Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. Ficha de trabalho n.º 5

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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II Ficha de trabalho n.º 1. Resolva as seguintes equações, em [, ] e em IR. a. senx = sen b. senx = c. senx = sen e. f. sen x 1= sen x senx = sen x senx =. Resolva as seguintes equações, em [, ] e em IR. a. cos x = cos 7 b. cos x + 1= cos x = cos 1 c. ( ) e. cos( x) + = f. g. cos x + cos x = cos x + 1= cos x = sen. Resolva as seguintes equações, em [, ] e em IR. a. tgx = b. tgx + = c. tgx + tg = tg x 1=. Considere a equação cos x = sen x. Resolva a equação começando por transformá-la numa do tipo: a. cos x = cosα b. senx = senβ Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 1/11

2 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II Ficha de trabalho n.º Proposta de Resolução 1. Vamos resolver as seguintes equações, em [, ] e em IR. Em IR Representação no círculo Em [ ], a. senx = sen - = senx = sen x = + k x = + k,k sen c 1 sen b. senx = sen x = x = + k x = + k,k - = sen sen senx = c. senx = sen sen x = sen 9 1 x = + k x = + k,k sen 9 + =9 ( ) sen - - =1 senx = sen 9 1 sen x 1= sen x = 1 sen x = 1 sen x = 1 x = + k x = + k,k x = + k,k sen sen sen x 1= Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 1/11

3 Em IR Representação no círculo Em [ ], e. sen x senx = sen x ( sen x 1) = sen x = sen x = 1 x = k x = + k,k sen= sen sen= sen= sen x senx = x = x = x = x = f. sen x senx = ± sen x = 1 sen x = senx = C.IMP. sen x = sen 7 11 x = + k x = + k,k sen 7 + =7 sen 11 - =11 sen x senx = 7 11 Tome nota: As equações trigonométricas são, antes de mais, equações do 1º grau ou do º grau em que a variável é uma razão trigonométrica de um ângulo que contém a incógnita. Depois de aplicadas as técnicas usuais para essas equações ficamos perante equações do tipo sen x onde k é um número real. objectivo é encontrar os valores de x que tornam verdadeira a igualdade, isto é, os ângulos cujo seno é K. = k,. Resolvemos as seguintes equações, em [, ] e em IR. Em IR Representação no círculo Em [ ], a. cos x = cos 7 cos x = cos 7 x = + k x = + k,k =1 7 Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 1/11

4 Em IR Representação no círculo Em [ ], b. cos x + 1= 1 cos x = x = + k x = + k,k cos x + 1= cos x = - = cos x = cos 1 c. ( ) 11 cos( x) = cos 1-1 = cos( x) = cos x = + k x = + k,k x = + k x = + k,k = cos x = sen cos x = cos 19 x = + k x = + k,k = 1 cos x = sen =19 1 = e. cos( x) + = cos( x) x = cos + k 1 x = cos + k,k Z 1 m CD =. radians m + =. (-m )+ =. - D (-m )+ = 1. m =. radians 1C x -m = -. radians cos( x) + = x,7 x, x,9 x,7 x 1, x, k k x, + x, +,k -m CD = -. radians m + =.9 Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 1/11

5 Em IR Representação no círculo Em [ ], f. cos x + cos x = cos x(cos x + 1) = 1 cos x = cos x = 1 1 x = + k x = cos k + x = cos + k,k Z 1 1 1H x cos x + cos x = x 1,7 x 1, x 1,7 x, x = + k x 1,7 + k x 1,7 + k,k m FE =. radians E F G m FG = -. radians g. cos x + 1= cos x + = 1 cos x + 1= cos x + = 1 cos x + = 1 x + = k x + = + k,k x = + k x = + k,k Tome nota: As equações trigonométricas são, antes de mais, equações do 1º grau ou do º grau em que a variável é uma razão trigonométrica de um ângulo que contém a incógnita. Depois de aplicadas as técnicas usuais para essas equações ficamos, nestes exemplos, perante equações do tipo cos x = k, onde k é um número real. objectivo é encontrar os valores de x que tornam verdadeira a igualdade, isto é, os ângulos cujo co-seno é k.. Resolvemos as seguintes equações, em [, ] e em IR. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 1/11

6 Em IR Representação no círculo Em [ ], a. tgx = tgx = tgx = x = + k,k - = 11 - =11 - b. tgx + = tgx = x = + k,k - = tgx + = - = - c. tgx + tg = tgx + tg = tgx = tg 1 x = + k,k - Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 1/11

7 Em IR Representação no círculo Em [ ], tg x 1= tg x = 1 tgx = 1 tgx = 1 x = + k x = + k,k tg x 1= 7 - =7. Consideremos a equação cos x = sen x. Vamos resolvê-la começando por transformá-la numa do tipo: a. cos x = cosα. Para o conseguir vamos procurar um ângulo α com co-seno igual ao seno de x. Vamos pegar na linha do seno e colocá-la no eixo do co-seno. Da figura resulta que sen x = cos x e que cos x = cos + x Então podemos escrever: cos x = senx cos x = cos x x = x + k x = + x + k,k x = + k x = + k,k x = + k, k porque impossível. -x x = + k,k é x +x b. senx = senβ Para o conseguir vamos procurar um ângulo β com seno igual ao co-seno de x. Vamos pegar na linha do co-seno e colocá-la no eixo do seno. Da figura resulta que cos x = sen x e que +x -x x sen x = sen + x Professora: Rosa Canelas 7 Ano Lectivo 1/11

8 Então podemos escrever: cos x = senx senx = sen x x = x + k x = + x + k,k x = + k x = + k,k x = + k, k Z porque x = + k,k é impossível. Finalmente podemos tentar resolver a equação directamente a partir do círculo trigonométrico desenhando lá os ângulos que têm seno igual ao co-seno. E uma expressão geral para as soluções é x = + k, k. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 1/11