E S C O L A S E C U N D Á R I A A F O N S O L O P E S V I E I R A

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1 E S C O L A S E C U D Á R I A A F O S O L O E S V I E I R A TESTE DE AVALIAÇÃO DE DIAGÓSTICO MATEMÁTICA A Escola Secundária Afonso Lopes Vieira Duração da prova: 45minutos Data: 16/09/008 11º Ano de escolaridade Grupo I Os dois itens deste grupo são de escolha múltipla. ara cada um deles, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para responder a cada item. Se apresentar mais do que uma letra, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. ão apresente cálculos, nem justificações. 1. Os moradores de um prédio de vários andares foram inquiridos sobre o número de televisores que existem em cada andar. Os resultados foram organizados na tabela seguinte: º de TV por andar (x i ) º de andares (f i ) O número de televisores que em média existem em cada andar é: [A] 3 [B],7 [C] 1, [D]. Considere, em referencial o.n. xo, a recta r que intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa e que intersecta o eixo O no ponto de ordenada 6. ual a equação reduzida da recta r? [A] = 3x+ 6 [B] = 3x+ 6 [C] = x+ 6 [D] = x+ 6 (v. s. f. f.)

2 Grupo II os itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida aproximação pretende-se sempre o valor exacto. 1. Seja f a função de domínio IR definida por f(x) = x 4 + x 3 x + x. Sabe-se que o gráfico de f intersecta o eixo Ox em apenas dois pontos. Um deles tem abcissa. Decomponha o polinómio x 4 + x 3 x + x num produto de três polinómios: do primeiro grau e um do segundo grau.. a figura está representada, num referencial o.n. xo, uma semicircunferência de centro na origem e que passa nos pontos e. O ponto tem coordenadas ( 3, 4) e o ponto tem coordenadas ( 3, 4). Está também representado o segmento de recta []. Defina por meio de condições o domínio plano sombreado. 4 3 O 3 x 3. a figura está representado, em referencial o.n. Oxz, um cubo [ORSTUV]. O ponto O representa a origem do referencial e as arestas [O], [OR] e [OS] pertencem aos semieixos positivos Ox, O e Oz, respectivamente. O ponto U tem coordenadas (,, ). o eixo Oz está representado um ponto A, cuja cota é 4. T z A S U V 3.1 Defina por meio de uma condição a aresta []. x O R 3. Indique, justificando, se o ponto T pertence ao plano mediador de [AV]. (v. s. f. f.)

3 4. retende-se fazer um canteiro, no jardim da escola, com a forma de um quadrado de 7 metros de lado. A figura representa um projecto desse canteiro, designado por [ABCD], em que a região sombreada representa a zona que se pretende relvar, e o quadrado [M] representa o local destinado a plantar flores. Em metros, tem-se que AM = B = C = D = x D C A x M B 4.1 Admita que x = 3. retende-se plantar 650 flores na zona reservada para esse efeito. Cada flor necessita de uma área quadrangular com 0 centímetros de lado. Será possível plantar as 650 flores? Justifique. 4. Fazendo variar a medida x também a área da região relvada irá variar. Mostre que a área a da região relvada, é dada, em função de x por a(x) = 14x x. 4.3 retende-se que a zona relvada tenha a maior área possível. Coma base na função a(x), mas sem recorrer às capacidades gráficas da calculadora, determine o valor de x para que tal aconteça. FIM Cotação Grupo I...0 pontos Cada resposta certa pontos Cada resposta errada... 0 pontos Cada resposta não respondida ou anulada... 0 pontos Grupo II pontos pontos... 0 pontos pontos pontos pontos pontos pontos

4 E S C O L A S E C U D Á R I A A F O S O L O E S V I E I R A Escola Secundária Afonso Lopes Vieira TESTE DE AVALIAÇÃO DE DIAGÓSTICO MATEMÁTICA A ROOSTA DE RESOLUÇÃO Data: 16/09/008 11º Ano de escolaridade I xi f i [B] x = =, [A] ontos conhecidos (, 0) e (0, 6) m = = x x 0 1 = 3 e b = 6, logo = 3x f(x) = x 4 + x 3 x + x II Se o gráfico intersecta o eixo Ox em apenas dois pontos e sendo um polinómio incompleto, os zeros são: x = e x = 0 pelo que x 4 + x 3 x + x = x(x 3 + x x + ) = x(x + )(x) ela regra de Ruffini tem-se que (x) = x x + 1 Logo, x 4 + x 3 x + x = x(x + )(x x + 1) [O] é o raio da circunferência de centro O, com ( 3, 4) logo O = ( 3) + 4 <=> O = = 5 = 5 A região do plano acima da recta, inclusive, é dada por 4 4 O circulo de centro em O e raio 5 é definido por (x 0) + ( 0) 5 ortanto, o domínio plano sombreado é dado por x O 3 x 3.1 A recta é formada pela intersecção dos planos x = z = 0 z A A aresta [] é um segmento de recta, pertencente a delimitado entre = 0 e =, logo A aresta [] é definida por: x = z = 0 0 T S U V 3. Coordenadas dos pontos A(0, 0 4) V(0,, ) T(, 0, ) or definição, qualquer ponto do plano mediador de um segmento de recta encontra-se à mesma distância dos extremos do segmento. Assim, é necessário que AT = VT x O R AT = ( 0) + (0 0) + ( 4) = 8 e VT = ( 0) + (0 ) + ( ) = 8 Verifica-se que AT = VT, pelo que o ponto T pertence ao plano mediador de [AV].

5 4.1 Se x = 3 então AM = B = C = D e MB = C = D = A = 7 3 = 4 D C M = MB + B <=> M = = 5 [M] é um quadrado, logo, A [M] = 5 = 5 m Cada flor necessita de um quadrado de 0 cm de lado, ou seja, área para cada flor: 0, x 0, = 0,04 m Área disponível dividida pela área para cada planta 5 : 0,04 = 65 A x M B R: ão é possível plantar 650 flores. Conforme mostram os cálculos, apenas se podem plantar 65 flores. 4. Fazendo variar a medida x também a área da região relvada irá variar. A região relvada corresponde à área dos quatro triângulos rectângulos, geometricamente iguais, cuja das b h área total é dada por: 4 x = b h Em função de x temos que b = x e h = 7 x ou vice-versa, pelo que a(x) = x(7 x) Logo, a(x) = 14x x como se pretendia demonstrar. 4.3 Fazendo variar a medida x também a área da região relvada irá variar. retende-se determinar o máximo da função a(x) = 14x x a(x) = 14x x <=> a(x) = x(7 x) 4,5 a(x) = 0 <=> x(7 x) = 0 <=> x = 0 v 7 x = 0 <=> x = 0 v x = 7 Tratando-se de uma função quadrática de concavidade voltada para baixo (a < 0) e sabendo que o vértice da parábola pertence à recta vertical que intersecta o eixo Ox à mesma distancia dos zeros (ou x = b/a) Assim, com zeros { 0, 7} o máximo será o ponto da função para x = 3,5 O 3,5 7 x Ou seja a(3,5) = 14 x 3,5 x 3,5 = 4,5 ortanto, a área relvada será máxima (4,5 m ) quando x = 3,5 m.