ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 5

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 5 Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. ara cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada resposta errada vale - 3 pontos, cada pergunta não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.. No quadrado [ABCD] o lado [BC] está dividido em quatro segmentos iguais. Um valor aproximado às centésimas da amplitude, em radianos, do ângulo α é: A. 0,52 B. 0,53 C. 0,54 D. 0,55 2. O círculo da figura tem raio 2. Se α = 50º, as coordenadas do ponto são: A. ( 3,) B. 3, 2 2 C. (, 3 ) D. ( 0,87;0,5 ) 3. Num referencial o. n. Oxyz, qual das condições define uma recta paralela ao eixo Oz. x = 2 A. B. y = ( x, y,z) = (,2,0 ) + k (,,0 ),k C. z = D. x = y = z. 2 3 ROFESSORA: Rosa Canelas

2 4. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um plano α de equação x y 3 = 0 e a recta r de equações z x = y =. 2 Acerca deles podemos dizer que: A. r é paralela a α B. r é perpendicular a α C. r é oblíqua a α D. r pertence a α. 5. Na figura ao lado está representada uma circunferência de centro O e raio. Os pontos A e B são extremos de um diâmetro da circunferência. Considere que um ponto se desloca sobre o arco AB, partindo de A e terminando o seu percurso em B. ara cada posição do ponto, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo AO. Seja f a função que, a cada valor de x [ 0,π ], faz corresponder o valor do produto escalar OA.O. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função f? B O x A A. B. C. D. Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.. Uma fábrica de sumos produz o sumo MANGALARANJA, que é feito através da mistura de sumo de laranja com sumo de manga. Cada litro de sumo de laranja custa 2 e cada litro de sumo de manga custa 6,50. Uma máquina misturadora trabalha com litros de sumo de manga (quantidade fixa) e uma quantidade variável de sumo de laranja, dependendo da concentração pretendida. ROFESSORA: Rosa Canelas 2

3 .. Calcule o custo de cada litro de MANGALARANJA se na mistura forem utilizados 50 litros de sumo de laranja..2. Designe por x o número de litros de sumo de laranja que é utilizado na mistura..2.. Mostre que o preço por litro do MANGALARANJA, em euros, é dado, em função de x, por ( ) 2x + 30 x =. x Calcule, por processos exclusivamente analíticos, o número de litros de sumo de laranja que se devem utilizar para que o preço de um litro de MANGALARANJA seja 4, O transporte para um supermercado de uma encomenda desta mistura é feito através de duas estradas. O percurso na ª estrada demora 30 minutos à velocidade média de 60 km/h e na 2ª estrada é feito à velocidade média de 90 km/h..3.. Designe por t o tempo gasto, em horas, no percurso da segunda estrada e por v a velocidade média, em km/h, no total do trajecto (ª e 2ª estradas). Faça uma representação gráfica da função V que a cada t faz corresponder a velocidade v A velocidade média em todo o percurso foi 80 km/h. Quanto tempo demorou o percurso na segunda estrada? 2. O peso médio de uma certa espécie de animais evolui ao longo da sua vida de acordo com a 2,5 lei p() t = 30, t em anos e p em kg. t+ 0,5 2.. Qual o peso médio de um destes animais à nascença? 2.2. Será que um animal desta espécie atinge 35 kg? Justifique Determine, analiticamente, o tempo, durante o qual, o peso de um destes animais é inferior a kg? 2.4. Qual o aumento médio de peso nos três primeiros anos? E entre o 5º e o 8º ano? 3. A função f, representada graficamente, pode ser definida por uma expressão do tipo f( x) = ax+ b+. x c 3.. Descubra os valores de a, b e c e escreva f(x) na forma de uma fracção racional O número de soluções da equação f( x) do valor de k. = kdepende Explique, numa pequena composição, o significado desta afirmação. ROFESSORA: Rosa Canelas 3

4 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL... 0 ROFESSORA: Rosa Canelas 4

5 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 5 proposta de resolução Grupo I. C. No quadrado [ABCD] o lado [BC] está dividido em quatro segmentos iguais. Um valor aproximado às centésimas da amplitude, em radianos, do ângulo α é dado por π α = tan α 0, A. O círculo da figura tem raio 2. Se α = 50º ponto são ( ) x,y onde x 3 = cos( 50º ) x = x = 3 y y = sen( ) = 50º 2 y = 2 2, as coordenadas do : ( 3, ) 3. A. Num referencial o. n. Oxyz, a condição x = 2 define y = uma recta paralela ao eixo Oz. (recta r da figura ao lado) ( ) ( ) ( ) x, y,z =,2,0 + k,,0,k esta recta é perpendicular ao eixo Oz porque (,,0 ). ( 0,0, ) = 0. z = é uma equação de um plano perpendicular ao eixo Oz. x y = = z é a equação de uma recta concorrente e não 2 3 perpendicular com Oz porque (2,3,) e (0,0,) não são nem paralelos nem perpendiculares x 2 z r 2 y 4. A. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um plano α de equação x y 3 = 0 e a recta r de equações z x = y =. 2 Acerca deles podemos dizer que r é paralela a α porque o vector de coordenadas (,-,0) é normal ao plano e também normal ao vector de coordenadas (,,2) que é o vector director da ROFESSORA: Rosa Canelas 5

6 ( = 0) recta ( ) pertence ao plano ( ). Como o ponto de coordenadas (0,0,) pertence à recta e não a recta é estritamente paralela ao plano. 5. A. Na figura ao lado está representada uma circunferência de centro O e raio. Os pontos A e B são extremos de um diâmetro da circunferência. Considere que um ponto se desloca sobre o arco AB, partindo de A e terminando o seu percurso em B. ara cada posição do ponto, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo AO. Seja f a função que, a cada valor de x [ 0,π ], faz corresponder o valor do produto escalar OA. O. Este é o gráfico que pode ser o da função f por o produto escalar de ângulos agudos ser positivo e o de ângulos obtusos ser negativo. B O x A Grupo II. Uma fábrica de sumos produz o sumo MANGALARANJA, que é feito através da mistura de sumo de laranja com sumo de manga. Cada litro de sumo de laranja custa 2 e cada litro de sumo de manga custa 6,50. Uma máquina misturadora trabalha com litros de sumo de manga (quantidade fixa) e uma quantidade variável de sumo de laranja, dependendo da concentração pretendida... O custo de cada litro de MANGALARANJA, se na mistura forem utilizados 50 litros de sumo de laranja, é dado por ,5 = 23 3, Designe por x o número de litros de sumo de laranja que é utilizado na mistura..2.. O preço por litro do MANGALARANJA, em euros, é dado, em função de x, por ( ) x 2x + 30 = porque x litros de sumo de laranja custam 2x e litros de sumo x+ de manga custam 6,5 = 30, a mistura de + x litros de MANGALARANJA 2x + 30 custa 2x Então cada litro vai custar ( x ) =. x O número de litros de sumo de laranja que se devem utilizar para que o preço de um litro de MANGALARANJA seja 4,25 é dado pela solução da equação ROFESSORA: Rosa Canelas 6

7 2x x x ,25x 85 = 4,25 4,25 = 0 = 0 x+ x+ x+ 2, 25x + 45 = 0 2,25x + 45 = 0 x + 0 x = x+ Devemos utilizar litros para que o preço por litro seja 4, O transporte para um supermercado de uma encomenda desta mistura é feito através de duas estradas. O percurso na ª estrada demora 30 minutos à velocidade média de 60 km/h e na 2ª estrada é feito à velocidade média de 90 km/h. Sintetizemos os dados numa tabela: Tempo gasto Velocidade média ª estrada 30 m = 0,5 h 60 km/h 2ª estrada t 90 Km/h.3.. Designando por t o tempo gasto, em horas, no percurso da segunda estrada e por v a velocidade média, em km/h, no total do trajecto (ª e 2ª estradas). odemos encontrar uma expressão que nos dá v em função de t, usando um raciocínio semelhante ao do preço médio do sumo. Sendo o tempo gasto na primeira estrada 0,5 horas e na segunda t horas podemos calcular o espaço percorrido em cada uma delas por conhecermos a velocidade média em cada estrada. 0, t 90 A expressão será então v = 0,5 + t Uma representação gráfica da função V que a cada t faz corresponder a velocidade v será.3.2. A velocidade média em todo o percurso foi 80 km/h. ara sabermos quanto tempo demorou o percurso na 2ª estrada vamos resolver a equação 0, t =. 0,5 + t Como 0,5 + t > 0 podemos resolver analiticamente a equação como segue: 0, t = t = t 0t = 0 t = 0,5 + t Resolvendo graficamente: ROFESSORA: Rosa Canelas 7

8 Concluímos então que se a velocidade média de todo o percurso foi 80 km/h o transporte demorou uma hora na segunda estrada. 2. O peso médio de uma certa espécie de animais evolui ao longo da sua vida de acordo com a 2,5 lei p() t = 30, t em anos e p em kg. t+ 0,5 2,5 2.. O peso médio de um destes animais à nascença é dado por p(0) = 30 = 5kg 0+ 0, Um animal desta espécie não atinge 35 kg porque a função é crescente e o gráfico tem uma assímptota horizontal de equação y = 30 o que significa que o peso não chega a ser 30 kg e ainda menos 35 kg O tempo, durante o qual, o peso de um destes animais é inferior a kg é 9 meses, valor 2,5 2,5 2,5 obtido por: p () t < 30 < < < 0 t+ 0,5 t+ 0,5 t+ 0,5 2,5 + 0t + 5 0t 7,5 < 0 < 0 t+ 0,5 t+ 0,5 C. A. 0t 7,5 = 0 t = 0,75 t+ 0,5= 0 t = 0,5 Como t só pode tomar valores não negativos t 0 0,75 + 0t 7,5-0 + t + 0, p(t) < Então p(t) < quando t [ 0;0,75[ e como 0,75 anos são 9 meses ( 0,75 2 = 9) podemos dizer que o peso de um destes animais é inferior a kg durante 9 meses O aumento médio de peso nos três primeiros anos é cerca de 7 kg/ano: 85 5 p(3) p(0) 7 50 = = E entre o 5º e o 8º ano é cerca de 0,267 kg/ano: ROFESSORA: Rosa Canelas 8

9 p8 ( ) p5 ( ) 7 50 = = A função f, representada graficamente, pode ser definida por uma expressão do tipo f( x) = ax+ b+ x. c 3.. c = 2 porque x=2 é a equação da assímptota vertical; a = e b = - porque a equação da assímptota oblíqua é y = x. 2 2 x 2x x+ 2+ x 3x+ 3 = + = =. x 2 x 2 x 2 Então f( x) x f ( x) f ( x) 3.2. O número de soluções da equação f( x) = kdepende do valor de k. O contradomínio de f é ], ] [ 3, + [, porque se calcularmos o máximo relativo e o mínimo relativo concluímos: A equação f(x) = k pode ter duas soluções se k ], [ ] 3, + [ porque para esses valores de k a recta de equação y = k intersecta o gráfico em dois pontos. A equação f(x) = k também pode ter uma solução se k = k = 3. ara estes valores de k a recta de equação y = k intersecta o gráfico num único ponto. A equação f(x) = k pode ainda não ter solução se k ], 3 [. ara estes valores de k a recta de equação y = k não intersecta o gráfico em nenhum ponto. ROFESSORA: Rosa Canelas 9