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1 FICHA DE TRABALHO N.º EXERCÍCIOS GERAIS_TRIGONOMETRIA ANO LECTIVO / ESTABELECIMENTO DE ENSINO MATEMÁTICA 11.º ANO PROFESSORA: Anabela Cardoso NOME: N.º: TURMA: DATA: / / 1. A ponte móvel e a trigonometria Admita que o sistema de abertura da ponte móvel representada na figura é activado a partir do registo prévio da amplitude, em graus, do ângulo, que varia consoante as dimensões da embarcação que efectua a travessia Determine a distãncia entre os pontos A e B no caso do registo para ser de 50º. Apresente o resultado em metros, arredondado às unidades. (Solução: 26m) 1.2. Sabendo que a abertura da ponte distância entre A e B é de 12m, indique qual a amplitude, arredondada às décimas do grau, do ângulo.(solução: 33,6º) 1.3. Considere um cargueiro com as seguintes dimensões:altura 37m, acima do nível médio da água, e largura 10m na parte mais alta da embarcação. Para a passagem deste cargueiro foi feito o registo para de 34º. Verifique se o registo feito é suficiente para a passagem do cargueiro. Faça um estudo de forma a determinar o menor valor inteiro de que permita a passagem da embarcação. (Solução: Se =34º, o cargueiro passa. O menor valor inteiro de é 22º.) 2. Um depósito de água tem a forma de um prisma quadrangular regular em que o lado da base tem 1m de comprimento. A figura representa o depósito da água em duas fases distintas: - na 1.ª fase contém 400 litros de água; - na 2.º fase houve um acréscimo de água, de modo que a amplitude do ângulo BAC é de 15º Determine a quantidade de água que foi acrescentada da 1.ª para a 2.ª fase. (Solução: 348 litros) 2.2. Sabendo que a altura do recipiente é de 1,25 m, determine a amplitude do ângulo CAD, aproximada às décimas do grau. (Solução: 14,5º.) 1/6

2 3. Uma fábrica produz depósitos para armazenar combustível, a partir de cilindros, com 5 m de altura e bases com 2m de raio, extraindo cones. As alturas dos cones extraídos são variáveis e representados por h. A figura representa um desses recipientes e a secção que resulta de um corte feito por um plano perpendicular às bases que passa pelo centro das mesmas Determine: a amplitude do ângulo x, com aproximação às centésimas do grau, se a altura do cone for de 3m. (Solução: 33,69º) o comprimento da geratriz do cone no caso de o ângulo x medir 38º. (Solução: 3,25m) 3.2. Mostre que a capacidade de armazenamento do recipiente é dada, em função de x, pela expressão Vx 8π. 3tgx 3.3. Um cliente fez um pedido de construção de um depósito com capacidade de armazenamento de litros de combustível. A resposta dada pelo sector de produção foi a seguinte: É impossível satisfazer o pedido. A capacidade máxima dos nossos recipientes é de litros. Num pequeno texto comente a resposta dada pelo sector de produção, fundamentando-a matematicamente. 4. Na figura está representado um manípulo que roda nos dois sentidos (+ e -) para seleccionar a temperatura, em graus centígrados, num forno eléctrico Indique a temperatura seleccionada se o manípulo rodar: º; (S: 150 ºC) º; (S: 300 ºC) º; (S: 250 ºC) º. (S: 300 ºC) 4.2. Admita que a temperatura seleccionada é de 250ºC. Pretende-se reduzir a temperatura para 100.ºC. Indique duas amplitudes possíveis para a rotação do manípulo. (S: -135º e 225º) 5. A circunferência representada na figura tem centro em O: CÔA = AÔB = 90º. Escreva uma expressão geral das amplitudes de todos os ângulos que admitem O A como lado origem e: 5.1. O C como lado extremidade. (S: ; ) 5.2. O B ou O C como lados extremidade. (S: ; ) 2/6

3 6. Indique o quadrante a que pertence o lado extremidade de cada um dos seguintes ângulos, tomando como lado origem o semieixo positivo Ox: º; 460º; 1410º. (S:3.º Q; 2.º Q; 4.º Q) º; -1630º. (S:2.º Q; 2.º Q) π 3 rad; - π π 8 11π rad; - rad. (S:2.º Q; 4.º Q; 1.º Q) 6 19π rad; - rad. (S:4.º Q; 2.º Q) 6 7. Considere o círculo trigonométrico da figura onde está representado o ponto A, pertencente à circunferência e de abcissa 1. Determine as razões trigonométricas de. 4 (S: cos ; sen ; tg 15) 4 8. No círculo trigonométrico da figura estão representados dois ângulos a e b e um ponto P de ordenada Indique as razões trigonométricas dos ângulos a e b. (S: sen a 4 5 ; cos a 3 5 ; tg a ; cos ; ; ) 9. Observe a figura onde está representado o círculo trigonométrico: Indique os quadrantes a que pertencem os ângulos β, tais que: 9.1. sen β a; (S: 3.ºQ ou 4.ºQ) 9.2. cos β a. (S: 2.ºQ ou 3.ºQ) 10. Indique a que quadrante pertence x sabendo que: cos x. sen x0 cos x0. (S: 3.ºQ) cos x0. (S: 2.ºQ ou 3.ºQ) cos x. sen x0. (S: 2.ºQ ou 4.ºQ) (S: 1.ºQ ou 2.ºQ) 11. Dos ângulos α, β e θ pertencentes a 0, sabe-se que: cos 0,2 ; cos 0,7; cos 0,09. Escreva por ordem crescente: α, β e θ. (S: β < α < θ ) sen α, sen β e sen θ. (S: sen β < sen α < sen θ ) 3/6

4 12. Sabe-se que α e β perten. cem ao 2.º Quadrante, α β e α 0,23. Sem efectuar cálculos, indique, justificando qual dos seguintes valores 0,3; -0,23; 0,17 e 1,2 pode corresponder ao β. (S: 0,17) 13. Recorrendo apenas ao círculo trigonométrico, indique, justificando, o valor lógico das seguintes afirmações: Se α β então α tg β. (S: Falso) Se α, β, e α β, então α tg β. (S: Verdadeiro) sen 13π 4 11π sen. (S: Falso) Sabendo que: 7π a b 3π. Coloque por ordem crescente os seguintes valores: , sen a, sen 7π 6, sen b e 0. (S: -1 < sen b<sen a sen 7π 6 0) tg a, cos a, cos b, tg b, tg 7π 6 e cos. (S: cos 7π 6 cos cos ) 15. Indique, justificando, o valor lógico das seguintes afirmações: 15.1.,, sen α. cosα 0. (S: Falso) 15.2.,,. (S: Falso) 15.3.,2π,. 0. (S: Verdadeiro) 16. Observe a figura onde está representado o círculo trigonométrico. Determine as coordenadas do ponto B, sabendo que cos 0,8. (S: B(0,8; -0,6)) 17. Indique, justificando, o valor lógico das seguintes afirmações: , 2π, cos α. cos α 0. (S: Verdadeiro) 17.2.,, tg. cos 0.(S: Verdadeiro) 17.3.,2π, 0. (S: Falso) 18. Observe a figura.sabendo que 0,6 e, sem calcular, determine as razões trigonométricas de. (S: cosθ 0,6; sen θ 0,8; tg θ ) 19. Observe atentamente a figura e determine as razões trigonométricas de sabendo que AB 2cm e BC 4cm. (S: cos ; sen ; tg 2) 4/6

5 20. Mostre que: sen sen cos tg Tendo em conta as relações entre as razões trigonométricas de ângulos complementares, mostre que, para, : tg tg. 22. Determine para que valores de k é possível a condição: 2 1,. (S: 2,,2) 23. Verifique se existe algum número inteiro k que satisfaça a condição: 2 3,. (S:, 1, 0) 24. Determine cos, sabendo que 0. (S: ou ) 25. Determine para que valores de se tem: (S: 1,1) (S: k 1),. (S:, ) 26. Calcule o valor exacto de: sen sabendo que,2. (S: ) cos, sabendo que 5, 0. (S: ) tg 3,sabendo que 2, 2. (S: 35) 27. De um ângulo sabe-se que cos, 0. Determine o valor da expressão cos 3. (S: 15) 28. Considere a expressão A Mostre que A Calcule o valor de A, sabendo que 2,2. (S:2 ) 5/6

6 29. Calcule o valor exacto de cada uma das seguintes expressões: tg 2. (S: ) 29.2., apresentando o resultado com denominador racional. (S: ) 30. Para os valores de para os quais as igualdades têm significado, mostre que: cos tg sen tg sen tg cos sen /6