Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais

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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taa de Variação e Derivada TPC nº 7 (entregar no dia ). Um corpo suspenso de uma mola elástica, colocada verticalmente, oscila continuamente para cima e para baio da posição de equilíbrio. No instante t (em segundos), o deslocamento do corpo em relação à posição de equilíbrio é dada, em cm, por: d(t) = 2sen t.. Com o auílio da calculadora gráfica, esboce o gráfico da função, durante segundo..2. Determine o valor eacto da distância do corpo à posição de equilíbrio no instante inicial da contagem do tempo. Nesse instante, o corpo encontrava-se acima ou abaio da posição de equilíbrio?.. Determine os instantes em que o corpo cruzou a posição de equilíbrio durante o primeiro segundo da contagem do tempo..4. Qual é o período desta função? Como eplicaria esse facto a alguém que não saiba matemática. 2. Num referencial o.n. considere a recta r e o plano α definidos por: α : + 2z =. Determine z + r : 2 = = e 2.. o ponto de intersecção de r com α as coordenadas dos pontos de intersecção da recta r com os planos coordenados. 2.. as coordenadas dos pontos de intersecção do plano α com os eios coordenados.. Na figura está representada uma circunferência de centro O e P raio. Os pontos A e B são etremos de um diâmetro da circunferência. Considera que um ponto P, partindo de A, se desloca sobre o arco AB, terminando o seu percurso em B. Para B O A cada posição de P seja a amplitude, em radianos do ângulo Professora: Rosa Canelas

2 AOP. Seja f a função que a cada valor de [ 0,] OA OP. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função f? faz corresponder o valor do produto escalar (D) A (A) B - - (B) C D (C) Faça uma pequena composição eplicando porque escolheu esse gráfico e porque é que os outros três não podem representar a situação descrita. 4. Seja g a função racional definida por g( ) + = Determine as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico de g com os eios coordenados Escreva g( ) na forma ( ) b g = a +,a,b R Escreva equações das assímptotas do gráfico de g Indique o domínio e o contradomínio de g A partir do esboço do gráfico de g indique o valor dos seguintes limites: lim g ( ) lim g ( ) lim g( ) lim g( ) 2 Professora: Rosa Canelas 2

3 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taa de Variação e Derivada TPC nº 7 Proposta de resolução. Um corpo suspenso de uma mola elástica, colocada verticalmente, oscila continuamente para cima e para baio da posição de equilíbrio. No instante t (em segundos), o deslocamento do corpo em relação à posição de equilíbrio é dada, em cm, por: d(t) = 2sen t.. Com o auílio da calculadora gráfica, esbocemos o gráfico da função, durante segundo..2. Determinemos o valor eacto da distância do corpo à posição de equilíbrio no instante inicial da contagem do tempo, calculando d(0) = 2sen = 2 =. Nesse 2 instante, o corpo encontrava-se abaio da posição de equilíbrio... Determinemos os instantes em que o corpo cruzou a posição de equilíbrio durante o primeiro segundo da contagem do tempo resolvendo a equação 2sen t = 0 k sen t = 0 t = k,k Z t = + k,k Z t = +,k Z 9 Vamos agora encontrar as soluções no primeiro segundo substituindo o k por valores ,,2, Se k = 0 t =, se k = t = + =, se k = 2 t = + =. AO substituirmos k por obtínhamos uma solução maior que, pelo que há momentos em que o corpo cruza a posição de equilíbrio em instantes como se verifica também por observação do gráfico. Professora: Rosa Canelas

4 .4. O período desta função é 7 = 6 = 2. O período significa o intervalo de tempo que demora um ponto da mola a repetir as mesmas posições. 2. Num referencial o.n. considere a recta r e o plano α definidos por: α : + 2z =. Determinemos z + r : 2 = = e 2.. o ponto de intersecção de r com α. z + 2 = 6 = z + = 2z 2 = 2z 2 = = ( 2z 2) 6 = z + 6z 6 6 = z + + 2z = 2z 2 = = = 26 = = = 2z 2 5 5z = z = = O ponto de intersecção da recta com o plano é o 5 = = z = 5 ponto de coordenadas 6,, as coordenadas dos pontos de intersecção da recta r com os planos coordenados. Comecemos por calcular o ponto de intersecção da recta com O fazendo z = 0 na equação da recta: = = z = 0 = = z = 0. As coordenadas do ponto de intersecção da recta com O são 7,,0. Para calcularmos o ponto de intersecção com Oz fazemos = 0 na equação da recta: z = = = 0 = 0 = z = 7. As coordenadas do ponto de intersecção da recta com Oz são ( 0,, 7). A recta não intersecta o plano Oz pois é sempre e por isso não podemos fazer = as coordenadas dos pontos de intersecção do plano α com os eios coordenados. Comecemos por calcular a intersecção com O fazendo = 0 z = 0 + 2z = = As coordenadas do ponto de intersecção do plano α com O são (,0,0 ). A intersecção com O obtém-se fazendo: = 0 z = 0 + 2z = = = As coordenadas do ponto de intersecção do plano α com O são 0,,0. Professora: Rosa Canelas 4

5 A intersecção com Oz obtém-se fazendo: = 0 = 0 + 2z = 2 = z = 2 As coordenadas do ponto de intersecção do plano α com Oz são 0,0, 2.. Na figura está representada uma circunferência de centro O e raio. Os pontos A e B são etremos de um diâmetro da circunferência. Considera que um ponto P, partindo de A, se desloca sobre o arco AB, terminando o seu percurso em B. Para cada posição de P seja a amplitude, em radianos do ângulo AOP. B O Seja f a função que a cada valor de [ 0,] faz corresponder o valor do produto escalar P A OA OP. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função f? (D) A (A) B - - (B) C D (C) O gráfico B é o que traduz a situação pois no instante inicial o produto escalar é por o ângulo ser 0 e OA OP = cos0 =, por esta razão ecluímos os gráficos C e D. Além disso no primeiro quadrante o produto escalar é positivo e no segundo é negativo, razão pela qual ecluímos o gráfico A. Só mesmo o gráfico B pode descrever o valor do produto escalar em função do ângulo. Professora: Rosa Canelas 5

6 4. Seja g a função racional definida por g( ) + = Determinemos as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico de g com os eios coordenados. Intersecção com O: g( 0) Intersecção com O: ( ) coordenadas, Vamos escrever g( ) na forma ( ) a regra de Ruffini: Então ( ) 5 g = = = o ponto tem coordenadas , 2 + g = 0 = 0 + = = + 2 o ponto tem b g = a +,a,b R, começando por dividir utilizando As equações das assímptotas do gráfico de g são = 2 (assímptota vertical) e = (assímptota horizontal) 4.4. O domínio de g é R \ { 2} e o contradomínio de g é \ { } R A partir do esboço do gráfico de g indique o valor dos seguintes limites: ( ) lim g = ( ) lim g = lim g( ) lim g( ) 2 = = + Professora: Rosa Canelas 6

7 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taa de Variação e Derivada TPC nº 7 Critérios de classificação Calcular a intersecção com O 4 Calcular a intersecção com Oz 4 Justificar que não intersecta Oz Calcular a intersecção com O 2 Calcular a intersecção com O 4 Calcular a intersecção com Oz Total 00 Professora: Rosa Canelas 7