ortogonal e o ponto P(. ) de intersecção das duas diagonais de um losango. Se a equação da reta que contém uma das diagonais

Leia mais

Matemática Régis Cortes GEOMETRIA ANALÍTICA

Matemática Régis Cortes GEOMETRIA ANALÍTICA GEOMETRI NLÍTIC 1 GEOMETRI NLÍTIC Foi com o francês René Descartes, filósofo e matemático que surgiu a geometria analítica. issetriz dos quadrantes pares º QUDRNTE ( -, + ) Y ( eio das ORDENDS ) 1º QUDRNTE

Leia mais

PROFESSOR FLABER 2ª SÉRIE Circunferência

PROFESSOR FLABER 2ª SÉRIE Circunferência PROFESSOR FLABER ª SÉRIE Circunferência 01. (Fuvest SP) A reta s passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da circunferência x + y - x - 4y = 0. Então a equação de

Leia mais

Matemática B Semi-Extensivo V. 3

Matemática B Semi-Extensivo V. 3 Matemática Semi-Extensivo V. Exercícios 01 (x, x; (, 1; (7, d, = d, x x x x = x + 4x + 4 + x + x + 1 = x 14x + 49 + x 4x + 4 4x = 48 x = (, 0 (1, 1; G(, ; M(, 1 (x, y = x = 1 x x = 5 = y x y 1 = 1 y x

Leia mais

Geometria Plana 1 (UEM-2013) Em um dia, em uma determinada região plana, o Sol nasce às 7 horas e se põe às 19 horas. Um observador, nessa região, deseja comparar a altura de determinados objetos com o

Leia mais

13. (Uerj) Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T é definido pela seguinte equação:

13. (Uerj) Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T é definido pela seguinte equação: 1. (Ufc) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(2,0); B(0,4) e C(2Ë5, 4+Ë5). Determine o valor numérico da altura relativa ao lado AB, deste triângulo. 2. (Unesp) A reta r é perpendicular

Leia mais

Aula Elipse. Definição 1. Nosso objetivo agora é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis:

Aula Elipse. Definição 1. Nosso objetivo agora é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis: Aula 18 Nosso objetivo agora é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, onde A 0 ou B 0 ou C 0 Vamos considerar primeiro os casos em que B = 0. Isto é,

Leia mais

Respostas dos Exercícios de Fixação

Respostas dos Exercícios de Fixação Respostas dos Eercícios de Fiação Capítulo 1 1.1) ac + ab + bc = 1.) p = 14 64 9 87 1.7) P =,,Q =, 49 49 49 49 1.8) u+ v = 6 ma 1.10) ( 4b, b ) 1.17) Área =.( AB + BC ).( BC + CD) 1 Última Atualização:

Leia mais

1 Geometria Analítica Plana

1 Geometria Analítica Plana UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE CAMPO MOURÃO Curso: Matemática, 1º ano Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora: Gislaine Aparecida Periçaro 1 Geometria Analítica Plana A Geometria

Leia mais

6.1 equações canônicas de círculos e esferas

6.1 equações canônicas de círculos e esferas 6 C Í R C U LO S E E S F E R A S 6.1 equações canônicas de círculos e esferas Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa distância r de um ponto dado (a, b). Desta forma temos que

Leia mais

MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA

MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira MÓDULO 13 Circunferência e Círculo Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a um ponto fixo (centro) são iguais a uma

Leia mais

Geometria Analítica - AFA

Geometria Analítica - AFA Geometria Analítica - AFA x = v + (AFA) Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r, s e t, tais que (r) :, (s) : mx + y + m = 0 e (t) : x = 0, y = v analise as proposições abaixo, classificando-

Leia mais

Módulo de Geometria Anaĺıtica Parte 2. Circunferência. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis

Módulo de Geometria Anaĺıtica Parte 2. Circunferência. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Módulo de Geometria Anaĺıtica Parte Circunferência a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Geometria Analítica Parte Circunferência 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Em cada item abaixo,

Leia mais

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 178 Capítulo 10 Equação da reta e do plano no espaço 1. Equações paramétricas da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Leia mais

QUESTÃO 04. GEOMETRIA ANALÍTICA QUESTÃO 01 Adotando, convenientemente, um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no vértice inferior

QUESTÃO 04. GEOMETRIA ANALÍTICA QUESTÃO 01 Adotando, convenientemente, um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no vértice inferior GEOMETRIA ANALÍTICA QUESTÃO 01 Adotando, convenientemente, um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no vértice inferior esquerdo do quadrado O1, tem-se B (1, 5; 13, 5), B1 (13, 5; 13, 5) e M3

Leia mais

A(500, 500) B( 600, 600) C(715, 715) D( 1002, 1002) E(0, 0) F (711, 0) (c) ao terceiro quadrante? (d) ao quarto quadrante?

A(500, 500) B( 600, 600) C(715, 715) D( 1002, 1002) E(0, 0) F (711, 0) (c) ao terceiro quadrante? (d) ao quarto quadrante? Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM131 - Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Professora: Monique Rafaella Anunciação de Oliveira Lista de Exercícios 1 1. Dados os pontos:

Leia mais

Aula Exemplos e aplicações - continuação. Exemplo 8. Nesta aula continuamos com mais exemplos e aplicações dos conceitos vistos.

Aula Exemplos e aplicações - continuação. Exemplo 8. Nesta aula continuamos com mais exemplos e aplicações dos conceitos vistos. Aula 1 Nesta aula continuamos com mais exemplos e aplicações dos conceitos vistos. 1. Exemplos e aplicações - continuação Exemplo 8 Considere o plano π : x + y + z = 3 e a reta r paralela ao vetor v =

Leia mais

Apostila de Geometria Analítica Prof. Luciano Soares Pedroso 1º período de Agronomia e Engenharia Ambiental

Apostila de Geometria Analítica Prof. Luciano Soares Pedroso 1º período de Agronomia e Engenharia Ambiental postila de Geometria nalítica º período de gronomia e Engenharia mbiental luno(a): data: / /0 GEOMETRII NLÍÍTIIC.. O PLNO CRTESIINO Y ( eio das ORDENDS ) issetriz dos quadrantes pares issetriz dos quadrantes

Leia mais

Aula Exemplos diversos. Exemplo 1

Aula Exemplos diversos. Exemplo 1 Aula 3 1. Exemplos diversos Exemplo 1 Determine a equação da hipérbole equilátera, H, que passa pelo ponto Q = ( 1, ) e tem os eixos coordenados como assíntotas. Como as assíntotas da hipérbole são os

Leia mais

Resoluções de Exercícios

Resoluções de Exercícios Resoluções de Exercícios MATEMÁTICA IV Co Capítulo 04 Ângulos entre Retas; Inequações no Plano; Circunferência 0 D Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são: 01 A) 03 C Assim,

Leia mais

MATEMÁTICA A - 10o Ano Geometria Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 10o Ano Geometria Propostas de resolução MATEMÁTIA A - 10o Ano Geometria Propostas de resolução Eercícios de eames e testes intermédios 1. omo os pontos A, B e têm abcissa 1, todos pertencem ao plano de equação = 1. Assim a secção produida no

Leia mais

GEOMETRIA ANALI TICA PONTO MEDIANA E BARICENTRO PLANO CARTESIANO DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

GEOMETRIA ANALI TICA PONTO MEDIANA E BARICENTRO PLANO CARTESIANO DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS GEOMETRIA ANALI TICA PONTO PLANO CARTESIANO Vamos representar os pontos A (-2, 3) e B (4, -3) num plano cartesiano. MEDIANA E BARICENTRO A mediana é o segmento que une o ponto médio de um dos lados do

Leia mais

CDA AD CD. 2cos 2sen 2 2cos sen 2sen 2 2 A A A A

CDA AD CD. 2cos 2sen 2 2cos sen 2sen 2 2 A A A A Preparar o Eame 01 016 Matemática A Página 19 88. 88.1. O ângulo CDA está inscrito na circunferência, portanto CDA. Assim: AD CD A ABCD A CDA AD CD AD Tem-se que, cos AD cos CD e sen CD sen. Portanto,

Leia mais

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) =

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) = 54 CAPÍTULO. GEOMETRIA ANALÍTICA.5 Cônicas O grá co da equação + + + + + = 0 (.4) onde,,,, e são constantes com, e, não todos nulos, é uma cônica. A equação (.4) é chamada de equação geral do grau em e

Leia mais

Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Chamada

Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Chamada Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo 013-1 a Chamada Proposta de resolução 1. Como o João escolhe 1 de entre 9 bolas, o número de casos possíveis para as escolhas do João são 9. Como os números, 3, 5 e

Leia mais

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias 4 Posição relativa entre retas e círculos e distâncias Sumário 4.1 Distância de um ponto a uma reta.......... 2 4.2 Posição relativa de uma reta e um círculo no plano 4 4.3 Distância entre duas retas no

Leia mais

Geometria Analítica retas equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e alinhamento de 3 pontos.

Geometria Analítica retas equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e alinhamento de 3 pontos. Geometria Analítica retas equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e alinhamento de pontos. 1. (Ufpr 014) A figura abaixo apresenta o gráfico da reta r: y x + = 0 no plano

Leia mais

Proposta de Teste Intermédio Matemática A 12.º ano

Proposta de Teste Intermédio Matemática A 12.º ano GRUPO I. Se f 0,, então f é estritamente crescente em. Se f é estritamente crescente em e se (0) 0 f, então 0, Se f 0,, então f é estritamente crescente em Logo, f f Resposta: (C). f... e f f e Resposta:

Leia mais

Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Fase

Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Fase Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo 2016-2 a Fase Proposta de resolução Caderno 1 1. Calculando a diferença entre 3 1 e cada uma das opções apresentadas, arredondada às centésimas, temos que: 3 1 2,2

Leia mais

MATERIAL COMPLEMENTAR GEOMETRIA ANALÍTICA Professor. Sander

MATERIAL COMPLEMENTAR GEOMETRIA ANALÍTICA Professor. Sander MATERIAL COMPLEMENTAR GEOMETRIA ANALÍTICA Professor. Sander I) O BÁSICO 0. Considere os pontos A(,8) e B(8,0). A distância entre eles é: 3 3 0 0. O triângulo ABC formado pelos pontos A (7, 3), B ( 4, 3)

Leia mais

Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Chamada

Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Chamada Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo 013 - a Chamada Proposta de resolução 1. 1.1. Como se escolhe um aluno do primeiro turno, ou seja, um aluno com um número ímpar, existem 1 escolhas possíveis (1, 3,

Leia mais

Teste Intermédio de MATEMÁTICA - 9o ano 10 de maio de 2012

Teste Intermédio de MATEMÁTICA - 9o ano 10 de maio de 2012 Teste Intermédio de MATEMÁTICA - 9o ano 10 de maio de 01 Proposta de resolução 1. 1.1. Como, na turma A os alunos com 15 anos são 7% do total, a probabilidade de escolher ao acaso um aluno desta turma

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA. 2) Obtenha o ponto P do eixo das ordenadas que dista 10 unidades do ponto Q (6, -5).

GEOMETRIA ANALÍTICA. 2) Obtenha o ponto P do eixo das ordenadas que dista 10 unidades do ponto Q (6, -5). GEOMETRIA ANALÍTICA Distância entre Dois Pontos Sejam os pontos A(xA, ya) e B(xB, yb) e sendo d(a, B) a distância entre eles, temos: Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem: [d

Leia mais

Matemática capítulo 2

Matemática capítulo 2 Matemática capítulo Eercícios propostos. Marque os seguintes pontos no plano cartesiano: (,), (,), (-,), D(-,-), E(,-), F(-,), G(,) θ. Determine os valores de a que satisfazem as condições dadas: a) O

Leia mais

Análise Vetorial na Engenharia Elétrica

Análise Vetorial na Engenharia Elétrica nálise Vetorial na Engenharia Elétrica ula 13/03/09 1.3 - Medida algébrica de um segmento Segmento: um segmento é determinado por um par ordenado d de pontos. figura 1.8 apresenta um segmento Figura 1.8

Leia mais

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas 1 Coordenadas Cartesianas 1.1 O produto cartesiano Para compreender algumas notações utilizadas ao longo deste texto, é necessário entender o conceito de produto cartesiano, um produto entre conjuntos

Leia mais

Resolução 2 a fase 2015 Nível 3

Resolução 2 a fase 2015 Nível 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA XVIII OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA PET MATEMÁTICA Resolução a fase 015 Nível 3 Problema 1. O jogo das luzes é composto por um tabuleiro 3 3 com nove botões numerados

Leia mais

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) =

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) = 54 CAPÍTULO. GEOMETRIA ANALÍTICA.5 Cônicas O grá co da equação + + + + + = 0 (.4) onde,,,, e são constantes com, e, não todos nulos, é uma cônica. A equação (.4) é chamada de equação geral do grau em e

Leia mais

Questão 1 a) A(0; 0) e B(8; 12) b) A(-4; 8) e B(3; -9) c) A(3; -5) e B(6; -2) d) A(2; 3) e B(1/2; 2/3) e) n.d.a.

Questão 1 a) A(0; 0) e B(8; 12) b) A(-4; 8) e B(3; -9) c) A(3; -5) e B(6; -2) d) A(2; 3) e B(1/2; 2/3) e) n.d.a. APOSTILAS (ENEM) VOLUME COMPLETO Exame Nacional de Ensino Médio (ENEM) 4 VOLUMES APOSTILAS IMPRESSAS E DIGITAIS Questão 1 (UFPE) Determine o ponto médio dos segmentos seguintes, que têm medidas inteiras:

Leia mais

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 1ª FASE 25 DE JUNHO 2019 CADERNO 1. e AV.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 1ª FASE 25 DE JUNHO 2019 CADERNO 1. e AV. Associação de Professores de Matemática Contactos: Rua Dr. João Couto, n.º 7-A 1500-6 Lisboa Tel.: +51 1 716 6 90 / 1 711 0 77 Fa: +51 1 716 64 4 http://www.apm.pt email: geral@apm.pt PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

Leia mais

EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO DE GEOMETRIA 2º TRIMESTRE FORMULÁRIO

EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO DE GEOMETRIA 2º TRIMESTRE FORMULÁRIO EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO DE GEOMETRIA º TRIMESTRE Nome: nº: Ano:ºA E.M. Data: / / 018 Professora: Lilian Caccuri x A x B ya y Ponto médio: M ; yb ya Coeficiente angular: m x x 1) As retas x - y = 3 e

Leia mais

MATEMÁTICA CADERNO 3 CURSO E. FRENTE 1 Álgebra. n Módulo 11 Módulo de um Número Real. 5) I) x + 1 = 0 x = 1 II) 2x 7 + x + 1 0

MATEMÁTICA CADERNO 3 CURSO E. FRENTE 1 Álgebra. n Módulo 11 Módulo de um Número Real. 5) I) x + 1 = 0 x = 1 II) 2x 7 + x + 1 0 MATEMÁTICA CADERNO CURSO E ) I) + 0 II) 7 + + 0 FRENTE Álgebra n Módulo Módulo de um Número Real ) 6 + < não tem solução, pois a 0, a ) A igualdade +, com + 0, é verificada para: ọ ) + 0 ou ọ ) + + + +

Leia mais

Média, Mediana e Distância entre dois pontos

Média, Mediana e Distância entre dois pontos Média, Mediana e Distância entre dois pontos 1. (Pucrj 01) Se os pontos A = ( 1, 0), B = (1, 0) e C = (, ) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é a) 1 b) c) 4 d) e). (Ufrgs

Leia mais

3 O ANO EM. Lista 19. Matemática II. f(x) g (x). g, 0,g 1 R R as seguintes funções: x 2 x 2 g 0(x) 2 g 0(4x 6) g 0(4x 6) g 1(x) 2 RAPHAEL LIMA

3 O ANO EM. Lista 19. Matemática II. f(x) g (x). g, 0,g 1 R R as seguintes funções: x 2 x 2 g 0(x) 2 g 0(4x 6) g 0(4x 6) g 1(x) 2 RAPHAEL LIMA 3 O ANO EM Matemática II RAPHAEL LIMA Lista 19 1. (Pucrj 017) Dadas as funções f,g R R definidas por f(x) x 13x 36 - e g(x) - x 1. a) Encontre os pontos de interseção dos gráficos das duas funções. b)

Leia mais

2ª. Lista de Revisão Geometria Plana Prof. Kátia Curso SER - Poliedro

2ª. Lista de Revisão Geometria Plana Prof. Kátia Curso SER - Poliedro ª. Lista de Revisão Geometria Plana Prof. Kátia Curso SER - Poliedro 1. (G1 - cps 016) A erosão é o processo de desgaste, transporte e sedimentação das rochas e, principalmente, dos solos. Ela pode ocorrer

Leia mais

2º trimestre Lista de exercícios Ensino Médio 2º ano classe: Prof. Maurício Nome: nº

2º trimestre Lista de exercícios Ensino Médio 2º ano classe: Prof. Maurício Nome: nº º trimestre Lista de exercícios Ensino Médio º ano classe: Prof. Maurício Nome: nº --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Leia mais

Matemática A Extensivo V. 4

Matemática A Extensivo V. 4 Etensivo V. 4 Eercícios 0) C f(t) = at + b (t = tempo) (I) t = 0 f(t) = 9000 (II) t = 4 f(t) = 4000 Substituindo os valores na função f(t) = at + b, temos: (I) 9000 = a. 0 + b b = 9000 (II) 4000 = 4a +

Leia mais

0 < c < a ; d(f 1, F 2 ) = 2c

0 < c < a ; d(f 1, F 2 ) = 2c Capítulo 14 Elipse Nosso objetivo, neste e nos próximos capítulos, é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, onde A 0 ou B 0 ou C 0 Para isso, deniremos,

Leia mais

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos Polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Exemplos 11.1 Elementos de um polígono

Leia mais

Geometria Analítica - Aula

Geometria Analítica - Aula Geometria Analítica - Aula 18 228 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 19 Continuamos com o nosso estudo da equação Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 1. Hipérbole Definição 1 Uma hipérbole, H, de focos F 1

Leia mais

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas Circunferência trigonométrica

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas Circunferência trigonométrica FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas Circunferência trigonométrica Teorema de Pitágoras Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma

Leia mais

Elipse. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Elipse. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Cônicas Elipse ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Cônicas Elipse c) (x 1) (y ) 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. O ponto que representa o centro da elipse de (x 1) (y ) equação = 1

Leia mais

Capítulo 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 é assim definido:

Capítulo 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 é assim definido: Capítulo 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r é assim definido: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, se as retas são concorrentes, isto é, r1

Leia mais

Capítulo 3 - Geometria Analítica

Capítulo 3 - Geometria Analítica 1. Gráficos de Equações Capítulo 3 - Geometria Analítica Conceito:O gráfico de uma equação é o conjunto de todos os pontos e somente estes pontos, cujas coordenadas satisfazem a equação. Assim, o gráfico

Leia mais

Lista de Exercícios Geometria Analítica CONICAS

Lista de Exercícios Geometria Analítica CONICAS Lista de Exercícios Geometria Analítica CONICAS - 017 1. (Fgv 017) No plano cartesiano, a região determinada pelas inequações simultâneas x y 4 e x y 0 tem área igual a: a) π b),5π c) 3π d) 3,5π e) 4π.

Leia mais

Como a PA é decrescente, a razão é negativa. Então a PA é dada por

Como a PA é decrescente, a razão é negativa. Então a PA é dada por Detalhamento das Soluções dos Exercícios de Revisão do mestre 1) A PA será dada por Temos Então a PA será dada por:, e como o produto é 440: Como a PA é decrescente, a razão é negativa. Então a PA é dada

Leia mais

INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA 3ª Lista GABARITO DATA: 14/09/2016

INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA 3ª Lista GABARITO DATA: 14/09/2016 INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA ª Lista MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA GABARITO DATA: 14/09/016 1) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem centro no ponto P (, 1), e a reta t é tangente a C no ponto

Leia mais

Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência

Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência Plano cartesiano, Retas e Alex Oliveira Circunferência Sistema cartesiano ortogonal O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A intersecção dos eixos x e y é

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 04 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I. Usando as leis de DeMorgan, e a probabilidade do acontecimento contrário, temos que: P A B P A B P A B então P A B 0,48

Leia mais

Concluimos dai que o centro da circunferência é C = (6, 4) e o raio é

Concluimos dai que o centro da circunferência é C = (6, 4) e o raio é QUESTÕES-AULA 17 1. A equação x 2 + y 2 12x + 8y + 0 = 0 representa uma circunferência de centro C = (a, b) e de raio R. Determinar o valor de a + b + R. Solução Completamos quadrados na expressão dada.

Leia mais

2ª. Lista de Revisão Geometria Plana Prof. Kátia Curso SER - Poliedro

2ª. Lista de Revisão Geometria Plana Prof. Kátia Curso SER - Poliedro ª. Lista de Revisão Geometria Plana Prof. Kátia Curso SER - Poliedro 1. (G1 - cps 016) A erosão é o processo de desgaste, transporte e sedimentação das rochas e, principalmente, dos solos. Ela pode ocorrer

Leia mais

Proposta de teste de avaliação

Proposta de teste de avaliação Proposta de teste de avaliação Matemática. N DE ESLRIDDE Duração: 90 minutos Data: Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item

Leia mais

DO ENSINO MÉDIO. ELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES. RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.

DO ENSINO MÉDIO. ELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES. RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO FINAL DE MATEMÁTICA APLICADA EM 008 NO COLÉGIO ANCHIETA-BA, AOS ALUNOS DA a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO. ELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. 0. D C

Leia mais

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. 3 a série E.M.

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. 3 a série E.M. Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Equação da Reta. 3 a série E.M. Geometria Analítica 1 Equação da Reta. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Determine a equação da reta cujo gráfico está representado

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 6

Matemática E Extensivo V. 6 Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. ) D a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = +

Leia mais

UNICAMP Você na elite das universidades! MATEMÁTICA ELITE SEGUNDA FASE

UNICAMP Você na elite das universidades! MATEMÁTICA ELITE SEGUNDA FASE www.elitecampinas.com.br Fone: (19) -71 O ELITE RESOLVE IME 004 PORTUGUÊS/INGLÊS Você na elite das universidades! UNICAMP 004 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA www.elitecampinas.com.br Fone: (19) 51-101 O ELITE

Leia mais

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira:

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira: Aula 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r se define da seguinte maneira: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, Se as retas são concorrentes, isto

Leia mais

Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos

Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos º Ano No plano Mediatriz de um segmento de reta [AB] Sendo M o ponto

Leia mais

1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 42, cos 42 e tg 42. Resolução Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo:

1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 42, cos 42 e tg 42. Resolução Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo: Atividades Complementares 1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 4, cos 4 e tg 4. Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo: Medimos, com auxílio da régua, os lados

Leia mais

Geometria Analítica. x + y 4x 6y+ m= 0 e a circunferência C 2 tem. C 2 são tangentes exteriormente, assinale o que for

Geometria Analítica. x + y 4x 6y+ m= 0 e a circunferência C 2 tem. C 2 são tangentes exteriormente, assinale o que for Geometria Analítica 1. (Uerj 15) As baterias B 1 e B de dois aparelhos celulares apresentam em determinado instante, respectivamente, 1% e 9% da carga total. Considere as seguintes informações: - as baterias

Leia mais

Estudante: Circunferência: Equação reduzida da circunferência: Circunferência: Consideremos uma circunferência de centro C (a, b) e raio r.

Estudante: Circunferência: Equação reduzida da circunferência: Circunferência: Consideremos uma circunferência de centro C (a, b) e raio r. Gênesis Soares Jaboatão, de de 014. Estudante: Circunferência: Circunferência: A circunferência é o conjunto de todos os pontos de plano equidistantes de outro ponto C do mesmo plano chamado centro da

Leia mais

Questão 1. Questão 2. Resposta. Resposta

Questão 1. Questão 2. Resposta. Resposta Questão Um tapete deve ser bordado sobre uma tela de m por m, com as cores marrom, mostarda, verde e laranja, da seguinte forma: o padrão quadrado de 8 cm por 8 cm, mostrado abaio, será repetido tanto

Leia mais

Matemática D Extensivo V. 3

Matemática D Extensivo V. 3 Extensivo V. Resolva Aula 9 9.0) C 9.01) B Em AC, temos: 8 x + 7 x = 9 6 = x x = PQRO é um losango. Assim, os ângulos opostos são iguais. + 00 = 60 = 80 o Aula 10 9.0) B 10.01) Comprimento:. = Comprimento:.

Leia mais

Lista 23 - GEOMETRIA ANALÍTICA - II

Lista 23 - GEOMETRIA ANALÍTICA - II Lista - GEOMETRIA ANALÍTICA - II 1) (UFSM) Sejam o ponto A(, ) e a reta r, bissetriz do 1 o quadrante. A equação da reta que passa pelo ponto A, perpendicular à reta r, é (A) y = + - y = y = - + 8 y +

Leia mais

MATEMÁTICA 3 ( ) A. 17. Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = x/2. Associe cada função abaixo ao gráfico que. 2 e g.f 3. O número pedido é = 75

MATEMÁTICA 3 ( ) A. 17. Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = x/2. Associe cada função abaixo ao gráfico que. 2 e g.f 3. O número pedido é = 75 MATEMÁTICA 3 17. Sejam f() sen() e g() /2. Associe cada função abaio ao gráfico que melhor a representa. Para cada associação feita, calcule i k, onde i é o número entre parênteses à direita da função,

Leia mais

Matemática A Extensivo V. 3

Matemática A Extensivo V. 3 Etensivo V. Eercícios 0) a) S = {, } b) S = c) S = ; 4 d) S = {,,, } e) S = ; a) + = Pela propriedade IX temos: + = ou + = = = = = Para = Para = + = + = = = = (ok) = (ok) S = {, } b) = + Pela propriedade

Leia mais

Matemática D Semi-Extensivo V. 2

Matemática D Semi-Extensivo V. 2 Matemática D Semi-Etensivo V. Eercícios 0) 0) D 60 60 P y z y y z D 6 P é semelante a DP. 6 z ssim: D + z tg 60º z 6 0) P E 0) D y 0 y + y 00 y 9y + y 00 6 9y + 6y 00 6 y 00 6 y 6 y 8 6 Perímetro: 6 +

Leia mais

MATEMÁTICA A - 11o Ano Geometria -Trigonometria Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 11o Ano Geometria -Trigonometria Propostas de resolução MTEMÁTI - o no Geometria -Trigonometria ropostas de resolução Eercícios de eames e testes intermédios. bservando que os ângulos e RQ têm a mesma amplitude porque são ângulos de lados paralelos), relativamente

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Simplificando as expressões de z 1 e z, temos que: Como i 19 i + i i, vem

Leia mais