Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis. 10º Ano de Matemática A. Geometria no Plano e no Espaço I. Grupo I

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1 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática eometria no lano e no spaço I 1º Teste de avaliação rupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. ara cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. screva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. ada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. área da face de um dodecaedro regular é () () 10 cm () 6 4 cm () 7 cm 7 4 cm 6 cm ; então a área total do dodecaedro é:. Os triângulos [] e [] são semelhantes e a razão de semelhança é. ntão, se = 1, tem-se: () = () = 4 () = 4,5 () = 4. scolha a afirmação verdadeira, relativamente ao cubo da figura: () s rectas e são paralelas () s rectas e são concorrentes () s rectas e são paralelas () s rectas e são não complanares 4. Uma pirâmide tem o triplo do volume de um prisma com a mesma base. ntão, sendo h a altura da pirâmide e h a altura do prisma, podemos concluir que: () h h' = () h = 6h' () h = 9h' () h' h = rofessora: Rosa anelas 1 no Lectivo 009/010

2 5. área do triângulo da figura é 1 cm. Qual é o valor de x? () x = 7cm () x = 9cm () x = 10cm () x = 0 cm x - 5 rupo II x - Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Num recipiente cilíndrico cheio de água, introduziu-se uma esfera de diâmetro igual à altura e ao diâmetro da base do recipiente alcule a percentagem de água que transbordou, indicando um valor arredondado às décimas. 1.. Suponha que o recipiente, no qual a água excedente foi guardada, é um cilindro com 1cm de diâmetro que ficou com 7cm de altura de água. etermine o raio da esfera.. Na figura está representado um cubo em que a aresta mede 5 cm. Sabe-se que: = Q = R = 1cm.1. esenhe a secção produzida no cubo pelo plano QR... Indique a maior área da secção produzida no cubo por um plano paralelo ao plano QR... Seja x um ponto da aresta [] e α o plano paralelo ao plano e que passa por x. que distância do ponto deve estar o ponto x para que o prisma situado abaixo do plano α tenha cm de volume. Q R. figura representa um cubo onde se escavou uma pirâmide quadrangular regular..1. Mostre que os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de uler... Sabendo que a altura da pirâmide é da aresta do cubo, rofessora: Rosa anelas no Lectivo 009/010

3 determine que percentagem do volume do cubo representa o volume da pirâmide que foi retirada. 4. Uma mosca está sobre uma aresta do paralelepípedo, a 4 cm do vértice superior, e desloca-se para um pingo de mel que está no centro O da base superior. Qual é o caminho mais curto? Mostre que não passa por. Sugestão: ara responder às questões, comece por construir uma planificação do paralelepípedo e localize os pontos envolvidos. eometria ormulário erímetro do círculo: π r, sendo r o raio do círculo Áreas aralelogramo: base altura Losango: diagonal maior diagonal menor Trapézio: base maior + base menor altura perímetro olígono regular: apótema írculo: π r, sendo r o raio do círculo Volumes Superfície esférica: 4π r, sendo r o raio da esfera rismas e cilindro: área da base altura irâmide e cone: 1 área da base altura Álgebra sfera: 4 r π, sendo r o raio da esfera órmula resolvente de uma equação do segundo grau da forma ax + bx + c = 0 : ± x = a b b 4ac Questão otação rofessora: Rosa anelas no Lectivo 009/010

4 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática eometria no lano e no spaço I 1º Teste de avaliação roposta de correcção rupo I 1. () área da face de um dodecaedro regular é 1 6 = 7 cm, por o dodecaedro ter 1 faces iguais. 6 cm ; então a área total do dodecaedro é. () Os triângulos [] e [] são semelhantes e a razão de semelhança é. ntão, se = 1, tem-se: = 1 = se = = 4.. ()scolha a afirmação verdadeira, relativamente ao cubo da figura, s rectas e são paralelas porque não têm pontos comuns e têm a mesma direcção () s rectas e são concorrentes é falsa porque as rectas são não complanares. () s rectas e são paralelas é falsa porque as rectas são perpendiculares e não complanares, () s rectas e são não complanares é falsa por as rectas serem paralelas. 4. () Uma pirâmide tem o triplo do volume de um prisma com a mesma base. ntão, sendo h a altura da pirâmide e h a altura do prisma, podemos concluir que: 1 1 Vpirâmide = Vprisma base h = base h' h = h' h = 9h' 5. () área do triângulo da figura é 1 cm. O valor de x é 9 cm. x - 5 ( x )( x 5) 1 = 4 = x x 5x + 15 x 8x 9 = 0 x - 8 ± x = x = 9 x = 1. omo x tem de ser positivo e maior que 5 só pode ser 9 rupo II rofessora: Rosa anelas 4 no Lectivo 009/010

5 1. Num recipiente cilíndrico cheio de água, introduziu-se uma esfera de diâmetro igual à altura e ao diâmetro da base do recipiente alculemos a percentagem de água que transbordou, indicando um valor arredondado às décimas fazendo sucessivamente: 4 álculo do volume da esfera de raio r. V = r π álculo do volume de um cilindro com base circular de raio r e altura r. V = πr r V = π r 4 π r 400 álculo da percentagem de água que transbordou. 100 = 66,7% π r 6 percentagem de água que transbordou é 66,7%. 1.. Supondo que o recipiente, no qual a água excedente foi guardada, é um cilindro com 1cm de diâmetro que ficou com 7cm de altura de água, determinemos o raio da esfera fazendo sucessivamente: álculo do volume da água armazenada no cilindro que é igual ao volume da esfera V = π 6 7 V = 97π cm álculo do raio da esfera 4 97 π = π = = = 4 r 97 r r 79 r 9 cm. Na figura está representado um cubo em que a aresta mede 5 cm. Sabe-se que: = Q = R = 1cm Q.1. secção produzida no cubo pelo plano QR está desenhada na figura ao lado... secção com a maior área, produzida no cubo, por um plano paralelo ao plano QR é o rectângulo [] = 5 cm e = 5 = 10 cm por [] ser a diagonal de S R Q um quadrado de aresta [] sabendo que = 5 cm or se tratar de um rectângulo a área é = 5 10 = 50 = 5 cm.. Seja x um ponto da aresta [] e α o plano paralelo ao plano e que passa por x. que distância h do ponto deve estar o ponto x para que o prisma situado abaixo do plano α tenha cm de volume é dada por ( ) = 5 h = 5h h = 5 S R Q x R distância h a que o ponto deve estar do ponto x para que o prisma situado abaixo do plano α tenha cm de volume é 0,4 cm. rofessora: Rosa anelas 5 no Lectivo 009/010

6 . figura representa um cubo onde se escavou uma pirâmide quadrangular regular..1. Mostremos que os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de uler: Número de faces 9 Número de vértices 9 Número de arestas 16 Igualdade de uler: Número de faces + Número de vértices = Número de arestas + plicação da igualdade ao sólido da figura: = = 18 oncluímos assim que os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de uler... Sabendo que a altura da pirâmide é da aresta do cubo, determinemos que percentagem do volume do cubo representa o volume da pirâmide que foi retirada. omeçamos por representar a aresta do cubo por a e em seguida vamos calcular: O volume do cubo é Vcubo O volume da pirâmide é = a 1 Vpirâmide = a a V = a 9 pirâmide percentagem do volume do cubo que o volume da pirâmide que foi retirada representa é dada por a ,% a = Uma mosca está sobre uma aresta do paralelepípedo, a 4 cm do vértice superior, e desloca-se para um pingo de mel que está no centro O da base superior. O caminho mais curto é M e não passa por como se vê na planificação seguinte: Sugestão: ara responder às questões, comece por construir uma planificação do paralelepípedo e localize os pontos envolvidos. álculo de M: = + M 16 1 ' M = 400 M = 0 cm 1 cm 16 cm 16 cm M cm 16 cm rofessora: Rosa anelas 6 no Lectivo 009/010

7 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática eometria no lano e no spaço I 1º Teste de avaliação ritérios de correcção rupo I rupo II alcular o volume da esfera em função do raio r 6 alcular o volume do cilindro em função de r.. 6 alcular a percentagem pedida.. 8 alcular o volume da água 6 Igualar o volume da água a 4 r π... 4 Resolver a equação 8 ar a resposta com o valor exacto esenhar [Q].... esenhar [QR].... Traçar paralela a Q por R e obter S esenhar [RS].... esenhar [S]..... esenhar a secção.... esenhar a maior secção alcular a medida da diagonal facial alcular a área da secção esenhar a secção produzida por α... rofessora: Rosa anelas 7 no Lectivo 009/010

8 Representar x por uma incógnita screver a equação = 5 5 h. 8 Resolver a equação Número de faces... 5 Número de vértices Número de arestas Verificação da Relação de uler alcular o volume do cubo em função da aresta a 6 alcular o volume da pirâmide em função de a alcular a percentagem pedida esenhar uma planificação. 5 ssinalar os pontos na planificação.. 5 plicar o Teorema de itágoras para calcular M. 4 alcular M.. 4 Justificar que o caminho não passa por.. Total 00 rofessora: Rosa anelas 8 no Lectivo 009/010