Módulo de Trigonometria. Seno, Cosseno e Tangente. 1 a série E.M.

Transcrição

1 Módulo de Trigonometria Seno, Cosseno e Tangente 1 a série E.M.

2 Trigonometria Seno, Cosseno e Tangente. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Determine a) sen 10 o. b) sen 180 o. c) sen 40 o. d) sen 315 o. e) sen( 3π 4 ). f) sen( 7π 6 ). g) sen( 5π 3 ). Exercício. Determine a) cos 90 o. b) cos 135 o. c) cos 40 o. d) cos 330 o. e) cos( 5π 4 ). f) cos( 11π 6 ). g) cos( π 3 ). Exercício 3. Determine a) tg 10 o. b) tg 5 o. c) tg 40 o. d) tg 300 o. e) tg( 7π 4 ). f) tg( 5π 6 ). g) tg( 4π 3 ). Exercício 4. Determine a) sen 70 o. b) cos 1170 o. c) tg 3540 o. d) sen 3930 o. e) cos( 115) o. f) tg( 840) o. g) sen( 540) o. h) sen( 51π 4 ). i) cos( 37π 6 ). j) tg( 9π 3 ). k) sen( 11π 3 ). Exercícios de Fixação Exercício 5. Qual a menor determinação de α no segundo quadrante, tal que sen α = 1/? Exercício 6. Determine α, sendo cos α = 0. Exercício 7. Determine α, sendo tg α = 1. Exercício 8. Determine α, no segundo quadrante, tal que 3 sen α =. Exercício 9. Sabendo que 180 o < β < 70 o e cos β =, determine β. Exercício 10. Sabendo que α é um arco do primeiro quadrante, quais são os valores de m que satisfazem a igualdade sen α = m 7? Exercício 11. A expressão sen 75o cos 37 o tg 138 o sen 69 o tg 88 o é positiva, negativa ou zero? Exercício 1. Para que valores de α, 0 tg α 1? Exercício 13. Determine os possíveis valores reais de k, sabendo que cos β = k + 3. Exercício 14. Se α é um arco do terceiro quadrante, determine se E = tg(180o + α) sen(70 o α) cos(α 90 o é positivo, ) negativo ou zero. Exercício 15. Determine o número de soluções da equação sen α = /3 no intervalo [0, 9π]. Exercício 16. Determine as raízes da equação sen x =. 1 matematica@obmep.org.br

3 3 Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 17. As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15 o com a vertical e elas têm, cada uma, uma altrua de 114m (altura indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. e) a população atinge seu mínimo em t = 4 com 6000 animais. Exercício 19. O valor de (cos 165 o + sen 155 o + cos 145 o sen 5 o + cos 35 o + cos 15 o ) é a). b) 1. c) 0. d) 1. e) 1/. Exercício 0. O número real m que satisfaz à sentença m + 1 m = cos 3015o é a) 4 3. b) 3 4. c) 3 4. d) e) Figura 1 Utilizando 0, 6 como valor aproximado para a tangente de 15 o e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço a) menor que 100m. b) entre 100m e 300m. c) entre 300m e 500m. d) entre 500m e 700m. e) maior que 700m. Exercício 18. A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é descrita pela expressão P (t) = 10 3 (cos(( t )π) + 5) em que o tempo t é medido em meses. É correto afirmar 6 que a) o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. b) a população atinge seu máximo em t = 6. c) o período de seca corresponde a 4 meses do ano. d) a população média anual é de 6000 animais. matematica@obmep.org.br

4 1. Respostas e Soluções. g) sen( 540) o = sen 180 o = 0. h) sen(51π/4) = sen(3π/4) = sen(π/4) = /. a) sen 10 o = sen 60 o = 3/. b) sen 180 o = 0. c) sen 40 o = sen 60 o = 3/. d) sen 315 o = sen 45 o = /. e) sen 3π 4 = sen π 4 = /. f) sen 7π 6 = sen π 6 = 1/. g) sen 5π 3 = sen π 3 = 3/.. a) cos 90 o = 0. b) cos 135 o = cos 45 o = 1. c) cos 40 o = cos 60 o = 1/. d) cos 330 o = cos 30 o = 3/. e) cos(5π/4) = cos(π/4) = /. f) cos(11π/6) = cos(π/6) = 3/. g) cos(π/3) = cos(π/3) = 1/. 3. a) tg 10 o = tg 60 o = 3. b) tg 5 o = tg 45 o = 1. c) tg 40 o = tg 60 o = 3. d) tg 300 o = tg 60 o = 3. e) tg(7π/4) = tg(π/4) = 1. f) tg(5π/6) = tg(π/6) = 3/3. g) tg(4π/3) = tg(π/3) = a) sen 70 o = sen 0 o = 0. b) cos 1170 o = cos 90 o = 0. c) tg 3540 o = tg 300 o = tg 60 o = 3. d) sen 3930 o = sen 330 o = sen 30 o = 1/. e) cos( 115) o = cos 45 o = /. f) tg( 840) o = tg 40 o = tg 60 o = 3. i) cos(37π/6) = sen(π/6) = 1/. j) tg(9π/3) = tg(5π/3) = tg(π/3) = 3. k) sen( 11π/3) = sen(π/3) = 3/. 5. Se α fosse do primeiro quadrante, então α seria 30 o, mas como pertence ao segundo quadrante, α = 180 o 30 o = 150 o. 6. cos α = 0 nas extremidades superior e inferior do círculo trigonométrico. Assim, temos α = {90 o, 70 o, 450 o,...}, ou seja, α = 90 o o k, onde k Z, ou ainda, α = π/ + kπ, onde k Z. 7. Se tg α = 1, então α = π/4 + kπ, onde k Z. 8. α = 180 o 60 o = 10 o. 9. β = 180 o + 45 o = 5 o. 10. Como α ao primeiro quadrante, então 0 < sen α < 1. Assim, temos 0 < m 7 < 1, segue que 7/ < m < 4. sen 75 o cos 37 o tg 138 o 11. sen 69 o tg 88 o portanto a expressão é negativa. = (+) (+) ( ) ( ) ( ) < 0, 1. No primeiro quadrante (menor determinação positiva do arco), temos 0 o α 45 o. No terceiro quadrante (e menor determinação potivita do arco), temos 180 o α 5 o. Generalizando, chegamos a 180 o k α 45 o +180 o k, onde k Z. 13. Sabemos que 1 cos β 1. Assim, temos 1 k + 3 1, segue que k Como α é um arco do terceiro quadrante, então tg(180 o + α) > 0, sen(70 o α) > 0 e cos(α 90 o ) < 0. Dessa forma, E = (+)(+)/( ) < 0, ou seja, E é negativo. 15. Como 0 < sen α < 1, α é um arco do primeiro ou segundo quadrantes. No intervalo [0, 9π], que equivale a quatro voltas e meia no círculo trigonométrico, passaremos cinco vezes por cada um destes quadrantes, ou seja, são 10 soluções. 16. sen x = sen x = 1/ sen x = 1/ x = 10 o + k360 o, ou x = 330 o + k360 o, k Z. 3 matematica@obmep.org.br

5 17. (ENEM 013) Chamando de l o lado da base quadrada do prédio, temos tg 15 o = l, segue l = 9, 64m. 114 Portanto a área é (9, 64) = 858, 73m. Resposta E. 18. (EsPCEx 014) Resposta A. Tomando um intervalo de 1 meses, por exemplo, < t < 14, teremos uma volta completa no círculo trigonométrico. Isso significa que metade do tempo, dois trimestres, cos(( t )π) aumenta 6 ( < t < 5e11 < t < 14) e, consequentemente, o período é de chuva. 19. (EsPCEx 014) Como a expressão é equivalente a ( cos 15 o + sen 5 o cos 35 o sen 5 o + cos 35 o + cos 15 o ), seu valor é 0. Resposta C. m m = cos 3015o = cos 135 o = cos 45 o = /. Assim, temos (m + 1) = (m ), segue que m = + = 3 4. Resposta B.. Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com 4 matematica@obmep.org.br