Fórmulas da Soma e da Diferença

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1 Fórmulas da Soma e da Diferença Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática Básica II de julho de / 25

2 Sumário 1 Cosseno da Soma / 25

3 Sejam α, β R. Então cos(α + β) = cos α. cos β senα.senβ cos(α β) = cos α. cos β + senα.senβ sen(α + β) = senα. cos β + senβ. cos α sen(α β) = senα. cos β senβ. cos α 3 / 25

4 Sumário 1 Cosseno da Soma / 25

5 Considere o Ciclo Trigonométrico. 5 / 25

6 6 / 25

7 7 / 25

8 8 / 25

9 AÔC = DÔB AO = BO = CO = DO AOC DOB d(a, C) = d(b, D) A = (1, 0) B = (cos α, senα) C = (cos(α + β), sen(α + β)) D = (cos( β), sen( β)) d(a, C) = (xa x C ) 2 + (y A y C ) 2 d(b, D) = (xb x D ) 2 + (y B y D ) 2 9 / 25

10 d(a, C) = d(b, D) = (xa x C ) 2 + (y A y C ) 2 = (xb x D ) 2 + (y B y D ) 2 (x A x C ) 2 + (y A y C ) 2 = (x B x D ) 2 + (y B y D ) 2 (1 cos(α + β)) 2 + (0 sen(α + β)) 2 = (cos α cos( β)) 2 + (senα sen( β)) 2 (1 cos(α + β)) 2 + sen 2 (α + β) = (cos α cos β) 2 + (senα + senβ) cos(α + β) + cos 2 (α + β) + sen 2 (α + β) = cos 2 α 2 cos α. cos β + cos 2 β + sen 2 α + 2senα.senβ + sen 2 β 2 2 cos(α + β) = 2 2 cos α. cos β + 2senα.senβ cos(α + β) = cos α. cos β senα.senβ 10 / 25

11 Sumário 1 Cosseno da Soma / 25

12 Vimos que cos(α + β) = cos α. cos β senα.senβ Lembremos que a função seno é ímpar (sen( x) = senx) e que a função cosseno é par (cos( x) = cos x). Daí cos(α β) = cos(α + ( β)) Ou seja, = cos α cos( β) senα.sen( β) = cos α cos β + senα.senβ cos(α β) = cos α. cos β + senα.senβ 12 / 25

13 Sumário 1 Cosseno da Soma / 25

14 ( π ) Considere α = 2 x e β, onde x, β R (( π ) ) cos(α β) = cos 2 x β ( π ) = cos 2 (x + β) = cos π 2. cos(x + β) + senπ.sen(x + β) 2 = sen(x + β) cos(α β) = sen(x + β) (I) 14 / 25

15 Por outro lado (( π ) cos(α β) = cos 2 x = cos ) β ( π 2 x ) cos β + sen = [cos π ] 2. cos x + senπ 2.senx = senx. cos β + sen = senx. cos β + senα.senβ ( π 2 x ) senβ ( π ) cos β + sen 2 x ( π 2 x ) senβ cos(α β) = senx. cos β + senα.senβ (II) senβ 15 / 25

16 Mais ainda senα = 1 cos 2 α [ ( π )] 2 = 1 cos 2 x = 1 [cos π ] 2 2 cos x + senπ 2.senx = 1 [senx] 2 = cos 2 x senα = cos x (III) 16 / 25

17 De cos(α β) = sen(x + β) (I ) cos(α β) = senx. cos β + senα.senβ (II ) senα = cos x (III ) Temos sen(x + β) = senx. cos β + senα.senβ sen(x + β) = senx. cos β + cos x.senβ 17 / 25

18 Sumário 1 Cosseno da Soma / 25

19 Como já sabemos, sen(α + β) = senα. cos β + cos α.senβ Portanto sen(α + ( β)) = senα. cos( β) + cos α.sen( β) Cosseno é par. Seno é ímpar. sen(α β) = senα. cos β cos α.senβ 19 / 25

20 Sumário 1 Cosseno da Soma / 25

21 Usando o fato de que Cosseno da Soma Então, onde for possível, sen(α β) tg(α β) = cos(α β) E podemos chegar em tgx = senx cos x tg(α β) = tgα tgβ 1 + tgα.tgβ Usando que tg(α + β) = tg(α ( β)), mostramos que tg(α + β) = tgα + tgβ 1 tgα.tgβ 21 / 25

22 Sumário 1 Cosseno da Soma / 25

23 Mostrar que sen2x = 2senx. cos x cos 2x = cos 2 x sen 2 x tg2x = 2tgx 1 tg 2 x senx = 2.tg x tg 2 x 2 cos x = 1 tg 2 x tg 2 x 2 23 / 25

24 - Solução Mostrar que 2.tg x senx = tg 2 x ( 2 sen 2. x ) senx = 2 ( 1 sen 2. x ) = 2 cos 2 x 2 + x sen2 2 = 2sen x 2. cos x 2 cos 2 x 2 + sen2 x 2 24 / 25

25 - Solução 2sen x senx = 2. cos x 2 cos 2 x 2 + x sen2 2 2sen x 2. cos x 2 = cos 2 x 2 = 2.tg x 2 cos 2 x 2 + sen2 x tg 2 x 2 cos 2 x 2 25 / 25