NOME: CURSO: MATEMÁTICA DATA: / /2013

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1 LISTA 44 MÓDULO 4. (Espcex (Aman) 04) O elemento da segunda linha e 0 terceira coluna da matriz inversa da matriz 0 é: 0 a) b) c) 0 d) e). (Ufrn 0) Considere, a seguir, uma tabela com as notas de quatro alunos em três avaliações e a matriz M formada pelos dados dessa tabela. Avaliação Avaliação Avaliação Thiago 8 9 Maria 8 7 Sônia 9 André M O produto M corresponde à média a) de todos os alunos na Avaliação. b) de cada avaliação. c) de cada aluno nas três avaliações. d) de todos os alunos na Avaliação.. (Pucrs 0) Num jogo, foram sorteados números para compor uma matriz M (m ij) de ordem. Após o sorteio, notou-se que esses números obedeceram à regra mij 4i j. Assim, a matriz M é igual a. a) 5 7 b) 4 5 c) 7 5 d) e) 5 NOME: CURSO: MATEMÁTICA DATA: / /0 5. (Uel 0) Atualmente, com a comunicação eletrônica, muitas atividades dependem do sigilo na troca de mensagens, principalmente as que envolvem transações financeiras. Os sistemas de envio e recepção de mensagens codificadas chamam-se Criptografia. Uma forma de codificar mensagens é trocar letras por números, como indicado na tabela-código a seguir. 4 5 Z Y X V U T S R Q P O N M L K 4 J I H G F 5 E D C B A Nessa tabela-código, uma letra é identificada pelo número formado pela linha e pela coluna, nessa ordem. Assim, o número corresponde à letra N. A mensagem final M é dada por A B M, onde B é uma matriz fixada, que deve ser mantida em segredo, e A é uma matriz enviada ao receptor legal. Cada linha da matriz M corresponde a uma palavra da mensagem, sendo o 0 (zero) a ausência de letras ou o espaço entre palavras. José tuitava durante o horário de trabalho quando recebeu uma mensagem do seu chefe, que continha uma matriz A. De posse da matriz B e da tabela-código, ele decodificou a mensagem. O que a chefia informou a José? Dados: A B a) Sorria voce esta sendo advertido. b) Sorria voce esta sendo filmado. c) Sorria voce esta sendo gravado. d) Sorria voce esta sendo improdutivo. e) Sorria voce esta sendo observado.. (Espm 0) A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de apartamentos é dada pela matriz 4 x 5 y, onde cada elemento aij representa a y x quantidade de moradores do apartamento j do andar i. 4. (Espcex (Aman) 0) Considere as matrizes 5 A x e x y 4 B. y Se x e y são valores para os quais B é a transposta da Inversa da matriz A, então o valor de x y é a) b) c) d) 4 e) 5 Sabe-se que, no º andar, moram pessoas a mais que no º e que os apartamentos de número comportam pessoas ao todo. O valor de n é: a) 0 b) c) d) e) 4 valdivinomat@yahoo.com.br Rua de junho,

2 7. (Fuvest 0) Sejam α e β números reais com π α π e 0 β π. Se o sistema de equações, dado em notação matricial, tg α 0, 8 cos β for satisfeito, então α β é igual a a) π b) π π π c) 0 d) e) 8. (Fgv 0) Sabendo que a inversa de uma matriz A é A, 5 e que a matriz X é solução da equação matricial X A B, B 8, podemos afirmar em que que a soma dos elementos da matriz X é a) 7 b) 8 c) 9 d) 0 e) 9. (Insper 0) Considere as matrizes 0 A, 0 0 x B, 80 X y e x Y. Se x e y são as y 0 soluções não nulas da equação A Y B X, 0 então x y é igual a a). b) 7. c) 8. d) 9. e) (Udesc 0) Se a é o menor valor que satisfaz a inequação 8x e sen(y) a, então o valor da constante k, que satisfaz a igualdade sen(y) k cotg(y), é: a) 8 b) c) 4 d) e). (Insper 0) Movendo as hastes de um compasso, ambas de comprimento, é possível determinar diferentes triângulos, como os dois representados a seguir, fora de escala.. (Ime 0) Seja o determinante da matriz x x x. O número de possíveis valores de x reais x x que anulam é a) 0 b) c) d) e) 4. (Uepg 0) Sobre a matriz cos 5sen 5 A, assinale o que for correto. sen 5 cos 5 cos 0sen 0 0) A sen 0 cos 0 0) det A. t cos ) AA cos 0 08) det A ) det A 0 4. (Uepb 0) A equação log(x ) tem como solução real os log(x ) log(x ) valores de x: a) e 0 b) 0 e c) e d) 4 e e) e 5. (Epcar (Afa) 0) Considere as matrizes A e B, inversíveis e de ordem n, bem como a matriz identidade I. Sabendo que det A 5 e det I.B.A, então o det. B.A t a) n 5 b) n 5 c) n 5 d) n. (Ita 0) Se cos x, então um possível valor cotg x de é cossec(x π) sec( π a). b). c). d). e). Se a área do triângulo T é o triplo da área do triângulo T, então o valor de cosθ é igual a 5 7. (Fgv 0) Se sen x sen y e cos x cos y, sec x y é igual a então, a). b). c). d). e). a) b) c) d) e) 4 valdivinomat@yahoo.com.br Rua de junho,

3 Gabarito: Resposta da questão : [A] Considere a matriz B a inversa da matriz logo b será dado por: 0 Det(A) A 0, 0 L '' ( ) L ' L ' x 0 M'' 0 x 5 L ''' L '' x 5 x 0 M''' 0 x 5 x 5 b A Resposta da questão : [C] Efetuando o produto, obtemos M, o que corresponde à média de cada aluno nas três avaliações. Resposta da questão : [C] Temos m m m M m m m Resposta da questão 4: [C] Considere a matriz M dada por 5 0 M. x 0 Aplicando as operações elementares sobre a matriz M, obtemos L L x 0 M' 5 0 L '''' ( L ''' L ''' x 5 0 x 5 x 5 M''''. 0 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 Desse modo, A e, portanto, x 5 x 5 x t x 5 x 5 (A ). 5 x 5 x 5 Se B é a transposta da inversa de A, então x x y 4 x 5 x 5 x 5 y 5 5 y x 5 x 5 x 5 x. y 5 Portanto, x y 5 7. Resposta da questão 5: [B] A matriz M é tal que M Portanto, a chefia informou a José: Sorria, você está sendo filmado. valdivinomat@yahoo.com.br Rua de junho,

4 Resposta da questão : [C] Sabendo que os apartamentos de número comportam pessoas ao todo, temos: 5 y x x y. Portanto, o valor de n é dado por: 4 x y. Resposta da questão 7: [B] Efetuando o produto matricial, vem tg 0 tg cos 0 8 cos tg 8cos tg cos 0 tg 4cos cos cos rad. Desse modo, tg cos 0 tg rad e, portanto, rad. Resposta da questão 8: [A] Sabendo que A A I, com I sendo a matriz identidade de ordem, temos X A B X A A B A X I B A X 8 5 X X 9. Por conseguinte, a soma pedida é igual a 9 ( ) 7. Resposta da questão 9: [C] Sabendo que x 0 e y 0, vem 0 0x 0 x0 A Y B X 0 0 y 8 0y0 x y 0 y 8x0 x y 0 y 8x 0 x y 0 y 8x 0 y x x(x 8) 0 x. y 4 Portanto, x y ( ) ( 4) 8. Resposta da questão 0: [A] Sabendo que w α α w α, para todo α 0, temos 8x 8x 8x 8x 4 x. 4 Logo, a e, portanto, seny. 4 4 Desse modo, vem cos y seny k cotgy sen y cos y k sen y valdivinomat@yahoo.com.br Rua de junho, k sen y k 4 k. 8 Resposta da questão : [A] A área de T é dada por sen, enquanto que a área de T é igual a sen. Logo, sabendo que a área de T é o triplo da área de T, vem sen sen sen sen cos cos. Resposta da questão : [C] Temos: x x x x x 4 x x 4x x x (x x 4x ) x (x ) (x x ). Portanto, como x x 0 não possui raízes reais, segue que apenas x 0 e x anulam. Resposta da questão : = 0. [0] (Verdadeira), pois cos 5sen 5cos5.sen5cos5sen5 A cos5 sen5 cos5 sen5 cos 5 sen 5 cos0sen0 sen0cos0 [0] (Verdadeira). det(a) cos 5sen 5.

5 t cos5 0 [04] (Falsa). A A. 0 cos5 [08] (Falsa). [] (Falsa). det( A) det(a) 4 4. deta (deta). Resposta da questão 4: [E] Temos log(x ) log(x )[log(x ) ] 0 log(x ) log(x ) log(x ) 0 ou log(x ) 0 x ou x. 5 5 sen x sen y sen x sen x sen y sen y 9 cos x cos y cos x cos xcos y cos y sen x cos x (sen x sen y cos xcos y) 5 sen y cos y (sen x sen y cos xcos y) sen x sen y cos xcos y cos(x y) sec(x y). Resposta da questão 5: [B] det IB A det B A det B det A det B 5 detb 5 t n n det B A det (A B det A B 5 5 n n 5 5 Resposta da questão : [A] cos x cos x cotg x senx senx cos x (I) cossec(x π) sec( π cos x senx cos x senx.cos x cos x cos x cos x cos x (II) Substituindo (II) em (I), temos: cotg x cossec(x π) sec( π cotg x = cossec(x π) sec( π Resposta da questão 7: [D] = ou Sabendo que sen αcos α,. cos( α β) cosα cosβ senα senβ e vem sec α, cosα valdivinomat@yahoo.com.br Rua de junho,