5º Teste de avaliação versão1. Grupo I

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A 5º Teste de avaliação versão1 Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Na figura seguinte, estão representadas graficamente as funções f e g, de domínio IR Podemos afirmar que: f g A. g( ) = f ( + 6) 1 B. ( ) ( ) C. g( ) = f ( + 6) + 1 D. ( ) ( ) g = f 6 1 g = f Considere a família de funções f tais que: f ( ) = a + b; a,b IR Se a < 0 e b > 0, qual das seguintes representações gráficas pode corresponder à função f. A. B. Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 01/013

2 C. D. 3. Considere num referencial o.n. Oz, uma reta r, perpendicular ao plano Oz. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? A. A reta r é perpendicular ao plano O B. A reta r está contida no plano O C. A reta r é perpendicular ao eio O D. A reta r é paralela ao eio O 4. Num referencial o.n. Oz, considere um ponto A pertencente ao semieio positivo O e um ponto B pertencente ao semieio positivo O. Quais das seguintes podem ser as coordenadas do vetor AB? A. (,0,1 ) B. (,0, 1) C. (,1,0 ) D. (, 1,0 ) 5. Considere, num referencial o.n. O, a circunferência de equação ( ) ( ) Qual das equações seguintes define uma reta tangente a esta circunferência? = 16. A. = 5 B. = 6 C. = 5 D. = 4 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproimação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor eato. 1. Na figura está representada, em referencial o.n. Oz, uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: A base da pirâmide é paralela ao plano O. O ponto A tem coordenadas ( 8,8,7 ). O ponto B pertence ao plano Oz. O ponto C pertence ao eio Oz. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 01/013

3 O ponto D pertence ao plano Oz. O ponto E é o centro da base da pirâmide. O vértice V da pirâmide pertence ao plano O 1.1. Escreva as coordenadas dos pontos B, C, D, E e V. 1.. Defina por uma condição: O plano da base da pirâmide 1... O círculo de raio e centro na origem do referencial que esteja contido no plano Oz Determine uma equação da superfície esférica de diâmetro [AC] Mostre que uma equação do plano mediador de [BD] é = Determine as coordenadas do ponto ( ) mediador de [BD]. 3. Dado o polinómio P( ) = 4 + m + 4. F,k, k, k IR de modo que pertença ao plano.1. Determine o valor de m, de forma que o resto da divisão de P() por 1 seja 3... Faça m = e decomponha P() em fatores do tipo a + b, a IR b IR, sabendo que P() é divisível por. 3. Na figura está representado o trajeto de um ponto P. O ponto P iniciou o seu percurso em A e só parou em D, tendo passado por B e por C. Para cada posição do ponto P, seja t o tempo decorrido desde o início do percurso e seja d a distância do ponto P ao ponto E. Qual dos gráficos seguintes pode relacionar corretamente as variáveis t e d? Numa pequena composição indique as razões que o levam a rejeitar os restantes gráficos. Indique três razões, uma por cada gráfico rejeitado. A. B. C. D. Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 01/013

4 4. A figura representa uma ponte sobre um rio. A distância mínima do arco da ponte ao tabuleiro é de 6 m. Sejam A e B os pontos de interseção do arco da ponte com o nível da água do rio. Considere a reta AB como eio orientado da esquerda para a direita, com origem no ponto O, e onde uma unidade corresponde a um metro. Para cada ponto situado entre A e B, de abcissa, a altura do arco, em metros, é dada por: f = Verifique que ( ) ( ) f ( ) = Uma empresa está a estudar a hipótese de construir uma barragem neste rio. Se tal empreendimento se concretizar, o nível das águas no local da ponte subirá 0 metros. Nesse caso a ponte ficaria submersa? Justifique a sua resposta Determine, em metros com aproimação às centésimas, a distância entre A e B. NOTA: Nos cálculos intermédios sempre que proceder a arredondamentos conserve no mínimo, três casas decimais Um barco com a altura máima de 17,5 metros acima do nível da água e que, a 17 metros de altura tem uma largura de 9,5 metros, pode passar por baio desta ponte? Nota: Sempre que recorra à calculadora gráfica deve indicar todos os passos que efetuar, utilizando linguagem matemática, desenhar o(s) gráfico(s) que obteve e reproduzir a(s) tabela(s) que tenha necessidade de consultar, assinalando os valores que encontrou e que servem de resposta às perguntas colocadas. FIM Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 01/013

5 Cotações Grupo I. ( 5 10 pontos ) pontos Grupo II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos.. 5 pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos TOTAL.. 00 pontos Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 01/013

6 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A 5º Teste de avaliação versão1 Proposta de resolução Grupo I 1. B. Na figura seguinte, estão representadas graficamente as funções f e g, de domínio IR Podemos afirmar que g( ) = f ( 6) 1 porque se f g obtém g a partir de f fazendo uma translação horizontal associada ao vetor de coordenadas (6,0) seguida de uma translação vertical associada ao vetor de coordenadas (0,-1).. C. Considere a família de funções f tais que f ( ) = a + b; a,b IR Se a < 0 e b > 0, só a representação gráfica C. pode corresponder à função f porque f tem dois zeros um igual a zero e outro positivo porque: b a < 0 e b > 0 faz com que > 0 a 3. D. Consideremos num referencial o.n. Oz, uma reta r, perpendicular ao plano Oz. Das afirmações dadas a que é necessariamente verdadeira é A reta r é paralela ao eio O 4. C. Num referencial o.n. Oz, consideremos um ponto A(a,0,0) com a positivo pertencente ao semieio positivo O e um ponto B (0,b,0) com b positivo pertencente ao semieio positivo O. As coordenadas do vetor AB são: AB = B A = a,b,0 ( ) condições pedidas. logo só (,1,0 ) está nas = =6 =3 5. C. Considere, num referencial o.n. O, a circunferência de equação ( ) ( ) = 16. Uma reta tangente a esta circunferência tem equação = 5-5 O 5 - Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 01/013

7 Grupo II 1. Na figura está representada, em referencial o.n. Oz, uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: A base da pirâmide é paralela ao plano O. O ponto A tem coordenadas ( 8,8,7 ). O ponto B pertence ao plano Oz. O ponto C pertence ao eio Oz. O ponto D pertence ao plano Oz. O ponto E é o centro da base da pirâmide. O vértice V da pirâmide pertence ao plano O 1.1. As coordenadas são B( 0,8,7 ), C( 0,0,7 ), D( 8,0,7 ), E( 4,4,7 ) e V ( 4,4,0 ). 1.. Defina por uma condição: O plano da base da pirâmide: z = O círculo de raio e centro na origem do referencial que esteja contido no plano Oz fica definido por + + z 4 = 0 + z 4 = A superfície esférica de diâmetro [AC] tem centro A e raio representada por ( ) ( ) ( ) z 7 = Mostremos que uma equação do plano mediador de [BD] é = : ( ) ( ) ( ) ( ) 8 r = = 4 e é z 7 = z = = 1.5. Determinemos as coordenadas do ponto ( ) F,k, k, k IR de modo que pertença ao plano mediador de [BD]. Terá de ser = pelo que k = e então F(,, 4). 3. Dado o polinómio P( ) = 4 + m Determinemos o valor de m, de forma que o resto da divisão de P() por 1 seja 3. Terá de ser: m m 1 1 P = m + 4 = = 3 = m = Façamos m = e decomponhamos ( ) 3 a + b, a IR b IR, sabendo que P() é divisível por. P = em fatores do tipo Professora: Rosa Canelas 7 Ano Letivo 01/013

8 Comecemos por baiar o grau do polinómio utilizando a regra de Rufinni para o dividir por Obtemos então P( ) = ( )( ) = ( )( 1) = ( 4)( 1)( + 1) 3. Na figura está representado o trajeto de um ponto P. O ponto P iniciou o seu percurso em A e só parou em D, tendo passado por B e por C. Para cada posição do ponto P, seja t o tempo decorrido desde o início do percurso e seja d a distância do ponto P ao ponto E. Dos gráficos seguintes só D. pode relacionar corretamente as variáveis t e d. Os gráficos A e B não respeitam o facto de entre A e B a distância crescer e entre C e D decrescer. Os gráficos B e C não respeitam o facto de entre B e C a distância não ser sempre a mesma pois ela começa por diminuir e a partir do meio do segmento [BC] volta a aumentar. Assim só podemos de facto reconhecer o gráfico D como traduzindo a distância em função do tempo, distância essa que aumenta entre A e B diminui entre B e o ponto médio de [BC] aumentando depois até chegar a C e diminuindo entre C e D. A. B. C. D. 4. A figura representa uma ponte sobre um rio. A distância mínima do arco da ponte ao tabuleiro é de 6 m. Sejam A e B os pontos de interseção do arco da ponte com o nível da água do rio. Professora: Rosa Canelas 8 Ano Letivo 01/013

9 Consideremos a reta AB como eio orientado da esquerda para a direita, com origem no ponto O, e onde uma unidade corresponde a um metro. Para cada ponto situado entre A e B, de abcissa, a altura do arco, em metros, é dada por: f ( ) = Verifiquemos que f ( ) = 1 ( 5) ( ) ( ) ( ) 1 1 f = = = = Uma empresa está a estudar a hipótese de construir uma barragem neste rio. Se tal empreendimento se concretizar, o nível das águas no local da ponte subirá 0 metros. Nesse caso a ponte não ficaria submersa pois o seu arco tem altura máima 18 m e = 4m é a altura do tabuleiro. O nível do rio ficaria a 4 metros do tabuleiro Determinemos, em metros com aproimação às centésimas, a distância entre A e B. Vamos utilizar a calculadora para calcular os zeros de f. Obtivemos assim a distância entre A e B é 4,43 m 4.4. Um barco com a altura máima de 17,5 metros acima do nível da água e que, a 17 metros de altura tem uma largura de 9,5 metros, pode passar por baio desta ponte? Utilizemos a calculadora para resolver a questão: Podemos então concluir que o barco passa por baio da ponte pois a altura máima do arco é 18 e o barco só tem 17,5m. Além disso a largura do barco aos 17 metros de altura é 9,5 m e a essa altura o arco tem 10 m de largura. Professora: Rosa Canelas 9 Ano Letivo 01/013

10 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A 5º Teste de avaliação versão1 - Critérios de classificação Grupo I (50 pontos) Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos B C D C C Grupo II (150 pontos) pontos pontos Coordenadas de cada ponto pontos Equação do plano Oz 5 Condição que define o círculo pontos Calcular o raio. 4 Identificar o centro.. Escrever a equação da superfície esférica pontos Escrever a equação do plano mediador. 5 Simplificar a equação pontos Calcular o valor de k 4 Dar a ordenada Dar a cota pontos pontos.. 15 pontos Utilizar a regra de Ruffini 5 Decompor em fatores.. 10 Professora: Rosa Canelas 10 Ano Letivo 01/013

11 3. 0 pontos Identificar o gráfico correto. 4 Apresentar uma razão para rejeitar (A). 4 Apresentar uma razão para rejeitar (B). 4 Apresentar uma razão para rejeitar (C). 4 Composição organizada e sem erros pontos pontos pontos Referir que a altura do arco é 18 4 Referir que a altura do tabuleiro é 4 4 Dar a resposta pontos Calcular a abcissa de A 4 Calcular a abcissa de B 4 Calcular a distância entre A e B. Apresentar o gráfico pontos Apresentar o gráfico 3 Calcular a abcissa de C 3 Calcular a abcissa de D 3 Calcular a distância entre C e D. Concluir.. 4 TOTAL 00 pontos Professora: Rosa Canelas 11 Ano Letivo 01/013