ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 1

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 1 Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada resposta errada vale - pontos, cada pergunta não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. 1. O valor, aproximado às décimas de grau, a atribuir a x de acordo com as condições expressas na figura é: H. A. 0,º B. 5,9º C. 5,1º D. 59,6º Numa circunferência de raio cm, um arco com 8 cm de,7 cm G x,6 cm I comprimento, tem amplitude: A. 1 rad B. π rad C. rad D. π rad. Em qual das respostas seguintes se apresentam amplitudes com a mesma representação no círculo trigonométrico? A. C. 9π 7π e B. π 5π e D. 7π 5π e 17π π e.. O valor exacto de cos( 70º ) é: A. B. 1 C. 1 D. PROFESSORA: Rosa Canelas 1 11º A1 00/005

2 5. Pelo nome de Beta Lira é conhecido um par de estrelas muito próximas, que giram em torno de um centro de gravidade comum. A variação de brilho emitido pelo par não é, neste caso, uma característica interna das duas estrelas, mas sim resultante das diferentes posições que elas vão tomando pelo facto de se deslocarem uma em relação à outra. Porém, o resultado obtido é equivalente ao que surgiria, imaginando que se juntavam duas estrelas pulsantes com determinadas variações sinusoidais de magnitude. Seria o mesmo que somar as variações de magnitude de duas estrelas pulsantes imaginárias e obter-se-ia o gráfico seguinte: curva de luz da Beta Lira Qual dos seguintes períodos pode corresponder à curva de luz da Beta Lira? A. 0,5 dias B. 1 dia C. 1,5 dias D. dias Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Observe o quadrado da figura onde M e N são pontos médios de dois lados. Admitindo que o lado do quadrado mede 5 cm, calcule com aproximação às unidades de grau, o valor de θ. PROFESSORA: Rosa Canelas 11º A1 00/005

3 . Na figura está representado um manípulo que roda nos dois sentidos (+ e - ) para seleccionar a temperatura, em graus centígrados, num forno eléctrico. a. Indique a temperatura seleccionada se o manípulo rodar: 15º 15π rad b. Admita que a temperatura seleccionada é 50ºC. Pretende-se reduzir a temperatura para 100ºC. Indique duas amplitudes para a rotação do manípulo. c. Escreva uma expressão geral para todas as possíveis rotações do manípulo quando se quer seleccionar a temperatura de 150ºC.. Num referencial cartesiano, está representada uma circunferência com raio de uma unidade de comprimento e um hexágono regular [ABCDEF]. a. Explique porque é que sabemos que a ordenada de B é π sen. b. Calcule as coordenadas exactas dos pontos E e F. c. Qual a medida do comprimento do arco CE na unidade considerada? C B D A O E F d. Se o raio da circunferência passasse a ser unidades de comprimento, qual seria a ordenada de B?. As marés são fenómenos periódicos, que podem ser modelados por uma função do tipo: Y = a+ bsen( ct+ d), em que Y é o nível da água, em metros, e t o tempo, em horas. Numa praia da costa portuguesa, em determinado dia foram feitas várias medições que permitiram chegar à seguinte função: t Y = + sen. a. Com o auxílio da calculadora gráfica, esboce o gráfico da função, durante o período de um dia. b. Às oito horas da tarde, qual era o nível da água? Apresente o resultado com aproximação às décimas. c. Em que momentos a água atingiu o nível de m? Confirme, resolvendo gráfica e analiticamente. d. Qual é o período desta função? Como explicaria esse facto a alguém que não saiba matemática. PROFESSORA: Rosa Canelas 11º A1 00/005

4 COTAÇÕES Grupo I... 5 Cada resposta certa Cada resposta errada... - Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II a b c a b c d a b c d TOTAL PROFESSORA: Rosa Canelas 11º A1 00/005

5 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 1 proposta de resolução Grupo I H 1. C. O valor, aproximado às décimas de grau, a atribuir a x de acordo com as condições expressas na figura é 5,1º porque cos,7,7 = =,6,6 1 x x cos,7 cm G x,6 cm I. C. Numa circunferência de raio cm, um arco com 8 cm de comprimento, tem amplitude rad, porque um radiano é um arco com comprimento igual ao raio. Se um radiano mede cm (neste caso) então, um arco com 8 cm de comprimento que é o quádruplo de cm mede radianos de amplitude. 9π 7π. A. e são amplitudes com a mesma representação no círculo trigonométrico porque π. 9π 7π 16π = = π a diferença entres as determinações é um múltiplo de. D. e o valor exacto de cos( 70º ),porque ( ) ( ) ( ) ( ) cos 70º = cos 6 60º + 10º = cos 180º + 0º = cos 0º = 5. B. Pelo nome de Beta Lira é conhecido um par de estrelas muito próximas, que giram em torno de um centro de gravidade comum. A variação de brilho emitido pelo par pode ser dada pelo gráfico seguinte: curva de luz da Beta Lira PROFESSORA: Rosa Canelas 5 11º A1 00/005

6 1 dia é o período que pode corresponder à curva de luz da Beta Lira porque ao fim de um dia o gráfico repete-se. Grupo II 1. O quadrado da figura onde M e N são pontos médios,5cm de dois lados tem 5 cm de lado. Da figura e porque conhecemos os catetos oposto e adjacente ao ângulo x (em qualquer um dos dois triângulos rectângulos iguais) vamos calcular θ a,5 cm x partir do cálculo de x. x, cm tgx = x = tg 5 e 1 1 θ = 90º tg O valor de θ é com aproximação às unidades de grau 7º. 5 cm. Na figura está representado um manípulo que roda nos dois sentidos (+ e - ) para seleccionar a temperatura, em graus centígrados, num forno eléctrico. a. A temperatura seleccionada se o manípulo rodar: 15º é 150ºC porque o ponteiro roda em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio 5º, logo três sectores. 15π rad é 50ºC porque 15π = π + π o ponteiro dá duas voltas em sentido negativo e depois muda de sentido para percorrer um dos sectores. b. Admita que a temperatura seleccionada é 50ºC. Pretende-se reduzir a temperatura para 100ºC. Duas amplitudes para a rotação do manípulo são, por exemplo: em sentido negativo sectores que dá 15º ou dá 5º ou 5π radianos. c. Uma expressão geral para todas as possíveis rotações do manípulo quando se quer seleccionar a temperatura de 150ºC é 15º + 60ºk, k Z π radianos, ou em sentido positivo 5 sectores que C B. Num referencial cartesiano, está representada uma D O A circunferência com raio de uma unidade de comprimento e um hexágono regular [ABCDEF]. E F PROFESSORA: Rosa Canelas 6 11º A1 00/005

7 π a. Sabemos que a ordenada de B é sen porque: A circunferência tem raio 1 (círculo trigonométrico) B é o ponto de encontro da circunferência com o lado extremidade de um ângulo de π π = rad. 6 As razões trigonométricas generalizadas ao círculo trigonométrico são as coordenadas π π do ponto B, neste caso, cos,sen b. As coordenadas exactas dos pontos E e F são: 1 E, porque é simétrico de B em relação à origem e das abcissas. 1 F, porque é simétrico de B em relação em relação ao eixo c. A medida do comprimento do arco CE na unidade considerada é o valor da amplitude em radianos do arco CE, por definição de radiano e porque a circunferência tem raio 1. Assim o seu comprimento é π unidades de B comprimento. d. Se o raio da circunferência passasse a ser unidades de comprimento, a y B ordenada de B seria π porque sen =.. Numa praia da costa portuguesa, em determinado dia foram feitas várias medições que permitiram chegar à seguinte função: t Y = + sen. a. Com o auxílio da calculadora gráfica, esbocemos o gráfico da função, durante o período de um dia. Depois de escrever a função e colocar a máquina a trabalhar em radianos temos que escolher a janela de visualização: O π E finalmente desenhar o gráfico. Podemos usar ZOOMFIT e antes de escolhermos os valores de Ymin e Ymax. PROFESSORA: Rosa Canelas 7 11º A1 00/005

8 b. Às oito horas da tarde, o nível da água é com aproximação às décimas 1,9 m. Podemos usar a calculadora ou fazer analiticamente 0 Y( 0) = + sen ou ( ) Y 0 1,9m. c. A água atingiu o nível de m às: 1h m, 5h 15m,1h 7m e 17h 8m resultados que obtivemos graficamente: PROFESSORA: Rosa Canelas 8 11º A1 00/005

9 Resolvendo analiticamente fica: t t t 1 t π t 5π + sen sen 1 sen kπ k π,k = = = = + = + Z 6 6 π 5π t = + kπ t = + k π, k Z π 5π Quando k = 0 temos duas soluções t = t = para k = 1 temos as outras duas soluções π 5π 1π 17π t = + π t = + π t = t = e não há mais soluções no intervalo de um dia porque 8π já daria mais de horas. Da passagem a fracção da divisão das soluções por π verificamos estarmos perante as mesmas soluções como teria de ser. d. O período desta função é π s t t t+ π +. ou, analiticamente Y () t = + en = + sen + π = sen = Y ( t + π ) Como Y( t) = Y( t+ π ) período é π. par qualquer t podemos dizer que o Vamos agora explicar este facto a alguém que não saiba Matemática e comecemos por fazer umas continhas para traduzir em horas o período. As marés são fenómenos periódicos e nesta praia neste dia do ano isso significa que, de 1 h m em 1h m a altura do mar é a mesma é por isso que 1h e m é o tempo que separa duas marés altas consecutivas e também o tempo que separa duas marés vazias consecutivas. PROFESSORA: Rosa Canelas 9 11º A1 00/005