ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 10º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 5. Grupo I

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA 10º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 5 Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Cada resposta certa vale 9 pontos e cada resposta errada desconta pontos. Uma cotação negativa na primeira parte vale zero e não influencia a cotação da ª parte. Não apresente cálculos ou justificações. 1. Num referencial ortonormado da figura ao lado está uma representação da recta r. 1.1 O declive de r é: (A) ; (B) ; (C) ; (D). 1. A ordenada na origem da recta r é: (A) - (B) - (C) (D) 1. Uma equação vectorial da recta r pode ser: (A) ( x,y) (, ) k ( 0, ),k IR = + (B) ( x,y) = ( 0,) + k (, ),k IR x,y = 0,0 + k 1,,k IR (C) ( ) ( ) x,y =,0 + k 0,,k IR (D) ( ) ( ). Uma expressão que defina a função f representada no referencial ao lado pode ser: (A) y = x (B) y = x (C) 1 y = x (D) y = x 10º B /5/00 PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

2 . O valor de p I R para o qual A ( x) 6 x px 5 = + + x dividido por x + 1 dá resto é. (A) (B) 5 (C) 7 (D) 1 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara. Todos os desenhos e figuras devem ser realizados com cuidado. A leitura das perguntas e a redacção das respostas devem ser cuidadosas. Indique todos os cálculos que tiver que efectuar e apresente todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretendese sempre o valor exacto. 1. Considere num referencial ortogonal e monométrico os pontos: A (,1); B (-1,); C (-,0) e D (0,-5) 1.1. Determine as coordenadas: Do ponto B simétrico de B em relação à origem Do ponto E de modo que A seja o ponto médio de [ED] Escreva uma condição que caracterize os seguintes conjuntos de pontos do plano: a recta paralela ao eixo Oy que passa por A o círculo de centro B e tangente ao eixo Ox a recta mediatriz de [AC]. Apresente o resultado na forma da equação reduzida da recta.. De uma função g sabe-se que g( 1) = e que g tem um único zero em x =..1. Indique uma expressão que possa representar g se a função for:.1.1. uma função afim..1.. uma função quadrática..1.. uma polinomial do terceiro grau..1.. uma função módulo de uma função afim... Será única a resposta que deu em cada uma das alíneas de.1? Justifique.. No dia 9 de Agosto de 000, uma localidade foi invadida por uma praga de insectos. Verificou-se que o número de insectos N(t), em milhares, evoluiu com o tempo t, em dias, até ser exterminada de acordo com Nt ( ) = t + 19t+ 0 Use a calculadora para responder às questões seguintes e apresente um gráfico onde assinale os resultados pedidos..1. Qual era o número inicial de insectos? 10º B 1 18/5/00 PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

3 .. Ao fim de quantos dias foi exterminada a praga?.. Em que dia foi detectado um maior número de insectos?.. Durante quanto tempo o número de insectos foi superior a.000? Confirme o resultado resolvendo analiticamente.. Dada a família de funções g a definidas por g ( x) = a( x 1)( + x ), a IR\ { 0} Mostre que todas as parábolas que são gráfico das funções g a têm o vértice sobre a mesma recta e determine a ordenada do vértice em função de a. a 10º B 1 18/5/00 PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

4 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA 10º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 5 proposta de resolução Grupo I 1. Num referencial ortonormado da figura ao lado está uma representação da recta r. 1.1 (B) O declive de r é porque o vector AB tem coordenadas (,-). 1. (C) A ordenada na origem da recta r é porque o ponto A onde a recta intersecta o eixo Oy tem ordenada. 1. (B) Uma equação vectorial da recta r pode ser ( x,y) = ( 0,) + k (, ),k IR porque como já vimos nas alíneas anteriores a recta tem a direcção do vector (,-) e passa no ponto A(0,).. (C) Uma expressão que defina a função f representada no referencial ao lado pode ser 1 y = x porque sendo as imagens não positivas o coeficiente tem que ser negativo e porque a recta que deu origem a este módulo tem declive 1 ou 1.. (A) O valor de p IR para o qual A ( x) 6 x px 5x é porque A ( 1) ( 1) p ( 1) 5 ( 1) = + + dividido por x + 1 dá resto = = 6+ + p+ 5= p= ou de outra maneira: 5 0 p p-5 p P+5 -p-7 p+1 e p+ 1 = p = 10º B 1 18/5/00 PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

5 Grupo II 1. Considere num referencial ortogonal e monométrico os pontos: A (,1); B (-1,); C (-,0) e D (0,-5) 1.1. Determine as coordenadas: as coordenadas do ponto B simétrico de B em relação à origem são (1,-) as coordenadas do ponto E de modo que A seja o ponto médio de [ED] são (,7) porque se fizermos E(x,y) fica: x = x+ 0 y 5 x = x = (,1 ) =, y 5 y 5 = y = 1 = 7 6 ou E = A+ DA E=,1 + 0,1+ 5 E=,7 ( ) ( ) ( ) ou ainda geometricamente a partir da figura por contagem das quadrículas. B j A E a recta paralela ao eixo Oy que passa por A tem equação x = o círculo de centro B e tangente ao eixo Ox tem centro (-1,) e raio, a condição que o define é ( ) ( ) x+ 1 + y 9 C - - D j: y = -6,0x-5, a equação reduzida da recta mediatriz de [AC] é y = 6x 5,5 e obtém-se resolvendo: ( ) ( ) ( ) x + y 1 = x + + y x x + + y y + 1= x + 8x y 1x y = 11 y = 1x 11 y = 6x 5,5. De uma função g sabe-se que g( 1) = e que g tem um único zero em x =..1. Uma expressão que possa representar g se a função for:.1.1. uma função afim é representada pela recta que passa nos pontos (,0) e (-1,) e cuja equação se pode escrever y = ( x ) por o declive ser e 10º B /5/00 PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

6 ter um zero que é..1.. uma função quadrática é representada por uma parábola com a concavidade voltada para cima e vértice no ponto (,0). A equação que a define é da forma y = a( x ) e para calcularmos o valor de a vamos substituir x por 1 e y por. ( ) = a 1 a = e finalmente podemos 9 dizer que a função quadrática nas condições pedidas é definida por ( ) y = x uma polinomial do terceiro grau pode ser uma função da família = ( ) y a x e para calcularmos o valor de a vamos substituir x por 1 e y por. ( ) = a 1 a = e finalmente podemos 7 dizer que uma função cúbica nas condições pedidas é definida por y = ( x ) uma função módulo de uma função afim é a função módulo da função de.1.1 Uma sua representação será: y = x.1.5. A resposta é única em todas as alíneas com excepção de.1.. porque uma recta fica totalmente definida por dois pontos, uma parábola de que se conhce o vértice também fica totalmente definida pelo vértice e outro ponto e a função módulo também fica definida porque depoisde conhcermos o zero e um ponto temos um ramo e o outro é simétrico desse. A função cúbica não é única porque há outra maneira de a função só ter um zero sem que ele seja triplo. Basta considerar o produto de x por um polinómio do segundo grau sem zeros. Um outro exemplo podia ser a função da família y a( x )( x 1) = + que passa no 10º B /5/00 PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

7 ponto (-1,) e que é lado. = + e está repre sentada no gráfico ao y (x )(x 1). No dia 9 de Agosto de 000, uma localidade foi invadida por uma praga de insectos. Verificou-se que o número de insectos N(t), em milhares, evoluiu com o tempo t, em dias, até ser exterminada de acordo com N t ( ) = t + 19t+ 0 Use a calculadora para responder às questões seguintes e apresente um gráfico onde assinale os resultados pedidos..1. O número inicial de insectos era 0 milhares, valor da função para t = 0... A praga foi exterminada ao fim de cinco dias... Um maior número de insectos foi detectado no dia 11 de Agosto de 000 pois o maximizante é aproximadamente, º B /5/00 PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

8 Durante dias 8 horas e 0 minutos o número de insectos foi superior a.000 porque Vamos confirmar o resultado resolvendo analiticamente para o que temos que resolver a inequação () N t > t + 19t + 0 > t + 19t 1 > 0. Vamos confirmar que é uma raiz de t + 19t 1 usando uma tabela, para em seguida usarmos a Regra de Ruffini para baixarmos o grau da inequação: E ficará: t 19t 1 0 ( t )( t t ) + > + >0 ± ± 7 t t+ = 0 t = t = t = + 7 t = 7 segunda solução da equação é negativa está fora do nosso domínio. como a t t t t N(t) A solução da inequação é + 7, donde o tempo durante o qual o número de insectos foi superior a.000 é ( + 7 ),5869 como queríamos comprovar. 10º B /5/00 PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

9 . Dada a família de funções g a definidas por g ( x) = a( x 1)( + x ), a IR\ { 0} Para mostrarmos que todas as parábolas que são gráfico das funções g a têm o vértice sobre a mesma recta e indicarmos a ordenada do vértice em função de a, vamos calcular as coordenadas do vértice. Comecemos por calcular os zeros de g a : a( x 1)( + x) = 0 x = 1 x =. Sejam (h, k) as coordenadas do vértice. 1 h= = 1 k = a( 1 1)( 1+ ) = a ( ) = a Se V a (-1, -a) então todos os pontos V a estão sobre a recta de equação x = -1. a 10º B /5/00 PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00