DETERMINANTE Calcule o determinante da matriz obtida pelo produto de A B. sen(x) sec(x) cot g(x)

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1 DETERMINANTE (Uerj 2016) Considere uma matriz A com 3 linhas e 1 coluna, na qual foram escritos os valores 1, 2 e 13, nesta ordem, de cima para baixo. Considere, também, uma matriz B com 1 linha e 3 colunas, na qual foram escritos os valores 1, 2 e 13, nesta ordem, da esquerda para a direita. Calcule o determinante da matriz obtida pelo produto de A B. 2. (Feevale 2016) O determinante da matriz a) 0 b) 1 c) sen(x) d) cos(x) e) tg(x) sen(x) sec(x) cot g(x) é 3. (Uece 2016) Sobre a equação detm 1, na qual M é a matriz determinante da matriz M, pode-se afirmar corretamente que a equação a) não possui raízes reais. b) possui três raízes reais e distintas. c) possui três raízes reais, das quais duas são iguais e uma é diferente. d) possui três raízes reais e iguais. 1 2 x 2 x 1 x 1 x e detm é o 4. (G1 - ifal 2016) O valor do determinante abaixo: sen x a) 1. b) cos 2x. c) sen 2x. d) tg 2x. e) sen x é: sen x. Página 1 de 6

2 5. (Uern 2015) Considere a seguinte matriz A (a ij) 3X3 : 2 1 log log2 4 1 Pela regra de Sarrus, o determinante dessa matriz é a) 8. b) 9. c) 15. d) (Udesc 2015) Considerando que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e inversível, se 2 det(3a) det(a ), então det(a) é igual a: a) 9 b) 0 c) 3 d) 6 e) (Acafe 2015) Sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, marque com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas. ( ) Uma matriz A é quadrada de ordem 4, e seu determinante vale 3, então, o valor do determinante da matriz 2A é 48. 2x 3y 5 ( ) O sistema não admite solução para a 12 e b 20. 8x ay b ( ) Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se, e somente se, det A 0. ( ) Para quaisquer matrizes A e B tais que existam os produtos AB e BA, tem-se 2 (A B) A 2AB B. A sequência correta, de cima para baixo, é: a) V - F - V - F b) V - F - V - V c) F - V - F - V d) F - V - F - F 8. (Fgv 2015) Os elementos da matriz A (a ij) 3 3 representam a quantidade de voos diários apenas entre os aeroportos i, de um país, e os aeroportos j, de outro país. A respeito desses voos, sabe-se que: - quando j 2, o número de voos é sempre o mesmo; - quando i j, o número de voos é sempre o mesmo; - quando i 3, o número de voos é sempre o mesmo; a 0, e det A De acordo com as informações, é correto afirmar que o conjunto solução com as possibilidades de a 11 é igual a a) {a 21,a 13} b) {a 21,a 23} c) {a 22,a 13} Página 2 de 6

3 d) {a 21,a 22} e) {a 13,a 22} 9. (Ifsul 2015) Sejam as matrizes A 22, onde identidade. Sabendo que a) 11 b) 11 c) 9 d) 9 j 2,se i j a ixj, B I i 2, e I é a matriz j,se i j t A é a matriz transposta de A, qual é o determinante de t (A B)? 10. (Pucrs 2014) Dadas as matrizes A e igual a a) 18 b) 21 c) 32 d) 126 e) B 5, 6 o determinante det A B é 11. (Uece 2014) Uma matriz quadrada P (aij) é simétrica quando aij aji. Por exemplo, a matriz é simétrica x y x y xy Se a matriz M 1 y x 2y é simétrica, pode-se afirmar corretamente que o 6 x 1 1 determinante de M é igual a a) 1. b) 2. c) 1. d) (Uepb 2014) Se x e y são números reais não nulos e de 2x 3y é: a) 10 b) 4 c) 7 d) 5 e) 5 x y x y x 0 x 0, então o valor Página 3 de 6

4 Gabarito: Resposta da questão 1: 1 Desde que A 2 13 e B , temos A B Portanto, observando que a matriz A B apresenta filas proporcionais, podemos concluir que det(a B) 0. Resposta da questão 2: [B] sen(x) cos(x) 1 sec(x) 0 sen(x) sec(x) cot g(x) sen(x) 1 cos(x) sen(x) 0 0 cot g(x) Resposta da questão 3: [C] Tem-se que 1 2 x detm 1 2 x 1 1 x 1 x 2 3 x 2x 2x x 1 4x 1 2 x (x 1) 0. Logo, a equação possui três raízes reais, das quais duas são iguais a x 0 e a outra é x 1. Resposta da questão 4: sen x sen x sen x 1 Resposta da questão 5: [C] Reescrevendo a matriz A, tem-se: 2 1 log log O determinante da mesma será: det A det A 15 Página 4 de 6

5 Resposta da questão 6: [E] Pelo Teorema de Binet, sabemos que det(a B) det(a) det(b), com A e B sendo matrizes invertíveis. Além disso, temos ordem da matriz invertível A. Portanto, segue que det(3a) det(a ) 3 det(a) det (A) n det(ka) k det(a), em que k é um número real e n é a det(a) (det(a) 27) 0 det(a) 27. Resposta da questão 7: VERDADEIRA. Se det A 3, então tem-se: 4 det(2a) n det(2a) 2 det A, sendo n a ordem da matriz. Assim, FALSA. Se a 12 e b 20 o sistema será possível e indeterminado, pois: 2x 3y 5 8x 12y 20 sistema possível e indeterminado 8x 12y 20 8x 12y 20 Ou ainda: 2x 3y a 24 0 a 12 8x ay b 8 a VERDADEIRA. A condição necessária para a existência da inversa de uma matriz quadrada é que deu determinante seja diferente de zero. FALSA. O produto notável não se aplica pois, na multiplicação de matrizes a matriz AB não é necessariamente igual a matriz BA. Resposta da questão 8: α α φ Tem-se que A β α γ. Logo, sabendo que det A 0 e a11 0, pela propriedade das α α α filas paralelas, deve-se ter β α ou φ α. Portanto, o resultado é a 11 {a 21, a 13}. Página 5 de 6

6 Resposta da questão 9: Determinando a matriz A de acordo com a lei de formação proposta, temos: A Considerando que B é a matriz identidade de ordem 2, temos: 1 0 B 0 1 t Portanto, A B E o determinante de Resposta da questão 10: [C] t (A B) será dado por: A B e det(a B) 32 Resposta da questão 11: [B] x y x y xy x y 1 6 x y 1 M 1 y x 2y x y y x x 1 x y 6 6 x 1 1 xy 2y 1 x 1 2y Resolvendo o sistema, temos: x = 3 e y = 2. Portanto, det(m) Resposta da questão 12: [E] Desenvolvendo o determinante da equação, temos: 3 2 3x 5xy 3x (x y ) 2x y x 5xy 3x 3xy 2x y 0 5xy 3xy 2x y 0 xy( 5 3y 2x) 0 Como o produto x y é não nulo, temos: 3y 2x x 3y 5 Página 6 de 6