MÓDULO 3 FUNÇÕES (2ª parte Trigonometria) ângulo agudo indicadas na figura:

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1 PAT MAT 007/008 MÓDULO FUNÇÕES (ª parte Trigonometria) EXERCÍCIOS OBJECTIVOS. Uma canalização de gás vai ser instalada a partir do ponto A até aos pontos C (igreja) e B (fábrica), Razões trigonométricas de um atravessando um rio, por uma das seguintes alternativas ângulo agudo indicadas na figura: Fórmula fundamental da trigonometria sen α + cos α = Fórmulas que relacionam o seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo Expressão geral das amplitudes de ângulos com o mesmo lado origem. Razões trigonométricas no Alternativa : A D C B círculo trigonométrico Alternativa : A D E B C Relações entre as razões Alternativa : A E B C trigonométricas de α e de Condições da figura: O triângulo [ABC] é rectângulo em C; BC = 50 m; DE = 60 m; [DE ] //[BC ] ; ABˆ C = 40 o. Custos: Cada metro de canalização instalada em meio aquático tem o preço de 0,00 ; Cada metro de canalização instalada em terra tem o preço de,00 ; π α, π + α, π α, π + α, π π α, + α e α. Pretende-se conhecer o custo total da canalização de gás para cada uma das alternativas.. Num lago recreativo há várias gaivotas em que o sistema Função seno que permite o movimento é constituído por pás que rodam em torno de um eixo situado 0 cm acima do nível da água. Considere o ponto P como sendo a extremidade de uma dessas pás que dista 0 cm do eixo e α a amplitude, em radianos, do arco descrito por P. Domínio: IR Contradomínio: [-,].. Mostre que a função que, para Sinal cada valor de α, dá a posição do Continuidade: contínua em ponto P em relação ao nível da todo o domínio água é f (α ) = sen α Paridade: função ímpar Trigonometria

2 PAT MAT 007/008.. Mostre que a função que, para cada valor de α, dá a posição do ponto P em relação ao nível da água é f ( α) = sen α π π π.. Calcule f, f e f e indique a posição 6 4 do ponto P em relação ao nível da água, em cada um dos casos..4. No intervalo [0,π], determine para que valores de α o ponto P ficará à superfície da água..5. Determine para que valores de α pertencentes ao intervalo [0,4π], o ponto P fica submerso..6. Determine uma expressão geral das amplitudes dos arcos descritos pelo ponto P para que este se situe exactamente 0 cm acima do nível da água..7. Para que valores de α pertencentes ao intervalo ] π, π[ o ponto P dista 5 cm da superfície da água?. Sabe-se que, em média, uma pessoa em repouso, em cada 4 segundos, inspira e expira 0,5 litros de ar. No fim de uma expiração, restam nos pulmões, como reserva,,5 litros de ar. O volume de ar nos pulmões, em litros, t segundos após uma expiração, é dado pela função V π definida por V ( t) =,5 0,5 cos t ao qual corresponde a seguinte representação gráfica:.. Dos pontos assinalados no gráfico, indique dois que correspondam a instantes em que ocorre:... o fim de uma inspiração;... o fim de uma expiração... Mostre que a função V é periódica e indica o período positivo mínimo... Determine as coordenadas dos pontos A, B e D assinalados na figura..4. Considere a condição V ( t) =, Determine os valores de t que pertencem ao intervalo [0,4] e são solução da condição dada..4.. Admita que uma pessoa participou numa experiência em que, após o fim de uma expiração, no seu processo normal de respiração, foi registado o volume de ar que continha nos pulmões durante 0 segundos. Zeros: k π, k / Z Monotonia Período: π Maximizantes Minimizantes Função co-seno Domínio: IR Contradomínio: [-,] Sinal Continuidade: contínua em todo o domínio Paridade: função par π Zeros: + k π, k / Z Monotonia Período: π Maximizantes Minimizantes Trigonometria

3 PAT MAT 007/ Em que fase da respiração se encontra no º segundo da experiência? Justifique..4...Atendendo aos resultados obtidos em 4.. à periodicidade da função V, indique os instantes, entre os 0 e os 5 segundos, em que o volume de ar nos pulmões foi de,75 litros. 4. Na figura que se segue estão representados num referencial o.n. xoy : - um semicírculo de centro no ponto A(,0) e raio ; - uma recta t tangente ao semicírculo e paralela ao eixo das ordenadas; - um ângulo de amplitude α [0, π/[ cujo lado origem é a semi-recta A & D e cujo lado extremidade é A & C ; - [CB]//[AD]. 4.. Mostre que a área A da parte sombreada da figura é dada, em função de α, pela expressão A( α) = π + 4 tg α. 4.. Calcule A (0) e indique o significado geométrico do valor encontrado. 4.. Mostre que o perímetro P do triângulo [ABC], em 4 + 4cos α função de α, é dado pela expressão P ( α ) =. cos α 4.4. Determine para que valor de α o perímetro do triângulo [ABC] é. Função tangente Domínio: π x IR : x + kπ, k IZ Contradomínio: IR Sinal Continuidade: contínua em todo o domínio Paridade: função ímpar Zeros: x = kπ, k / Z Monotonia Período: π Maximizantes Minimizantes Trigonometria

4 PAT MAT 007/ Duas povoações, A e B distanciadas 8 km uma da outra, estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de água, F. Funções trigonométricas F P A M B Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas povoações, como indica a figura acima. A canalização é formada por três canos: um vai de da fonte F até um ponto P está a igual distância de A e de B. Tem-se ainda que: - o ponto M ponto médio de [AB], dista 4 km de F; - x é a amplitude do ângulo PAM ( x [ 0, π/4]. 5.. Tomando como unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da canalização é dado por 8 4sin x g( x) = 4 + cos x 4 (Sugestão: comece por mostrar que PA = e que cos x FP = 4 4 tg x ) 5.. Calcule g(0) e interpretar o resultado obtido, referindo a forma da canalização e consequente comprimento. 5.. Determine o valor de x para o qual o comprimento da canalização é mínimo. Trigonometria 4

5 PAT MAT 007/ Resolva as seguintes equações: 6.. sen ( x) = sen ( x) 6.. sen ( x) = 6.. cos (x) = 6.4. cos (x) + sen x = sen x = cos x sen x sen x + = 0 Equações trigonométricas 7. Determine sabendo que, x ]-π, π[ e que x x sen = tg 8. Resolva as seguintes inequações: 8.. cos x > e x [ π,π ] cos x > e x 0,π 8.. [ ] 8.. sen x < 0 e x [ 0,π ] 8.4. cos x + cos x > 0 e x [ π,π ] Inequações Trigonometria 5

6 PAT MAT 007/008. Determine x EXERCÍCIOS x. sen, sabendo que cos = e x ] π, π [. Calcule o valor da expressão sen x sabendo que tg x =. tg x. Simplifique cada uma das seguintes expressões:.. cos x sen x cos x.. cosα senα.cosα senα.. tg α + cosα senα.4. cos (π + α) + sen ( π α ) sen( π α ) 7 π.5. cos π α + cos π + α + tg α 4. Calcule o valor real de m que verifica cada uma das seguintes condições: * 4.. m + m sen β = e cos β = 4.. senθ = e tgθ = m 5. Sabe-se que 5.. Calcule sen α π α = sen e que α ] 0,π [. tg. 5.. Determine o valor da expressão ( α + π ) cos( α π ) 6. Para cada k IR, f ( x) = sen( kx) é uma função trigonométrica. 6.. Mostre que f é periódica de período πx 6.. Considere a função f ( x) = sen( ) Indique o período de f Represente f graficamente. π. * k 6... Determine o contradomínio de f Escreva as expressões gerais dos máximos, mínimos e zeros de f. Trigonometria 6

7 PAT MAT 007/ Represente graficamente as seguintes funções, reais de variável real: 7.. f ( x) = + cos x 7.. j( x) = sen x 7.. g( x) = cos x 7.4. h ( x) = sen x 7.5. i ( x) = sen x 8. Resolva, em IR, cada uma das seguintes equações: 8.. sen ( x) = sen (x) 8.. cos (x) = cos (x) 8.. sen x = 8.4. tg x = 8.5. sen x π = cos(x) 8.6. cos x = sen x Trigonometria 7