ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TURMA A. TESTE Nº 4 Grupo I

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TURMA A TESTE Nº 4 Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada resposta errada vale 0 (zero) pontos, cada pergunta não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.. Sabendo que cosα = indique qual das afirmações seguintes é verdadeira. 4 4 A. cos( π + α ) = B. cos( ) π π π α = C. cos + = 4 α D. cos 4 α = 4. No intervalo [ 0,π ], as soluções da equação senx + = 0 são: A. π 7π, 6 6 B. π 4π, C. 4π 5π, D. 7π π, 6 6. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um plano α de equação x y = 0 e a recta r de z equações x = y =. Acerca deles podemos dizer que: A. r é paralela a α B. r é perpendicular a α C. r é oblíqua a α D. r pertence a α. 4. Qual dos sistemas pode traduzir a situação apresentada na figura ao lado? A. x y 4z = x + y = B. x z = 4x y z = x y + 5z = 4 x y + z = C. x+ y z = y+ 6z = x+ 6y z = 0 D. x = 0 y = 0 z = 0 Professora: Rosa Canelas /0/008

2 5. A taxa média de variação de f( x) = x no intervalo [ a,a ] + com a > 0 é A. a + B. a + C. D. Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.. Na figura está representado, em referencial o. n. Oxyz, um sólido formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular: A unidade do referencial é o centímetro. A base da pirâmide coincide com a face superior do cubo. O vértice O coincide com a origem do referencial. O ponto N pertence ao semieixo positivo Ox. O ponto P pertence ao semieixo positivo Oy. O ponto S pertence ao semieixo positivo Oz. A aresta do cubo mede 6 cm.. Escreva uma equação da recta RT... Escreva uma equação do plano RTP.. Sabendo que as arestas [ SV ] e [ UV ] são perpendiculares mostre que a cota de V é Determine, com aproximação às unidades de grau a amplitude do ângulo x, da face da pirâmide com a base. x R N z S O V M x Q U N T P y. Na figura está representado um reservatório. Considere que, inicialmente, o reservatório está cheio de água e, num certo instante, é aberta uma válvula e o reservatório começa a ser esvaziado. Admita que a altura, em metros, da água no reservatório, t horas após 4t 60 este ter começado a ser esvaziado, é dada por: h() t =. t 0 Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, determine:.. A altura do reservatório... O tempo que demorou o esvaziamento do reservatório. Professora: Rosa Canelas /0/008

3 .. a solução da inequação h() t,5 e dê uma interpretação ao resultado no contexto do problema.. Em relação a um certo tipo de peças produzidas numa fábrica, foi feito um estudo do qual resultaram as seguintes conclusões: Para uma produção de x peças, o custo médio, por peça, C em euros, é dado pela expressão C( x) x + 8 = ; x+ Na parte da comercialização, sendo x o número de peças vendidas e V o preço médio de venda em euros, por peça, este é dado pela expressão V( x) 8x = x+.. Num determinado período de tempo forma produzidas 0 peças. Determine:... o custo de produção das 0 peças;... o valor apurado na venda das 0 peças... Considere as funções C e V tais que: C( x)... Mostre que:... ( )... ( ) 5 C x = + ; x+ 8 V x = 8. x+ x + 8 = x+ e V( x) 8x = x+.... À medida que o número de peças produzidas aumenta, o custo médio de produção, por peça, aumenta ou diminui? Para que valor tende esse custo?... À medida que o número de peças vendidas aumenta, o preço médio de venda, por peça, aumenta ou diminui? Para que valor tende esse preço?.. No mesmo referencial, represente os gráficos das funções C e V e as respectivas assímptotas e explique a seguinte afirmação: " Quanto maior for o número de peças produzidas e vendidas, o lucro médio por peça aproxima-se de 5, sem atingir este valor". FIM Professora: Rosa Canelas /0/008

4 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada, não respondida ou anulada... 0 Grupo II TOTAL Professora: Rosa Canelas 4 /0/008

5 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TURMA A TESTE Nº 4 proposta de resolução Grupo I. B. Sabendo que cos cos = 4 α a afirmação que é verdadeira é cos( ) ( π α) = cosα, logo cos( ) π α = cosα = 4 4 π α = porque 4. D. No intervalo [ 0,π ], as soluções da equação senx + = 0 são 7π π, 6 6 porque π 7π senx + = 0 senx = senx = x = + kπ x = + k π,k destas 6 6 soluções as que estão no intervalo [ 0,π ] são π π x = + π= e 6 6 7π x = 6. A. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um plano α de equação x y = 0 e a recta r de equações z x = y =. Um vector normal ao plano tem coordenadas (,, 0 ) e um vector,, 0,, = = 0 os vectores director da recta tem coordenadas (,, ) e porque ( ) ( ) são perpendiculareso que significa que a recta é paralela ou coinicidente com o plano. Como o ponto de coordenadas ( 0,0, ) não verifica a equação do plano então podemos dizer que a recta r é paralela ao plano α 4. C. Qual dos sistemas pode traduzir a situação apresentada na figura ao lado. Só o sistema C está nessas condições porque é o único onde temos duas equações de planos paralelos x + y z = e x + 6y z = 0 e um terceiro perpendicular a eles y + 6z = 5. A. A taxa média de variação de f( x) = x no intervalo [ a,a ] ( ) ( ) ( ) + + f a f a a a = = + + = + a+ a a a a a + com a > 0 é Professora: Rosa Canelas 5 /0/008

6 Grupo II. Na figura está representado, em referencial o. n. Oxyz, um sólido formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular: A unidade do referencial é o centímetro. A base da pirâmide coincide com a face superior do cubo. O vértice O coincide com a origem do referencial. O ponto N pertence ao semieixo positivo Ox. O ponto P pertence ao semieixo positivo Oy. O ponto S pertence ao semieixo positivo Oz. A aresta do cubo mede 6 cm.. Uma equação da recta RT A recta passa nos pontos R( 6,0,6 ) e ( ) RT = 6,6,0 ( ) T 0,6,6 e por isso tem a direcção do vector Uma equação vectorial pode ser ( x, y,z) = ( 6,0,6 ) + k ( 6,6,0 ),k As equações cartesianas podem ser: x 6 = y z = Uma equação do plano RTP O plano RTP é perpendicular ao vector SU = ( 6,6,0) pelo que a sua equação é da forma 6x + 6y = D e como o plano passa no ponto R será = D D = 6 finalmente a equação do plano RTP é 6x + 6y = 6 x + y = 6 Também se podia chegar a esta equação sabendo que o plano RTP é o plano mediador do segmento de recta [ SU ] e então ficaria: ( ) ( ) ( ) ( ) x + y + z 6 = x 6 + y 6 + z 6 x + y = x x+ 6+ y y+ 6 x + y = 7 x + y = 6.. Sabendo que as arestas [ SV ] e [ UV ] são perpendiculares mostremos que a cota de V é 6+. e UV são perpendiculares será: SV UV = 0 As coordenadas de V são (,,z ) e as coordenadas dos vectores SV = (,, z 6) UV = (,, z 6). Porque as arestas [ SV ] e [ ] ou seja: ( ) ± z 6 = 0 z z+ 8= 0 z = z = 6± Dada a posição do ponto V a sua cota só pode ser 6+ e as suas coordenadas são (,,6 + ).4. Considerando o triângulo sombreado [MNV] e a conclusão da alínea anterior podemos calcular, com aproximação às unidades de grau, a amplitude do ângulo x, da face da Professora: Rosa Canelas 6 /0/008 x R N z S O V M x Q U N T P y

7 pirâmide com a base utilizando tg 55º. ( ) tgx = tgx =, utilizando TAN - na calculadora.. Na figura está representado um reservatório. Considere que, inicialmente, o reservatório está cheio de água e, num certo instante, é aberta uma válvula e o reservatório começa a ser esvaziado. Admita que a altura, em metros, da água no reservatório, t horas após este ter 4t 60 começado a ser esvaziado, é dada por: h() t =. t 0 Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, determinemos:.. A altura do reservatório é h0 ( ) = 0m.. O tempo que demorou o esvaziamento do reservatório é o tempo necessário para que a altura seja zero: 4t 60 = 0 4t 60 = 0 t 0 0 t = 5. O reservatório demorou 5 t 0 horas a esvaziar... a solução da inequação h() t,5resulta de 4t 60 4t 60,5t + 0,5t 0, t 0 t 0 t 0 Cálculos auxiliares:,5t 0 = 0 t = t 0= 0 t = 0 t 0 +,5t t ,5t 0 t ND +,5t 0 0 t [ 0, ] dado que ao fim de 5 horas o reservatório está vazio não faz t 0 sentido considerar os valores de t menores que zero nem maiores que 0. Uma interpretação ao resultado no contexto do problema é: "A altura da água no reservatório é superior ou igual a,5m durante as primeiras horas em que a válvula está aberta".. Em relação a um certo tipo de peças produzidas numa fábrica, foi feito um estudo do qual resultaram as seguintes conclusões: Professora: Rosa Canelas 7 /0/008

8 Para uma produção de x peças, o custo médio, por peça, C em euros, é dado pela x + 8 expressão C( x) = ; x+ Na parte da comercialização, sendo x o número de peças vendidas e V o preço médio 8x de venda em euros, por peça, é dado pela expressão V( x) = x +.. Num determinado período de tempo forma produzidas 0 peças. Determinemos:... para uma produção de 0 peças, o custo médio, por peça é dado por: C( 0) = = =, 0 + e o preço das 0 peças é 0 C( 0) = 64,76... sendo 0 o número de peças vendidas o preço médio de venda em euros, por peça, é V ( 0) = = = 7,6 e produto da venda das 0 peças é 5, Consideremos as funções C e V tais que: C( x)... Mostremos que: x + 8 = x+... C( x) C( x) C( x)... ( ) e V( x) 8x =. x + 5 x+ + 5 x+ 8 = + = = ; x+ x+ x+ 8 V x = 8. x+ Utilizando a divisão e atendendo a que dividendo resto = quociente + podemos provar que divisor divisor x 8 = 8 x+ x+... À medida que o número de peças produzidas aumenta, o custo médio de produção, por peça, diminui porque a função custo é decrescente e tende para porque a recta de equação y = é uma assímptota do gráfico da função custo.... À medida que o número de peças vendidas aumenta, o preço médio de venda, por peça, aumenta porque a função valor da venda é crescente e tende 8 porque a recta de equação y = 8 é uma assímptota do gráfico da função custo... No mesmo referencial, representemos os gráficos das funções C e V e as respectivas assímptotas e expliquemos a seguinte afirmação: " Quanto maior for o número de peças produzidas e vendidas, o lucro médio por peça aproxima-se de 5, sem atingir este valor". Professora: Rosa Canelas 8 /0/008

9 O Lucro é a diferença entre o valor apurado e o custo então L( x) Então L( x) = 5 o que significa que o lucro tende x+ para 5 e nunca atinge este valor por a função ser crescente e o seu gráfico ter uma assímptota horizontal de equação y = 5 8x x + 8 5x 8 = = x+ x+ x FIM Professora: Rosa Canelas 9 /0/008

10 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TURMA A Critérios de Correcção Grupo I Cada resposta certa... 9 Cada resposta errada, não respondida ou anulada B D A C A Grupo II Calcular coordenadas de R Calcular coordenadas de T Calcular coordenadas de RT Escrever a equação da recta Identificação do vector normal Escrever a equação do plano Escrever as coordenadas de V (,, z ). --- Escrever as coordenadas dos vectores em função de z Escrever a condição SV UV = Substituir na condição e obter x x+ 8 = 0 Encontrar a solução que se adequada º processo: tgx = ( ) x = tg 55º º processo: Calcular NV Calcular NM Calcular o co-seno do ângulo de NV com NM 4 Calcular o ângulo pedido h0 ( ) = m Escrever a equação h( t) = Resolver a equação t 60,5t 0, t 0 t 0 Professora: Rosa Canelas 0 /0/008

11 Resolver a inequação Escolher adequadamente a solução Interpretação do resultado Custo de médio por peça Custo de 0 peças preço médio de venda por peça preço de 0 peças Diminui Indicar o valor aumenta Indicar o valor Gráfico (++) Definir o lucro Justificar que tende para Justificar que não atinge porque é crescente 4 TOTAL Professora: Rosa Canelas /0/008