ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 3

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1 ESCOL SECUNDÁRI COM º CICLO D. DINIS COIMBR 11º NO DE ESCOLRIDDE MTEMÁTIC FICH DE VLIÇÃO Nº Grupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada resposta errada vale - pontos, cada pergunta não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. 1. Se α é um ângulo interno de um triângulo equilátero, então π sen + α é igual a:. 0,5 B. C. 0,5 D.. Na figura estão representados em referencial o.n. Oy: Um quarto de círculo de centro na origem e raio 1. y Uma semi-recta paralela ao eio Oy, com origem no ponto de coordenadas (1,0). O ponto pertence a esta semi-recta. Um ângulo de amplitud e α, cujo lado origem é o semi-eio O, e o lado etremidade é a semi-recta O.. α O 1 Qual das epressões seguintes representa a área da região sombreada, em função de α? tgα π tgα π. π + B. π + C. + D. + tgα 4 4 tgα y z. Num referencial o.n. (O,,y,z), a condição: 5 y = 6 = = define 5 4. o conjunto vazio B. um ponto C. uma recta D. um plano. 4. Considere, num referencial o.n. Oyz, um plano α de equação + y z =. S eja β o plano que é paralelo a α e que contém o ponto de coordenadas (0,1,). Qual das condições seguintes é uma equação do plano β?. + y z = 1 B. + z = C. - - y + z = 0 D. y + z = 1 PROFESSOR: Rosa Canelas 1

2 5. Na figura ao lado está representada uma circunferência de centro O e raio 1. Os pontos e B são etremos de um diâmetro da circunferência. Considere q ue um ponto P se desloca sobre o arco B, partindo de e terminando o seu percurso em B. Para cada posição do ponto P, seja a amplitude, em radianos, do ângulo OP. Seja f a função que, a cada valor de [ 0,π ] O.OP. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função f?, faz corresponder o valor do produto escalar. B. C. D. B O P Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproimação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor eacto. 1. Na figura está representada uma roda de feira com 1 cadeiras numeradas. distância ao solo da cadeira 1, t segundos depois da roda π t começar a girar, é dada, em metros, por dt () = 7+ 5sen 0. Sabendo que uma «viagem» da roda demora 10 segund os, determine: a. de que altura parte a cadeira 1. b. a altura máima atingida pela cadeira 1. c. o raio da roda. d. quantas voltas completas dá a cadeira 1, numa viagem. Justifique a sua resposta, evidenciando uma propriedade da função. e. por processos eclusivamente analíticos, os instantes em que a cadeira 1 está a 9,5m do solo. Nota: Não se esqueça de que deve ter a calculadora a funcionar em radianos. PROFESSOR: Rosa Canelas

3 . Considere no referencial o.n. do espaço (Oyz), a pirâmide quadrangular regular de vértice E e base [BCD] contida no plano de equação z = 4. O vértice pertence ao eio Oz O vértice B pertence ao plano yoz. O vértice D pertence ao plano Oz. O vértice C tem coordenadas (4,4,4). altura da pirâmide é 6. a. Mostre que uma condição que define a recta DE é z 4 4= y = z B D C O y E b. Determine uma equação do plano que passa em B e é perpendicular à recta DE. c. Determine a medida da área da secção produzida na pirâmide pelo plano Oy.. Numa cozinha, um forno eléctrico estava a funcionar a uma temperatura constante quando houve um corte de energia eléctrica. partir do instante t = 0, momento da falha de energia, a temperatura no forno evolui de acordo com o seguinte modelo matemático: 150t + 50 T() t = ; T em graus Celsius e t em horas. 6t + 1 Utilize as potencialidades da sua calculadora para resolver as questões seguintes: a. Determine a temperatura a que o forno estava a funcionar quando houve a falha de energia eléctrica. b. pessoa responsável por vigiar o forno apenas se apercebeu da falta de energia eléctrica quando a temperatura no forno era de 75ºC. Determine o tempo que decorreu entre a falha de energia e o instante em que a mesma foi detectada. presente o resultado em minutos, arredondado às unidades. c. dmita que, no momento em que houve a falha de energia, é introduzido no forno um prato que necessita no mínimo de 0 minutos a uma temperatura não inferior a 100ºC. Numa pequena composição eplicite a conclusão a que chegou, justificando-a devidamente. PROFESSOR: Rosa Canelas

4 COTÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada... - Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II a b c d e a b c a b c TOTL PROFESSOR: Rosa Canelas 4

5 ESCOL SECUNDÁRI COM º CICLO D. DINIS COIMBR 11º NO DE ESCOLRIDDE MTEMÁTIC FICH DE VLIÇÃO Nº proposta de resolução Grupo I 1. C. Se α é um ângulo interno de um triângulo equilátero, π então se n + α = 0,5 para o que bastaria utilizar a calculadora em modo radianos.. C. Na figura estão representados em referencial o.n. Oy: Um quarto de círculo de centro na origem e raio 1.com área π 1 π = 4 4 Uma semi-recta paralela ao eio Oy, com origem no ponto de coordenadas (1,0). O ponto pertence a esta semi-recta. Um ângulo de amplitude α, cujo lado origem é o semi-eio y α O 1.. O, e o lado etremidade é a semi-recta O. a área do triângulo rectângulo que tem um cateto a medir 1 e o outro igual a tgα, é π tgα sombreada mede tgα tgα =. Daqui resulta que a área. Num referencial o.n. (O,,y,z), a condição: y z 5 y = 6 = = define o conjunto vazio, 5 4 porque o vector normal ao plano (5,-,0) e o vector director da recta (,5,4) são perpendiculares ( = 0). recta é paralela ao plano. recta passa na origem e o plano não, pelo que a recta é estritamente paralela ao plano e não o intersecta. 4. C. Num referencial o.n. Oyz, um plano α tem equação + y z =. Seja β o plano que é paralelo a α e que contém o ponto de coordenadas (0,1,). Uma equação do plano β será uma equação da forma + y z = D que seja verificada pelas coordenadas do ponto (0,1,). Então 0+ 1 = D D= 0. Mas + y z = 0 é equivalente a y + z = 0 PROFESSOR: Rosa Canelas 5

6 5.. Na figura ao lado está representada uma circunferência de centro O e raio 1. Os pontos e B são etremos de um diâmetro da circunferência. B O P P é um ponto que se desloca sobre o arco B, partindo de e terminando o seu percurso em B. Para cada posição do ponto P, seja a amplitude, em radianos, do ângulo Seja f a função que, a cada valor de [ 0,π ], faz corresponder o valor do produto escalar O.OP. O gráfico ao lado pode ser o da função f porque é o único em que o produto escalar é positivo enquanto o ângulo é agudo e passa a negativo quando o ângulo passa a obtuso. OP. Grupo II 1. Na figura está representada uma roda de feira com 1 cadeiras numeradas. distância ao solo da cadeira 1, t segundos depois da roda π t começar a girar, é dada, em metros, por dt () = 7+ 5sen 0. Sabendo que uma «viagem» da roda demora 10 segundos, concluímos, depois de nos certificarmos de que a calculadora está a trabalhar em radianos: a. a altura de que parte a cadeira 1 é 7 m, dada por d(0)=7. b. a altura máima atingida pela cadeira 1 é 1 m, valor calculado na calculadora como mostra o gráfico seguinte: PROFESSOR: Rosa Canelas 6

7 c. o raio da roda é 5 m, metade da diferença entre o máimo e o mínimo 1 = 5, ou de acordo com o desenho da roda a diferença entre a altura máima e a altura no instante t = 0 (1-7=5). d. a cadeira 1, numa viagem, dá duas voltas completas. Da observação do gráfico reconhecemos ser o período 60 segundos, a função repete-se duas vezes durante os 10 segundos que dura a viagem. e. os instantes em que a cadeira 1 está a 9,5m do solo determinam-se encontrando as soluções da equação d(t)=9,5 πt πt πt πt π πt 5π 7+ 5sen 9,5 5sen,5 sen 0,5 kπ k π,k 0 = 0 = = = + = t = k t = k,k. Fazendo k = 0 as soluções são t = 5 t = 5, fazendo k =1 as soluções são t = 65 t = 85 e como a viagem dura só 10 segundos não há mais soluções. cadeira está a 9,5 m ao fim de 5, 5, 65 e 85 segundos.. Considere no referencial o.n. do espaço (Oyz), a pirâmide quadrangular regular de vértice E e base [BCD] contida no plano de equação z = 4. O vértice pertence ao eio Oz O vértice B pertence ao plano yoz. O vértice D pertence ao plano Oz. O vértice C tem coordenadas (4,4,4). altura da pirâmide é 6. a. Mostre que uma condição que define a recta DE é z 4 4= y = z B D C O y E E tem coordenadas (,,-) e D tem coordenadas (4,0,4) logo o vector D E = (,, 6) equação que nos é dada é de uma recta que passa em D(4,0,4) e tem a direcção do DE =,, 6. Está então mostrado que vector de coordenadas (1,-1,) que é paralelo a ( ) a condição dada define a recta DE. Também o podíamos fazer substituindo as coordenadas de D e de E na equação: = 0 = 0= 0= = = = = PROFESSOR: Rosa Canelas 7

8 Concluindo que os dois pontos pertencem à recta ela só pode ser a recta definida por eles. b. B(0,4,4) e o vector director da recta DE, que é o vector normal ao plano, tem coordenadas (1,-1,). equação do plano que passa em B e é perpendicular à recta DE tem a forma y + z = D e é verificada pelas coordenadas de B: = D D = 8. Finalmente a equação pedida é y + z = 8. c. secção produzida na pirâmide pelo plano Oy é um quadrado semelhante à base da pirâmide e a razão de semelhança é 6 ( quociente entre a altura da pirâmide dada e a da pirâmide que fica abaio do plano Oy, que são semelhantes). Então será 6 4 = l= 4 l= 4 l 6 medida da área da secção é 4 16 = = 9. Numa cozinha, um forno eléctrico estava a funcionar a uma temperatura constante quando houve um corte de energia eléctrica. partir do instante t = 0, momento da falha de energia, a temperatura no forno evolui de acordo com o seguinte modelo matemático: 150t + 50 T() t = ; T em graus Celsius e t em horas. 6t + 1 Utilizemos as potencialidades da calculadora para resolver as questões seguintes: a. temperatura a que o forno estava a funcionar quando houve a falha de energia eléctrica é 50ºC, dada por T(0). Usámos um domínio correspondente a horas por se considerar que ao fim desse tempo a temperatura no forno estará a começar a estabilizar. b. pessoa responsável por vigiar o forno apenas se apercebeu da falta de energia eléctrica quando a temperatura no forno era de 75ºC. O tempo que decorreu entre a falha de PROFESSOR: Rosa Canelas 8

9 energia e o instante em que a mesma foi detectada foi 5 minutos, arredondado às unidades c. No momento em que houve a falha de energia, é introduzido no forno um prato que necessita no mínimo de 0 minutos a uma temperatura não inferior a 100ºC. O prato ficou pronto ao fim de 0m, altura em que a temperatura do forno diminuiu até 100ºC. confecção do prato não foi prejudicada pelo corte de energia eléctrica pois ele dispôs eactamente de 0 minutos com temperatura não inferior a 100º C. 150t + 50 Isto foi verificado determinando a intersecção das funções T() t = 6t + 1 e T(t) =100. abcissa do ponto de intersecção deu-nos o tempo decorrido desde o corte de energia. Para sabermos o seu valor em minutos também usámos as potencialidades da máquina, como decorre do segundo quadro que apresentamos. PROFESSOR: Rosa Canelas 9