ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Turma A. TESTE Nº 1 Grupo I

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1 ESOL SEUNDÁRI OM º ILO D. DINIS 11º NO DE ESOLRIDDE DE MTEMÁTI Turma TESTE Nº 1 Grupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. ada resposta certa vale 9 pontos, cada resposta errada vale 0 (zero) pontos, cada pergunta não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. onsiderando os dados da figura ao lado podemos concluir que a amplitude em graus do ângulo x é com aproximação.0 cm às décimas de grau:.8 cm x () 7,8º () 1,8º () 8,º (D) 6,º. qual das famílias seguintes pertence o ângulo com amplitude em radianos de 1 π? () π π x = + k π,k () x = + k π,k () π π x = + k π,k (D) x = + k π,k. figura representa num círculo trigonométrico um ângulo δ do qual podemos afirmar que: y () senδ= () cosδ = - δ x () senδ= (D) cosδ = PROFESSOR: Rosa anelas 1 no lectivo 007/008 9/10/007

2 . Sabendo que ( ) tg π x > 0 cos + x < 0 podemos afirmar que o ângulo x está no: () 1º quadrante () º quadrante () º quadrante (D) º quadrante. No intervalo [ 0,π ] o conjunto das soluções da equação senx= é: () π π, 6 6 () π () π 6 (D) π π, Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Para medir a altura da torre representada na figura, utilizou-se um teodolito colocado a 1, m do solo e a uma distância de m da torre. Sabendo que o aparelho registou um ângulo α de 9º de amplitude, calcula a altura da torre, com aproximação ao decímetro.. Na figura está representado um manípulo que roda nos dois sentidos (positivo e negativo) para seleccionar a temperatura, em graus centígrados, num forno eléctrico..1. Indique a temperatura seleccionada se o manípulo rodar: º 17π rad.. dmita que a temperatura seleccionada é 10º. Pretendese reduzir a temperatura para 100º. Indique, expressas em radianos, duas amplitudes para a rotação do manípulo... Escreva uma expressão geral para todas as possíveis rotações do manípulo quando se quer seleccionar a temperatura de 100º. PROFESSOR: Rosa anelas no lectivo 007/008 9/10/007

3 . Num referencial cartesiano, está representada uma circunferência com raio de uma unidade de comprimento e um triângulo equilátero []..1. Explique porque é que sabemos que a ordenada de é sen... alcule as coordenadas exactas do ponto... Qual a medida do comprimento do arco na unidade considerada? O D.. Se o raio da circunferência passasse a ser unidades de comprimento, quais seriam as coordenadas de?. onsidere o triângulo rectângulo [], cujos catetos são [] e []. dmita que se tem = 1 e que x designa a amplitude do ângulo..1. Mostre que o perímetro do triângulo é dado por: 1+ senx + cos x π P( x ) =, x 0, cos x π.. Seja α 0, tal que cos + α =, determine o valor de X 1 P( α ).. dmita que, num dia de Verão, a temperatura da água num lago, em graus centígrados, pode ser dada, aproximadamente, por: ( t 1) π + f () t = 17 + sen 1 onde t designa o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas desse dia. (considere que o argumento da função seno está expresso em radianos.) Indique como varia a temperatura da água do lago, ao longo do dia respondendo às segintes questões.1. quando é que a temperatura aumenta e quando é que diminui?.. a que horas é que a temperatura é máxima, e qual é o valor desse máximo;.. a que horas é que a temperatura é mínma, e qual é o valor desse mínimo;.. durante quantas horas se consegue tomar um bom banho, admitindo que um banho só é realmente bom se a temperatura da água não for inferior a 19 graus. Nota: sempre que utilize a calculadora ilustre a sua resposta com o gráfico que lhe permitiu chegar à resposta. PROFESSOR: Rosa anelas no lectivo 007/008 9/10/007

4 OTÇÕES Grupo I... ada resposta certa ada resposta errada, não respondida ou anulada... 0 Grupo II TOTL PROFESSOR: Rosa anelas no lectivo 007/008 9/10/007

5 ESOL SEUNDÁRI OM º ILO D. DINIS 11º NO DE ESOLRIDDE DE MTEMÁTI Turma TESTE Nº 1 Proposta de Resolução Grupo I 1. () onsiderando os dados da figura ao lado podemos concluir que a amplitude em graus do ângulo x é com aproximação às.0 cm décimas de grau é dada por 1,0 x = tg,8 ou seja x 7,8º.8 cm x. () O ângulo com amplitude em radianos de 1 que podemos concluir que pertence à família 1 π π π é tal que π = π+ = π+ = π pelo π x = + k π,k. () figura representa num círculo trigonométrico um ângulo δ do qual podemos afirmar que cosδ = por ser a abcissa do ponto de intersecção do lado extremidade com a circunferência do círculo trigonométrico.. (D) Sabendo que ( ) tg π x > 0 cos + x < 0 e que tg( π x) > 0 cos + x < 0 tgx > 0 senx < 0 tgx < 0 senx < 0 podemos afirmar que o ângulo x está no º quadrante. - y δ x. (D) No intervalo [ 0,π ] o conjunto das soluções da equação senx= resulta de resolver a equação: π π π senx = senx = senx = sen x = x = π, e é Grupo II π π, 1. Para medir a altura da torre representada na figura, utilizou-se um teodolito colocado a 1, m do solo e a uma distância de m da torre. Se o aparelho registou um ângulo α de 9º de amplitude, a altura da torre, com aproximação ao decímetro calcula-se tendo em conta que sabemos o cateto adjacente ao ângulo α e o próprio ângulo α e queremos saber o cateto oposto. Vamos utilizar a definição de tgα : PROFESSOR: Rosa anelas no lectivo 007/008 9/10/007

6 tg 9 h h tg 9 ( ) = = ( ) altura da torre será então H = 1, + tg( 9) 1,m. Na figura está representado um manípulo que roda nos dois sentidos (positivo e negativo) para seleccionar a temperatura, em graus centígrados, num forno eléctrico..1. temperatura seleccionada se o manípulo rodar: º = 180º + º é 0º 17π π π = π = é 0º.. dmitamos que a temperatura seleccionada é 10º. Pretende-se reduzir a temperatura π para 100º. Podemos escolher uma rotação de ou uma de π 7π π =.. Uma expressão geral para todas as possíveis rotações do manípulo quando se quer seleccionar a temperatura de 100º é π + k π, k. Num referencial cartesiano, está representada uma circunferência com raio de uma unidade de comprimento e um triângulo equilátero []..1. Sabemos que a ordenada de é sen. Porque o ângulo O mede π radianos, por o triângulo ser equilátero, o ângulo DO mede π radianos. O ponto O D é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo DO com a circunferência que limita o círculo trigonométrico e por definição a sua ordenada é sen... s coordenadas exactas do ponto são π π 1 cos,sen, =. Porque é simétrico de em relação a Ox e 1, podíamos concluir que as coordenadas de são 1,. PROFESSOR: Rosa anelas 6 no lectivo 007/008 9/10/007

7 .. medida do comprimento do arco na unidade considerada é π por a unidade ser o raio e o radiano ser um arco que rectificado é igual ao raio... Se o raio da circunferência passasse a ser unidades de comprimento, as coordenadas de seriam: ( x,y ) tais que: x cos x cos x = = = y sen y sen x = = = Será então (, ). onsidere o triângulo rectângulo [], cujos catetos são [] e []. dmita que se tem = 1 e que x designa a amplitude do ângulo..1. Mostremos que o perímetro do triângulo é dado por: 1+ senx + cos x π P( x ) =, x 0, cos x X 1 Ora P = 1+ +, tgx tgx 1 = = e 1 1 = cos x = cos x 1 senx 1 cosx+ senx+ 1 Então P( x) = 1+ tgx+ P( x) = 1+ + P( x) = como cosx cosx cosx cosx queríamos mostrar. π.. Seja α 0, tal que cos + α =. Para determinarmos o valor de 1+ cosα+ senα P( α ) = vamos começar por simplificar cos cosα + α = para sabermos o que nos dá: cos +α sen sen = α= α= Falta-nos calcular cosα e vamos calculá-lo utilizando a fórmula fundamental: sen α+ cos α= 1 + cos α= 1 cos α= 1 cos α= cos α= P α = P α = P α = Finalmente ( ) ( ) ( ) (dado que π α 0, ) PROFESSOR: Rosa anelas 7 no lectivo 007/008 9/10/007

8 . dmita que, num dia de Verão, a temperatura da água num lago, em graus centígrados, pode ser dada, aproximadamente, por: ( t 1) π + f () t = 17 + sen 1 onde t designa o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas desse dia. (o argumento da função seno está expresso em radianos.) temperatura da água do lago varia, ao longo do dia..1. temperatura aumenta entre as e as 17 horas e diminui entre as zero e as horas e novamente entre as 17 e as horas... temperatura é máxima às 17 horas e o valor do máximo é 1º ;.. temperatura é mínma às horas, e qual é o valor do mínimo é 1º ;.. dmitindo que um banho só é realmente bom se a temperatura da água não for inferior a 19 graus podemos dizer que podemos tomar um bom banho durante ( 1 1) oito horas. PROFESSOR: Rosa anelas 8 no lectivo 007/008 9/10/007

9 ritérios de orrecção Grupo I... ada resposta certa ada resposta errada, não respondida ou anulada D D Grupo II álculo de h álculo de H proximação correcta ( + ) ( + ) Justificação de que o ângulo mede π rad Justificação de que a ordenada é o seno álculo da abcissa álculo da ordenada álculo da abcissa álculo da ordenada álculo de álculo de álculo do Perímetro presentação do resultado Simplificação de cos + α álculo de cosα P α álculo de ( ) (+) (+) (+) álculo das intersecções álculo do número de horas TOTL PROFESSOR: Rosa anelas 9 no lectivo 007/008 9/10/007